2025屆云南省昆明一中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆云南省昆明一中數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法，我國(guó)自2021年1月9日起實(shí)施全民免費(fèi)接種新冠疫苗并持續(xù)加快推進(jìn)接種工作．某地為方便居民接種，共設(shè)置了A、B、C三個(gè)新冠疫苗接種點(diǎn)，每位接種者可去任一個(gè)接種點(diǎn)接種．若甲、乙兩人去接種新冠疫苗，則兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的概率為（）A. B.C. D.2．已知經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（5，m）和（m，8）的直線(xiàn)的斜率等于1，則m的值為（）A.5 B.8C. D.73．設(shè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，，若，則（）A. B.C. D.4．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓 B.直線(xiàn)C.線(xiàn)段 D.圓6．過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn),點(diǎn)是原點(diǎn),若;則的面積為（）A. B.C. D.7．《九章算術(shù)》中的“商功”篇主要講述了以立體幾何為主的各種形體體積的計(jì)算，其中塹堵是指底面為直角三角形的直棱柱.如圖，在塹堵中，M是的中點(diǎn)，，，，若，則（）A. B.C. D.8．設(shè)雙曲線(xiàn)C：的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，若線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A B.2C. D.9．已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知，，則下列結(jié)論一定成立的是（）A. B.C. D.11．已知命題，則為（）A. B.C. D.12．在直三棱柱中，，，，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________14．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則實(shí)數(shù)______15．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角三角形中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，，求的面積16．經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與雙曲線(xiàn)有公共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程為_(kāi)________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線(xiàn)BD與平面EAC所成角的正弦值.18．（12分）已知四邊形是菱形，四邊形是矩形，平面平面，，，G是的中點(diǎn)（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值19．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.20．（12分）某校高三年級(jí)進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全年級(jí)學(xué)生的成績(jī)都落在區(qū)間內(nèi)，其成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，若（1）求a，b的值；（2）若成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為36人，請(qǐng)估計(jì)該校高三學(xué)生的人數(shù)21．（12分）已知函數(shù)，其中a為正數(shù)（1）討論單調(diào)性；（2）求證：22．（10分）已知是奇函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用古典概型的概率公式可求出結(jié)果【詳解】由題知,基本事件總數(shù)為甲、乙兩人不在同一接種點(diǎn)接種疫苗的基本事件數(shù)為由古典概型概率計(jì)算公式可得所求概率故選:2、C【解析】根據(jù)斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】利用求解.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前n項(xiàng)和分別是，所以.故選：B4、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.5、C【解析】根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式的幾何意義即可判定出動(dòng)點(diǎn)軌跡.【詳解】由題意可知表示動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離之和等于，又因?yàn)辄c(diǎn)和點(diǎn)的距離等于，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線(xiàn)段.故選：6、C【解析】拋物線(xiàn)焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由得或所以，故答案為C考點(diǎn)：1、拋物線(xiàn)的定義；2、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系7、C【解析】建立坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示向量，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨令，則，，，，，.因?yàn)?，所以，則，，，，則解得，，，故.故選：C8、A【解析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長(zhǎng)，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【詳解】線(xiàn)段的中點(diǎn)在y軸上,設(shè)的中點(diǎn)為M，因?yàn)镺為的中點(diǎn)，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.9、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：B.11、C【解析】將全稱(chēng)命題否定為特稱(chēng)命題即可【詳解】由題意，根據(jù)全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的關(guān)系，可得命題，則，故選：C.12、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，方向分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，，因此異面直線(xiàn)與所成角的余弦值等于.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線(xiàn)的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線(xiàn)的方程為，則，直線(xiàn)的方程為，則，所以.故答案為：14、【解析】分類(lèi)討論，兩種情況，結(jié)合直線(xiàn)平行的知識(shí)得出實(shí)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直；當(dāng)時(shí)，，則且，解得.故答案為：15、（1）最小正周期，，；（2）【解析】（1）根據(jù)降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期公式、單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1），所以的最小正周期令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以或，或，?dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，，，，此時(shí)為等腰三角形，所以，所以，即的面積為16、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為，∵點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，∴，∴所求的雙曲線(xiàn)方程為，即答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）利用線(xiàn)面平行的判斷定理，證明線(xiàn)線(xiàn)平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問(wèn)2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線(xiàn)BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線(xiàn)BD與平面EAC所成的角的正弦值.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為H，分別連接，可證，從而可得平面；（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量后可求二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】證明：設(shè)，線(xiàn)段的中點(diǎn)為H，分別連接又因?yàn)镚是的中點(diǎn)，所以因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，?jù)菱形性質(zhì)知，O為的中點(diǎn)，所以，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面【小?wèn)2詳解】解：據(jù)四邊形是菱形的性質(zhì)知，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面平面，故平面，所以以分別為x軸，y軸，以過(guò)與的交點(diǎn)O，且垂直于平面的直線(xiàn)為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則有，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量，則令，則，且，所以所以，所以二面角的正弦值為19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根據(jù)分式不等式的解法求得不等式的解集.【小問(wèn)1詳解】不等式等價(jià)于，解得.∴不等式的解集為.【小問(wèn)2詳解】不等式等價(jià)于，解得或.∴不等式的解集為.20、（1）（2）人【解析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)求得，結(jié)合，即可求得的值；（2）由頻率分布直方圖求得落在區(qū)間內(nèi)的概率，進(jìn)而求得該校高三年級(jí)的人數(shù)【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，可得，又由，可得解得；【小問(wèn)2詳解】解：由頻率分布直方圖可得，成績(jī)落在區(qū)間內(nèi)的概率為，則該校高三年級(jí)的人數(shù)為（人）21、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并且求的兩個(gè)根，然后分類(lèi)討論，和三種情況下對(duì)應(yīng)的單調(diào)性；（2）令，通過(guò)二次求導(dǎo)法，判斷函數(shù)的單調(diào)性與最小值，設(shè)的零點(diǎn)為，求出取值范圍，最后將轉(zhuǎn)化為的對(duì)勾函數(shù)并求解最小值，即可證明出不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椤吡畹谩?，∴，得或①?dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，或；時(shí)，.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增③當(dāng)，即時(shí)，∴在上單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增【小問(wèn)2詳解】令，（）∴，令∴，∴在上單調(diào)遞增又∵，，∴使得，即（*）∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞減∴當(dāng)時(shí)，，∴，∴單調(diào)遞增∴，（）由（*）式可知：，