江西省上饒市示范名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

江西省上饒市示范名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角的大小為A. B.C. D.2．以軸為對稱軸，頂點為坐標(biāo)原點，焦點到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是（）A. B.C.或 D.或3．為推動黨史學(xué)習(xí)教育各項工作扎實開展，營造“學(xué)黨史、悟思想、辦實事、開新局”的濃厚氛圍，某校黨委計劃將中心組學(xué)習(xí)、專題報告會、黨員活動日、主題班會、主題團(tuán)日這五種活動分5個階段安排，以推動黨史學(xué)習(xí)教育工作的進(jìn)行，若主題班會、主題團(tuán)日這兩個階段相鄰，且中心組學(xué)習(xí)必須安排在前兩階段并與黨員活動日不相鄰，則不同的安排方案共有（）A.10種 B.12種C.16種 D.24種4．命題任意圓的內(nèi)接四邊形是矩形，則為（）A.每一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形B.有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形C.所有圓的內(nèi)接四邊形不是矩形D.存在一個圓的內(nèi)接四邊形是矩形5．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.6．在等比數(shù)列中,，,則等于A. B.C. D.或7．已知雙曲線C的離心率為，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.19．已知等比數(shù)列的前n項和為，公比為q，若，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.10．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.11．已知雙曲線：的右焦點為，過的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點.若（為原點），則的離心率為（）A. B.C. D.512．已知雙曲線，則該雙曲線的實軸長為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)解析式，則使得成立的的取值范圍是___________.14．設(shè)有下列命題：①當(dāng)，時，不等式恒成立；②函數(shù)在上的最小值為2；③函數(shù)在上的最大值為；④若，，且，則的最小值為其中真命題為________________．（填寫所有真命題的序號）15．如圖，某河流上有一座拋物線形的拱橋，已知橋的跨度米，高度米（即橋拱頂?shù)交诘闹本€的距離）．由于河流上游降雨，導(dǎo)致河水從橋的基座處開始上漲了1米，則此時橋洞中水面的寬度為______米16．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,則a的值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線在y軸上的截距為m，交橢圓于A，B兩個不同點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求m的取值范圍；（Ⅲ）求證直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.18．（12分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點的坐標(biāo)；（2）直線的方程.19．（12分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度20．（12分）已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若，求證：有且只有一個零點.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，且點在橢圓C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線與橢圓C交于A，B兩點，試探究直線上是否存在定點Q，使得為定值．若存在，求出定點Q的坐標(biāo)及實數(shù)的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知，兩地的距離是.根據(jù)交通法規(guī)，，兩地之間的公路車速（單位：）應(yīng)滿足.假設(shè)油價是7元/，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，當(dāng)車速為時，汽車每小時耗油，司機(jī)每小時的工資是91元.（1）求的值；（2）如果不考慮其他費用，當(dāng)車速是多少時，這次行車的總費用最低？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】考點：直線的傾斜角專題：計算題分析：因為直線的斜率是傾斜角的正切值，所以欲求直線的傾斜角，只需求出直線的斜率即可，把直線化為斜截式，可得斜率，問題得解解答：解：∵x-y+1=0可化為y=x+，∴斜率k=設(shè)傾斜角為θ，則tanθ=k=，θ∈[0，π）∴θ=故選A點評：本題主要考查了直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于直線方程的基礎(chǔ)題型，需要學(xué)生對基礎(chǔ)知識熟練掌握2、C【解析】根據(jù)拋物線的概念以及幾何性質(zhì)即可求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】依題意設(shè)拋物線方程為因為焦點到準(zhǔn)線的距離為4，所以，所以，所以拋物線方程或故選：C3、A【解析】對中心組學(xué)習(xí)所在的階段分兩種情況討論得解.【詳解】解：如果中心組學(xué)習(xí)在第一階段，主題班會、主題團(tuán)日在第二、三階段，則其它活動有2種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第三、四階段，則其它活動有1種方法；主題班會、主題團(tuán)日在第四、五階段，則其它活動有1種方法，則此時共有種方法；如果中心組學(xué)習(xí)在第二階段，則第一階段只有1種方法，后面的三個階段有種方法.綜合得不同的安排方案共有10種.故選:A4、B【解析】全稱命題的否定特稱命題，任意改為存在，把結(jié)論否定.【詳解】全稱量詞命題的否定是特稱命題，需要將全稱量詞換為存在量詞，答案A，C不符合題意，同時對結(jié)論進(jìn)行否定，所以：有的圓的內(nèi)接四邊形不是矩形，故選：B.5、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D6、D【解析】∵為等比數(shù)列，∴，又∴為的兩個不等實根，∴∴或∴故選D7、B【解析】根據(jù)雙曲線的離心率，求出即可得到結(jié)論【詳解】∵雙曲線的離心率是，∴，即1+，即1，則，即雙曲線的漸近線方程為，故選：B8、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項為由，可得：又，則有：則故選：A9、D【解析】根據(jù)，可求得，然后逐一分析判斷各個選項即可得解.【詳解】解：因為，所以，因為，所以，所以，故A錯誤；又，所以，所以，所以，故BC錯誤；所以，故D正確.故選：D.10、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A11、D【解析】取雙曲線的左焦點，連接,計算可得，即.設(shè)，則，，解得：，利用勾股定理計算可得，即可得出結(jié)果.【詳解】取雙曲線的左焦點，連接,,則因為，所以，即.,.設(shè)，則，，解得：.,,..故選：D12、B【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接計算即可作答.【詳解】雙曲線的實半軸長，所以該雙曲線的實軸長為2.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，再利用的導(dǎo)函數(shù)判斷在上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性得上單調(diào)遞減.要使成立，即，解不等式即可得到答案.【詳解】，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增.為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減.要使成立，即.故答案為：.14、①③④【解析】①直接利用基本不等式判斷即可；②直接利用基本不等式以及等號成立的條件判斷即可；③分子、分母同除，利用基本不等式即可判斷；④設(shè)，，利用指、對互化以及基本不等式即可判斷.【詳解】由于，，故恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以①正確；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，由于，所以②不正確；因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，即函數(shù)的最大值為，所以③正確；設(shè)，，則，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，故的最小值為，所以④正確.故答案為：①③④【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.15、【解析】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則根據(jù)點在拋物線上，可得拋物線的方程，設(shè)水面與橋的交點坐標(biāo)為，求出，進(jìn)而可得水面的寬度.【詳解】以橋的頂點為坐標(biāo)原點，水平方向所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則拋物線的方程為，因為點在拋物線上，所以，即故拋物線的方程為，設(shè)河水上漲1米后，水面與橋的交點坐標(biāo)為，則，得，所以此時橋洞中水面的寬度為米故答案為：16、a＝3【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分類討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性結(jié)合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個零點,∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當(dāng)a≤0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒有零點,舍去；②當(dāng)a＞0時，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個零點,∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究已知函數(shù)的零點求參數(shù)取值問題,考查了分類討論和數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）且；（Ⅲ）證明見解析.【解析】（Ⅰ）設(shè)出橢圓方程，根據(jù)題意得出關(guān)于的方程組，從而求得橢圓的方程；（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，并與橢圓方程聯(lián)立消元，根據(jù)直線與橢圓方程有兩個不同交點，利用即可求出m取值范圍；（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，根據(jù)題意把所證問題轉(zhuǎn)化為證明k1+k2=0即可.【詳解】（1）設(shè)橢圓方程為，由題意可得，解得，∴橢圓方程為；（Ⅱ）∵直線l平行于OM，且在y軸上的截距為m，，所以設(shè)直線的方程為，由消元，得∵直線l與橢圓交于A，B兩個不同點，所以，解得，所以m的取值范圍為.（Ⅲ）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，只需證明k1+k2=0即可，設(shè)，由（Ⅱ）可知，則，由，而，，故直線MA，MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.18、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線的方程，然后聯(lián)立直線、的方程，即可求得點的坐標(biāo)；（2）設(shè)，可求得線段的中點的坐標(biāo)，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，可得出點的坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的斜率和點斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】解：，所以，而，則，所以直線的方程為，由，解得，所以頂點的坐標(biāo)為.【小問2詳解】解：因為在直線，所以可設(shè)，由為線段的中點，所以，將的坐標(biāo)代入直線的方程，所以，解得，所以.故，故直線的方程為，即.19、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯(lián)立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點，且與直線相切點到直線的距離等于由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準(zhǔn)線的拋物線，依題意，設(shè)點的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設(shè)聯(lián)立，得，則，所以，線段的長度為【點睛】（1）待定系數(shù)法、代入法可以求二次曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)單調(diào)性，從而可求最值.（2）求導(dǎo)后發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)中無參數(shù)，故單調(diào)性與（1）中所求一致，然后利用零點存在定理結(jié)合的范圍，以及函數(shù)單調(diào)性證明在定義域內(nèi)有且只有一個零點.【小問1詳解】若，則，其定義域為，∴，由，得，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴【小問2詳解】證明：，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞誠，∵，∴當(dāng)時，，故在上無零點；當(dāng)時，，∵且，∴在上有且只有一個零點.綜上，有且只有一個零點.21、（1）（2）存在，定點的坐標(biāo)為，實數(shù)的值為【解析】（1）由題意可得，再結(jié)合，可求出，從而可求得橢圓方程，（2）設(shè)在直線上存在定點，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)過點P的動直線l為，設(shè)，，將直線方程代入橢圓方程消去，利用根與系數(shù)，再計算為常數(shù)可求出，從而可求得，當(dāng)直線斜率不存在時，可求出兩點的坐標(biāo)，從而可求得的值【小問1詳解】由題意知結(jié)合，可得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，【小問2詳解】設(shè)在直線上存在定點，使為定值，①當(dāng)直線斜率存在