2025屆上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)附中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.82．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.3．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度A. B.C. D.4．已知圓，圓C2：x2+y2－x－4y+7=0，則“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的（）A.充分必要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過(guò)點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為（）A.3 B.4C.6 D.86．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，有下列四個(gè)等式，甲：；乙：；丙：；丁：．如果只有一個(gè)等式不成立，則該等式為（）A.甲 B.乙C.丙 D.丁7．雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.8．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件9．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.10．若直線與直線垂直，則a=（）A.-2 B.0C.0或-2 D.111．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.12．設(shè)橢圓：的右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓在第二象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，為原點(diǎn)，若直線平分線段，則橢圓的離心率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，，其中，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為_(kāi)_______14．如圖，在等腰直角中，，為半圓弧上異于，的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半圓弧繞旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列判斷：①存在點(diǎn)，使得；②存在點(diǎn)，使得；③四面體的體積既有最大值又有最小值：④若二面角為直二面角，則直線與平面所成角的最大值為45°.其中正確的是______（請(qǐng)?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確的結(jié)果的序號(hào)）.15．如圖，在直棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的的值.18．（12分）已知數(shù)列滿足，，，.從①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)填在橫線上，并完成下面問(wèn)題.（1）寫(xiě)出、，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，；數(shù)列中，.直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最大整數(shù)n20．（12分）如圖，四棱錐的底面是正方形，平面平面，E為的中點(diǎn)（1）若，證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值的取值范圍21．（12分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性22．（10分）某公司有員工人，對(duì)他們進(jìn)行年齡和學(xué)歷情況調(diào)查，其結(jié)果如下：現(xiàn)從這名員工中隨機(jī)抽取一人，設(shè)“抽取的人具有本科學(xué)歷”，“抽取的人年齡在歲以下”，試求：（1）；（2）；（3）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C2、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.3、B【解析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】先得出圓的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.【詳解】圓的圓心半徑的圓心半徑兩圓心之間的距離為兩圓的半徑之差為當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，解得或所以當(dāng)，可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出（可能）故“”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件故選：B5、D【解析】由的周長(zhǎng)為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長(zhǎng)為故選：D.6、D【解析】分別假設(shè)甲、乙、丙、丁不成立，驗(yàn)證得到答案【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，若甲不成立，則，由①，③可得，此時(shí)與②矛盾；A錯(cuò)，若乙不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；與②矛盾；B錯(cuò)，若丙不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；與②矛盾；C錯(cuò)，若丁不成立，則，由①，③可得，此時(shí)；，D對(duì)，故選：D.7、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點(diǎn)再軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B.8、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.9、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得故選：C10、C【解析】代入兩直線垂直的公式，即可求解.【詳解】因?yàn)閮芍本€垂直，所以，解得：或.故選：C11、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】如上圖，設(shè)AC中點(diǎn)為M,連OM，則OM為的中位線，易得∽，且,即可得，選B.點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，本題的關(guān)鍵是利用中位線定理和相似三角形定理二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出，再根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程即可得出答案.【詳解】解：由，，得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以直線的方程為，即.故答案為：.14、①②④【解析】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),可證得四邊形ABCD為正方形即可判斷①；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，可知平面ABC，可證得平面CDB，即可判斷②；③，研究臨界值即可判斷③；④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線DB與平面ABC所成角的最大，作圖分析驗(yàn)證可判斷④.【詳解】①當(dāng)D為中點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí),連結(jié)BD，交AC于，則為AC中點(diǎn)，此時(shí)，且,所以四邊形ABCD為正方形，所以AB//CD，故①正確；②當(dāng)D在平面ABC內(nèi)的射影E在線段BC上（不含端點(diǎn)）時(shí)，此時(shí)有：平面ABC，，又因?yàn)?，所以平面CDB，所以，故②正確；③，當(dāng)平面平面ABC，且D為中點(diǎn)時(shí)，h有最大值；當(dāng)A，B，C，D四點(diǎn)共面時(shí)h有最小值0，此時(shí)為平面圖形，不是立體圖形，故四面體D-ABC無(wú)最小值，故③錯(cuò)誤.④二面角D-AC-B為直二面角，且D為中點(diǎn)時(shí)，直線DB與平面ABC所成角的最大，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)DO，BO，則，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以為直線DB與平面ABC所成角，設(shè)，則，，所以為等腰直角三角形，所以，直線與平面所成角的最大值為45°，故④正確.故答案為：①②④.15、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系后求相關(guān)的向量后再用夾角公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，故異面直線與所成角的余弦值為，故答案為:.16、135【解析】直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式寫(xiě)出相鄰四項(xiàng)之和，進(jìn)而求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，所以.故答案為：135.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出數(shù)列的公差及首項(xiàng)即可計(jì)算作答.(2)由(1)求出，建立方程求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，因，則，解得，于是得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，由得：，即，解得或，所以使成立的的值是或.18、（1）條件選擇見(jiàn)解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，并可求得、；選②，推導(dǎo)出數(shù)列是等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數(shù)、奇數(shù)兩種情況討論，結(jié)合并項(xiàng)求和法以及等比數(shù)列求和公式可求得.【小問(wèn)1詳解】解：若選①，，且，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，故；若選②，，所以，，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，故，所以，，故，.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，.19、（1），（2），7【解析】（1）根據(jù)之間的遞推關(guān)系，可寫(xiě)出。，采用和相減得方法，可求得，由題意可推得為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得答案；（2）寫(xiě)出的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法可求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，進(jìn)而利用數(shù)列的單調(diào)性求的最大整數(shù)n【小問(wèn)1詳解】∵，∴，則，∴，即，得又，∴，即，可得數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則；∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，即數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，∴，兩式相減可得：，∴,設(shè)，則，故，是單調(diào)遞增的故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增的，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故滿足的最大整數(shù)20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)F，連接．先證明，，即證平面，原題即得證；（2）分別取的中點(diǎn)G，H，連接，證明為直線與平面所成的角，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，在中，，即得解.【小問(wèn)1詳解】解：取的中點(diǎn)F，連接因?yàn)?，則為正三角形，所以因?yàn)槠矫嫫矫?，則平面因?yàn)槠矫?，則．①因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，E為的中點(diǎn)，則，所以，從而，所以．②又平面,結(jié)合①②知，平面，所以【小問(wèn)2詳解】解：分別取的中點(diǎn)G，H，則，又,，則，所以四邊形為平行四邊形，從而.因?yàn)?，則因?yàn)槠矫嫫矫?，，則平面，從而，因?yàn)槠矫?，所以平面，從而平面連接，則為直線與平面所成的角.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，則從而，.在中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以直線與平面所成角的余弦值的取值范圍是.21、（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，即