湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級(jí)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.82．曲線在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.0C.1 D.23．已知拋物線上的點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離為，則拋物線的方程是（）A. B.C. D.4．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是4，則數(shù)據(jù)的方差是（）A.3.4 B.3.6C.3.8 D.45．德國數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天才，10歲時(shí)，他在進(jìn)行的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱之為高斯算法．已知數(shù)列，則（）A.96 B.97C.98 D.996．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)為，，上頂點(diǎn)為P，則（）A.為銳角三角形 B.為鈍角三角形C.為直角三角形 D.，，三點(diǎn)構(gòu)不成三角形7．設(shè)正方體的棱長為，則點(diǎn)到平面的距離是（）A. B.C. D.8．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.20229．下列命題中正確的是（）A.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B.拋物線的準(zhǔn)線方程為x=?1C.拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱D.拋物線的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱10．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（）A.60 B.61C.62 D.6311．圓心在x軸上且過點(diǎn)的圓與y軸相切，則該圓的方程是（）A. B.C. D.12．?dāng)?shù)列2，0，2，0，…的通項(xiàng)公式可以為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在處的切線方程為______14．已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，則的最小值是__________15．等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則______.16．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為______（結(jié)果用數(shù)值表示）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.18．（12分）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；過該橢圓的右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦與，求的取值范圍19．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作直線l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線l斜率大于0，過線段PQ的中點(diǎn)R作直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值20．（12分）已知圓D經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（1，2）.（1）求圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l：與圓D交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長度.21．（12分）如圖，四邊形為矩形，，且平面平面.（1）若，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）若是等邊三角形，求平面與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列{}滿足a1＝1，a3＋a7＝18，且（n≥2）（1）求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；（2）若＝·，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，由題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，由，得，所以，因此.故選：C.2、A【解析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程為，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)?，，，所以，切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得故選：A3、B【解析】由拋物線知識(shí)得出準(zhǔn)線方程，再由點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離求出，從而得出方程.【詳解】由題意知，則準(zhǔn)線為，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即，∴，則故選：B.4、B【解析】利用方差的定義即可解得.【詳解】由方差的定義，，則，所以數(shù)據(jù)的方差為：.故選：B5、C【解析】令，利用倒序相加原理計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】令，，兩式相加得：，∴，故選:C6、A【解析】根據(jù)題意求得，要判斷的形狀，只需要看是什么角即可，利用余弦定理判斷，從而可得結(jié)論.【詳解】解：由橢圓：，得，則，則，所以且為銳角，因?yàn)?，所以銳角，所以為銳角三角形.故選：A.7、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因?yàn)檎襟w的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，所以，故選：D.8、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而確定，求得答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.9、C【解析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)逐項(xiàng)分析可得答案.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故A錯(cuò)誤；拋物線的準(zhǔn)線方程為，故B錯(cuò)誤；拋物線的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤；故選：C.10、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項(xiàng)和公式對(duì)作分組求和即可.【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)，，則，當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)，，則，∴.故選：B.11、A【解析】根據(jù)題意設(shè)出圓的方程，列式即可求出【詳解】依題可設(shè)圓的方程為，所以，解得即圓的方程是故選：A12、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當(dāng)時(shí)，，不符；B.當(dāng)時(shí)，，不符；C.當(dāng)時(shí)，，不符；D.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，符合.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由斜截式方程可得切線方程【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得曲線在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有切線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的運(yùn)用，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題14、3－5【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓上，故兩圓的圓心分別為半徑分別為和兩圓的圓心距為，故兩圓相離，則最小值為，故答案為.考點(diǎn)：1、圓的方程及圓的幾何性質(zhì)；2、兩點(diǎn)間的距離公式及最值問題.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查圓的方程及幾何性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及最值問題的應(yīng)用，屬于難題.解決解析幾何的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法，本題就是利用圓的幾何性質(zhì)，將的最小值轉(zhuǎn)化兩圓心的距離減半徑解答的.15、【解析】取，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了前項(xiàng)和和通項(xiàng)的關(guān)系，取是解題的關(guān)鍵.16、12【解析】通過二次展開式就可以得到.【詳解】的展開式中含含項(xiàng)的系數(shù)為故答案為：12三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，時(shí)，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.18、（1）（2）【解析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最大值為．列出關(guān)于、、的方程組，求出、的值，即可得出橢圓的方程；對(duì)直線和分兩種情況討論：一種是兩條直線與坐標(biāo)軸垂直，可求出兩條弦長度之和；二是當(dāng)兩條直線斜率都存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，利用弦長公式可計(jì)算出的長度的表達(dá)式，然后利用相應(yīng)的代換可求出的長度表達(dá)式，將兩線段長度表達(dá)式相加，利用函數(shù)思想可求出兩條弦長的取值范圍最后將兩種情況的取值范圍進(jìn)行合并即可得出答案【詳解】易知，得，則，而，又，得，，因此，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)兩條直線中有一條斜率為0時(shí)，另一條直線的斜率不存在，由題意易得；當(dāng)兩條直線斜率都存在且不為0時(shí)，由知，設(shè)、，直線MN的方程為，則直線PQ的方程為，將直線方程代入橢圓方程并整理得：，顯然，，，，同理得，所以，，令，則，，設(shè)，，所以，，所以，，則綜合可知，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求范圍，屬于難題.解決圓錐曲線中的范圍問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中范圍問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解.19、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)切線PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線，則，化簡(jiǎn)得，所以.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）利用圓的弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：設(shè)圓D的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意可得，解得，所以圓D標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】解：由（1）可知圓心，半徑，所以圓心D（1，0）到直線l：的距離，所以.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）通過構(gòu)造平行四邊形，在平面中找到即可證明（2）建立直角坐標(biāo)系，通過兩個(gè)面的法向量夾角的余弦值求出面面夾角的余弦值【小問1詳解】證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn).所以且，又，為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則，∵平面平面，平面平面，∴平面，∵是等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，分別以，，