寧夏回族自治區(qū)銀川市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題含解析

寧夏回族自治區(qū)銀川市第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，直線AP，BP相交于點(diǎn)P，且它們斜率之積是.當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B.C. D.2．曲線在處的切線如圖所示，則（）A. B.C. D.3．已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過(guò)定點(diǎn)外還過(guò)定點(diǎn)（）A. B.C. D.4．已知數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的A. B.C. D.6．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.7．在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做“等和數(shù)列”，這個(gè)數(shù)叫做數(shù)列的公和．已知等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則（）A.2 B.﹣2C.3 D.﹣38．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或9．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在數(shù)列中，，則（）A.2 B.C. D.11．東漢末年的數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關(guān)系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.我們通過(guò)類比得到圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.對(duì)于圖2.下列結(jié)論正確的是（）①這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點(diǎn)，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④12．若數(shù)列滿足，則（）A.2 B.6C.12 D.20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓C，直線l：，若圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1.則b的取值范圍為___.14．已知、雙曲線的左、右焦點(diǎn)，A、B為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且滿足，，則雙曲線的離心率為___________.15．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則___________.16．如圖的形狀出現(xiàn)存南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最一上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……，設(shè)從上至下各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列則___________.（填數(shù)字）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）兩動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，總滿足直線與的斜率互為相反數(shù)，求證：直線的斜率為定值.18．（12分）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；（2）長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)19．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列中，，且，，構(gòu)成等比數(shù)列的前三項(xiàng)（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線的方程.21．（12分）已知函數(shù)（1）填寫函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)（2）通過(guò)（1）繪制出函數(shù)的圖像，并討論方程解的個(gè)數(shù)22．（10分）為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場(chǎng)開展滑雪促銷活動(dòng).該滑雪場(chǎng)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）.有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來(lái)該滑雪場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過(guò)1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過(guò)3小時(shí).求甲、乙兩人所付滑雪費(fèi)用相同的概率；

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得、所在直線的斜率，由斜率之積是列式整理即可得到點(diǎn)的軌跡方程，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，從而求出的最小值；【詳解】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率；直線的斜率由已知有，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即點(diǎn)的軌跡為以、為頂點(diǎn)的雙曲線的左支（除點(diǎn)），因?yàn)?，設(shè)，由雙曲線的定義可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，因?yàn)椋?，所以，即的最小值為；故選：A2、C【解析】由圖可知切線斜率為，∴.故選：C.3、D【解析】設(shè)垂直于直線，可知圓恒過(guò)垂足；兩條直線方程聯(lián)立可求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).故選：D.4、A【解析】根據(jù)數(shù)列的周期性即可求解.【詳解】由得,顯然該數(shù)列中的數(shù)從開始循環(huán),數(shù)列的周期是，所以.故選：A.5、B【解析】根據(jù)輸入的條件執(zhí)行循環(huán)，并且每一次都要判斷結(jié)論是或否，直至退出循環(huán).【詳解】，，，；，【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，執(zhí)行循環(huán)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈茫虼耍?故選：A.7、C【解析】利用已知即可求得，再利用已知可得：，問(wèn)題得解【詳解】解：根據(jù)題意，等和數(shù)列{an}中，，公和為5，則，即可得，又由an﹣1+an＝5，則，則3；故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了新概念知識(shí)，考查理解能力及轉(zhuǎn)化能力，還考查了數(shù)列的周期性，屬于中檔題8、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點(diǎn)不可能在圓內(nèi)，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為或.故選：D9、C【解析】利用遞增數(shù)列的定義即可.【詳解】由，∴，即是小于2n+1的最小值，∴，故選：C10、D【解析】根據(jù)遞推關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，逐步計(jì)算，即可得答案.【詳解】由題意得，令，可得，令，可得，令，可得，令，可得.故選：D11、A【解析】對(duì)于①，由三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)分析，對(duì)于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對(duì)于③，利用余弦定理分析，對(duì)于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對(duì)于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個(gè)全等的鈍角三角形與一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，故，，所以這三個(gè)全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對(duì)于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因?yàn)?，所以，故②正確；對(duì)于③，不妨設(shè)，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，若是的中點(diǎn)，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題12、D【解析】由已知條件變形可得，然后累乘法可得，即可求出詳解】由得，，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】圓C：的半徑為3，圓心坐標(biāo)為：設(shè)圓心到直線l：的距離為，要想圓C上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線l的距離都等于1，只需，即，所以.故答案為：.14、【解析】可得四邊形為矩形，運(yùn)用三角函數(shù)的定義可得，，由雙曲線的定義和矩形的性質(zhì)，可得，由離心率公式求解即可.【詳解】、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，可得四邊形為矩形，在中，，∴，在中，，可得，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：得出四邊形為矩形，利用雙曲線的定義解決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題.15、2【解析】由，可兩平面的法向量也平行，從而可求出，進(jìn)而可求得答案【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，平面的法向量為，，所以∥，所以存?shí)數(shù)使，所以，所以，解得，所以，故答案為：216、【解析】根據(jù)題中給出的圖形，結(jié)合題意找到各層球的數(shù)列與層數(shù)的關(guān)系，得到，即可得解【詳解】解：由題意可知，，，，，，故，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，由此求得，同理求得，從而化簡(jiǎn)求得直線的斜率為定值.【小問(wèn)1詳解】由題可知，解得，從而粚圓方程為.【小問(wèn)2詳解】證明設(shè)直線的斜率為，則，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，整理得，從而，于是，由題意得直線的斜率為，則，，同理可求得，于是即直線的斜率為定值.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由已知可得，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，或，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【小問(wèn)1詳解】解：橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，，且焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在長(zhǎng)軸上時(shí)，，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)點(diǎn)在短軸上時(shí)，，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.綜合得橢圓的方程為或.19、（1）；（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，利用基本量代換列方程組求出的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出的首項(xiàng)和公比，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）利用分組求和法直接求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則由已知得：，即，又，解得或（舍去），所以.，又，，，；【小問(wèn)2詳解】，.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出直線的方程，然后聯(lián)立直線、的方程，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)，可求得線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用直線的斜率和點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問(wèn)1詳解】解：，所以，而，則，所以直線的方程為，由，解得，所以頂點(diǎn)的坐標(biāo)為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樵谥本€，所以可設(shè)，由為線段的中點(diǎn)，所以，將的坐標(biāo)代入直線的方程，所以，解得，所以.故，故直線的方程為，即.21、（1）詳見(jiàn)解析（2）詳見(jiàn)解析【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的性質(zhì)；（2）由函數(shù)性質(zhì)繪制函數(shù)的圖象，并將方程轉(zhuǎn)化為，即轉(zhuǎn)化為與的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，同時(shí)也是函數(shù)的最大值，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是，定義域值域零點(diǎn)極值點(diǎn)單調(diào)性性質(zhì)單調(diào)遞增區(qū)