東北三省四市教研聯(lián)合體2025屆高二上數(shù)學期末綜合測試模擬試題含解析

東北三省四市教研聯(lián)合體2025屆高二上數(shù)學期末綜合測試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的導函數(shù)為，對任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.2．已知A，B，C是橢圓M：上三點，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點對稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點D，交BC于點E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.3．數(shù)列中前項和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.4．在長方體中，，，分別是棱，的中點，則異面直線，的夾角為（）A. B.C. D.5．若直線與平行，則實數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.06．設函數(shù)，則（）A.4 B.5C.6 D.77．如圖是一個程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的n值是（）A.2 B.3C.4 D.58．命題“，”的否定是A， B.，C.， D.，9．由于受疫情的影響，學校停課，同學們通過三種方式在家自主學習，現(xiàn)學校想了解同學們對假期學習方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務處通過分層抽樣的方法抽取4%的同學進行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說法錯誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學習學生的滿意度不低于四成C.總體中對方式二滿意學生約為300人D.樣本中對方式一滿意的學生為24人10．直線y＝kx＋3與圓(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N兩點，若，則k的取值范圍是()A. B.(－∞，]∪[0，＋∞)C. D.11．已知，分別為橢圓的左右焦點，為坐標原點，橢圓上存在一點，使得，設的面積為，若，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.12．在中，已知角A，B，C所對邊為a，b，c，，，，則（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．對于實數(shù)表示不超過的最大整數(shù)，如.已知數(shù)列的通項公式，前項和為，則___________.14．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點到原點距離都不超過2.15．已知函數(shù)，是其導函數(shù)，若曲線的一條切線為直線：，則的最小值為___________.16．已知等差數(shù)列，的前n項和分別為，若，則=______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數(shù)（1）若，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）在（1）的條件下，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點；（3）若存在，使得，求的取值范圍18．（12分）某校為了了解在校學生的支出情況，組織學生調(diào)查了該校2014年至2020年學生的人均月支出y(單位：百元)的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號t1234567人均月支出y3.94.34.65.45.86.26.9（1）求2014年至2020年中連續(xù)的兩年里，兩年人均月支出都超過4百元的概率；（2）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（3）利用（2）中的回歸方程，預測該校2022年的人均月支出.附：最小二乘估計公式：，19．（12分）已知定圓，過的一條動直線與圓相交于、兩點，（1）當與定直線垂直時，求出與的交點的坐標，并證明過圓心；（2）當時，求直線的方程20．（12分）已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，且的短軸長為（1）求的方程；（2）若直線與交于P，Q兩點，，且的面積為，求k21．（12分）已知雙曲線及直線（1）若與有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍（2）若與交于，兩點，且線段中點的橫坐標為，求線段的長22．（10分）在平面直角坐標系內(nèi)，已知的三個頂點坐標分別為（1）求邊的垂直平分線所在的直線的方程；（2）若面積為5，求點的坐標

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，將所求不等式變形為，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】對任意，都有成立，即令，則，所以函數(shù)上單調(diào)遞增不等式即，即因為，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.2、C【解析】設出點，,的坐標，將點，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點在軸上，且為的中點,則.【詳解】設，，，則，，，兩式相減并化簡得，即，則,則AB錯誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點在軸上，且為的中點即，則正確.故選：C.3、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當時，，，可求得范圍.【詳解】解：因為，則，兩式相減得，因為是遞增數(shù)列，所以當時，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.4、C【解析】設出長度，建立空間直角坐標系，根據(jù)向量求異面直線所成角即可.【詳解】如下圖所示，以，，所在直線方向，，軸，建立空間直角坐標系，設，，，，，，所以，，設異面直線，的夾角為，所以，所以，即異面直線，的夾角為.故選：C.5、B【解析】兩直線平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B6、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.7、B【解析】程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般需重復計算，根據(jù)判斷框中的條件，確定何時終止循環(huán)，輸出結(jié)果.【詳解】初始值：，當時，，進入循環(huán)；當時，，進入循環(huán)；當時，，終止循環(huán)，輸出的值為3.故選：B8、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，并將結(jié)論加以否定，所以命題的否定為：，考點：全稱命題與特稱命題9、B【解析】利用扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖可求出結(jié)果【詳解】選項A，樣本容量為，該選項正確；選項B，根據(jù)題意得自主學習的滿意率，錯誤；選項C，樣本可以估計總體，但會有一定的誤差，總體中對方式二滿意人數(shù)約為，該選項正確；選項D，樣本中對方式一滿意人數(shù)為，該選項正確.故選：B【點睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題10、A【解析】圓心為，半徑為2，圓心到直線的距離為，解不等式得k的取值范圍考點：直線與圓相交的弦長問題11、D【解析】由可得直角三角形，故，且，結(jié)合，聯(lián)立可得，即得解【詳解】由題意，故為直角三角形，，又，，又為直角三角形，故，，即，.故選：D.12、B【解析】利用正弦定理求解.【詳解】在中，由正弦定理得，解得，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、54【解析】由，利用裂項相消法求得，再由的定義求解.【詳解】由已知可得：，，當時，，；當時，，；當時，，；當時，，；當時，；；所以.故答案為：54.14、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點到原點距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點到原點距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點不對稱，故①錯誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯誤；對于④，當時，，可得，當且僅當時取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點到原點的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點到原點的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.15、【解析】設直線與曲線相切的切點為，借助導數(shù)的幾何意義用表示出m，n即可作答.【詳解】設直線與曲線相切的切點為，而，則直線的斜率，于是得，即，由得，而，于是得，即因，則，，當且僅當時取“=”，所以的最小值為.故答案為：【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導函數(shù)，則曲線y=f(x)在點處的切線方程為：.16、【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項和公式可得，再令即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)和等差數(shù)列的前項和公式可得：因為，故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得，再轉(zhuǎn)化為前項和公式的形式，代入的值即可.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值（2）證明見解析（3）【解析】（1）對函數(shù)進行求導通分化簡，求出解得，在列出與在區(qū)間上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在區(qū)間上的最小值為，因為存在零點，所以，從而．在對進行分類討論，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論.（3）構(gòu)造函數(shù)，在對進行求導，在對進行分情況討論，即可得的得到答案.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，由解得與在區(qū)間上的情況如下：–↘↗所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；在處取得極小值，無極大值【小問2詳解】由（1）知，在區(qū)間上的最小值為因為存在零點，所以，從而當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以是在區(qū)間上的唯一零點當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以在區(qū)間上僅有一個零點綜上可知，若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點【小問3詳解】設，①若，則，符合題意②若，則，故當時，，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，解得③若，則，故當時，；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意綜上，的取值范圍是【點睛】本題考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值、證明給定區(qū)間只有一個零點問題，以及含參存在問題，屬于難題.18、（1）；（2）；（3）7.8百元.【解析】（1）應用列舉法，結(jié)合古典概型計算公式進行進行求解即可；（2）根據(jù)題中所給的公式進行計算求解即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，利用代入法進行求解即可.【小問1詳解】2014年至2020年中連續(xù)的兩年有、、、、、共6種組合，其中只有不滿足連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元，所以連續(xù)兩年人均月支出都超過4百元的概率為；【小問2詳解】由已知數(shù)據(jù)分別求出公式中的量.，，，，所求回歸方程為；小問3詳解】由（2）知，，將2022年的年份代號代入（2）中的回歸方程，得，故預測該校2022年人均月支出為7.8百元.19、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點的坐標，將圓心的坐標代入直線的方程可證得結(jié)論成立；（2）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離，對直線的斜率是否存在進行分類討論，設出直線方程，利用點到直線的距離公式求出參數(shù)的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：當直線與定直線垂直時，可設直線的方程為，將點的坐標代入直線的方程可得，則，此時，直線的方程為，聯(lián)立可得，即點，圓心的坐標為，因為，故直線過圓心.【小問2詳解】解：設圓心到直線的距離為，則.當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，即，由題意可得，解得，此時直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.20、（1）（2）或k=1.【解析】（1）根據(jù)題意求得雙曲線的焦點即知橢圓焦點，結(jié)合橢圓短軸長，可求得橢圓標準方程；（2）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，整理得，從而得到根與系數(shù)的關(guān)系式，然后求出弦長以及到直線PQ的距離，進而表示出，由題意得關(guān)于k的方程，解得答案.【小問1詳解】雙曲線即，故雙曲線交點坐標為，由此可知橢圓焦點也為，又的短軸長為，故，所以，故橢圓的方程為；【小問2詳解】聯(lián)立，整理得：，其，設，則，所以=，點到直線PQ的距離為，所以=，又的面積為，則=，解得或k=1.21、（1）且；（2）【解析】（1）聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用方程組與兩個交點，求出k的范圍（2）設交點A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理以及弦長公式