2025屆安徽省銅陵市銅都雙語學(xué)校數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2025屆安徽省銅陵市銅都雙語學(xué)校數(shù)學(xué)高三上期末監(jiān)測試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.2.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,大約在公元222年,趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時,介紹了“勾股圓方圖”,亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形是由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的).類比“趙爽弦圖”.可類似地構(gòu)造如下圖所示的圖形,它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成一個大等邊三角形.設(shè),若在大等邊三角形中隨機取一點,則此點取自小等邊三角形(陰影部分)的概率是()A. B. C. D.3.《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長與高,計算其體積的近似公式.它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.4.已知直線與直線則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.公元前世紀(jì),古希臘哲學(xué)家芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論:他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑,并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)谋?當(dāng)比賽開始后,若阿基里斯跑了米,此時烏龜便領(lǐng)先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下一個米時,烏龜先他米,當(dāng)阿基里斯跑完下-個米時,烏龜先他米....所以,阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規(guī)律,若阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x恰好為米時,烏龜爬行的總距離為()A.米 B.米C.米 D.米6.若集合,則=()A. B. C. D.7.已知集合M={x|﹣1<x<2},N={x|x(x+3)≤0},則M∩N=()A.[﹣3,2) B.(﹣3,2) C.(﹣1,0] D.(﹣1,0)8.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點,使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.9.已知命題:是“直線和直線互相垂直”的充要條件;命題:對任意都有零點;則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.10.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.是的()條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要12.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對2019年這一年的收支情況,下列說法中錯誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤最大C.這12個月利潤的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤超過400萬元二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,.若,則_________.14.已知直角坐標(biāo)系中起點為坐標(biāo)原點的向量滿足,且,,,存在,對于任意的實數(shù),不等式,則實數(shù)的取值范圍是______.15.過直線上一動點向圓引兩條切線MA,MB,切點為A,B,若,則四邊形MACB的最小面積的概率為________.16.記實數(shù)中的最大數(shù)為,最小數(shù)為.已知實數(shù)且三數(shù)能構(gòu)成三角形的三邊長,若,則的取值范圍是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面積.18.(12分)如圖,在中,,,點在線段上.(1)若,求的長;(2)若,,求的面積.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)若點在直線上,求直線的極坐標(biāo)方程;(2)已知,若點在直線上,點在曲線上,且的最小值為,求的值.20.(12分)已知點為圓:上的動點,為坐標(biāo)原點,過作直線的垂線(當(dāng)、重合時,直線約定為軸),垂足為,以為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求點的軌跡的極坐標(biāo)方程;(2)直線的極坐標(biāo)方程為,連接并延長交于,求的最大值.21.(12分)已知橢圓的離心率為,且過點.(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)設(shè)是橢圓上且不在軸上的一個動點,為坐標(biāo)原點,過右焦點作的平行線交橢圓于、兩個不同的點,求的值.22.(10分)如圖,在四棱錐中,,,,底面為正方形,、分別為、的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意,求出集合A,進而求出集合和,分析選項即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點睛】此題考查集合的交并集運算,屬于簡單題目,2、A【解析】

根據(jù)幾何概率計算公式,求出中間小三角形區(qū)域的面積與大三角形面積的比值即可.【詳解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率為.故選A.【點睛】本題考查了幾何概型的概率計算問題,是基礎(chǔ)題.3、C【解析】

將圓錐的體積用兩種方式表達,即,解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問題考查圓錐體積計算的實際應(yīng)用,考查學(xué)生的運算求解能力、創(chuàng)新能力.4、B【解析】

利用充分必要條件的定義可判斷兩個條件之間的關(guān)系.【詳解】若,則,故或,當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行;當(dāng)時,直線,直線,此時兩條直線平行.所以當(dāng)時,推不出,故“”是“”的不充分條件,當(dāng)時,可以推出,故“”是“”的必要條件,故選:B.【點睛】本題考查兩條直線的位置關(guān)系以及必要不充分條件的判斷,前者應(yīng)根據(jù)系數(shù)關(guān)系來考慮,后者依據(jù)兩個條件之間的推出關(guān)系,本題屬于中檔題.5、D【解析】

根據(jù)題意,是一個等比數(shù)列模型,設(shè),由,解得,再求和.【詳解】根據(jù)題意,這是一個等比數(shù)列模型,設(shè),所以,解得,所以.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的實際應(yīng)用,還考查了建模解模的能力,屬于中檔題.6、C【解析】

求出集合,然后與集合取交集即可.【詳解】由題意,,,則,故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了計算能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

先化簡N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},再根據(jù)M={x|﹣1<x<2},求兩集合的交集.【詳解】因為N={x|x(x+3)≤0}={x|-3≤x≤0},又因為M={x|﹣1<x<2},所以M∩N={x|﹣1<x≤0}.故選:C【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

由可得;由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.9、A【解析】

先分別判斷每一個命題的真假,再利用復(fù)合命題的真假判斷確定答案即可.【詳解】當(dāng)時,直線和直線,即直線為和直線互相垂直,所以“”是直線和直線互相垂直“的充分條件,當(dāng)直線和直線互相垂直時,,解得.所以“”是直線和直線互相垂直“的不必要條件.:“”是直線和直線互相垂直“的充分不必要條件,故是假命題.當(dāng)時,沒有零點,所以命題是假命題.所以是真命題,是假命題,是假命題,是假命題.故選:.【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關(guān)系,考查二次函數(shù)的圖象,考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.10、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對應(yīng)的點為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對應(yīng)的點位于第四象限.故選:.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點的對應(yīng),難度容易.11、B【解析】

利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價關(guān)系,即可得出。【詳解】設(shè)對應(yīng)的集合是,由解得且對應(yīng)的集合是,所以,故是的必要不充分條件,故選B。【點睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法——集合關(guān)系法。設(shè),如果,則是的充分條件;如果B則是的充分不必要條件;如果,則是的必要條件;如果,則是的必要不充分條件。12、D【解析】

直接根據(jù)折線圖依次判斷每個選項得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項A正確;1至12月份的利潤分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤最高,故選項B正確;易求得總利潤為380萬元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項C正確,選項D錯誤.故選:.【點睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分析:首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長,利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長,之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系,從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義,對邊比臨邊,求得對應(yīng)角的正切值,即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意,設(shè),則,根據(jù),得,由勾股定理可得,根據(jù)余弦定理可得,化簡整理得,即,解得,所以,故答案是.點睛:該題考查的是有關(guān)解三角形的問題,在解題的過程中,注意分析要求對應(yīng)角的正切值,需要求誰,而題中所給的條件與對應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線,設(shè)出直角邊長,利用所給的角的余弦值,利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系,求得最后的結(jié)果.14、【解析】

由題意可設(shè),,,由向量的坐標(biāo)運算,以及恒成立思想可設(shè),的最小值即為點,到直線的距離,求得,可得不大于.【詳解】解:,且,可設(shè),,,,可得,可得的終點均在直線上,由于為任意實數(shù),可得時,的最小值即為點到直線的距離,可得,對于任意的實數(shù),不等式,可得,故答案為:.【點睛】本題主要考查向量的模的求法,以及兩點的距離的運用,考查直線方程的運用,以及點到直線的距離,考查運算能力,屬于中檔題.15、.【解析】

先求圓的半徑,四邊形的最小面積,轉(zhuǎn)化為的最小值為,求出切線長的最小值,再求的距離也就是圓心到直線的距離,可解得的取值范圍,利用幾何概型即可求得概率.【詳解】由圓的方程得,所以圓心為,半徑為,四邊形的面積,若四邊形的最小面積,所以的最小值為,而,即的最小值,此時最小為圓心到直線的距離,此時,因為,所以,所以的概率為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,及與長度有關(guān)的幾何概型,考查了學(xué)生分析問題的能力,難度一般.16、【解析】試題分析:顯然,又,①當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而②當(dāng)時,,作出可行區(qū)域,因拋物線與直線及在第一象限內(nèi)的交點分別是(1,1)和,從而綜上所述,的取值范圍是.考點:不等式、簡單線性規(guī)劃.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)或.【解析】

(1)利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡,根據(jù)余弦定理求解余弦值;(2)根據(jù)余弦定理求出b=1或b=3,結(jié)合面積公式求解.【詳解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化簡得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C為三角形內(nèi)角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,則△ABC的面積為或.【點睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形,關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進行邊角互化,利用余弦定理求解邊長,根據(jù)面積公式求解面積.18、(1)(2)【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出,再根據(jù)正弦定理即可求出;(2)分別在和中,根據(jù)正弦定理列出兩個等式,兩式相除,利用題目條件即可求出,再根據(jù)余弦定理求出,即可根據(jù)求出的面積.【詳解】(1)由,得,所以.由正弦定理得,,即,得.(2)由正弦定理,在中,,①在中,,②又,,,由得,由余弦定理得,即,解得,所以的面積.【點睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,以及三角形面積公式的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解析】

(1)利用消參法以及點求解出的普通方程,根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程;(2)將的坐標(biāo)設(shè)為,利用點到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性,求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】(1)消去參數(shù)得普通方程為,將代入,可得,即所以的極坐標(biāo)方程為(2)的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上,∴的最小值為到直線的距離的最小值∵,∴當(dāng),時取得最小值即,∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù),難度一般.(1)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式:;(2)求解曲線上一點到直線的距離的最值,可優(yōu)先考慮將點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式,然后再去求解.20、(1);(2)【解析】

(1)設(shè)的極坐標(biāo)為,在中,有,即可得結(jié)果;(2)設(shè)射線:,,圓的極坐標(biāo)方程

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