江西省多校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考試題 數(shù)學(xué) 含解析

江西省10月份高三聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若集合，，則（）A． B． C． D．2．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的解的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知雙曲線的離心率大于實軸長，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．若，，，則（）A． B． C． D．5．函數(shù)的最小值為（）A． B． C．0 D．6．已知向量，滿足，，，，則在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．7．現(xiàn)有6個人計劃在暑期前往江西省的南昌、九江、贛州、萍鄉(xiāng)四個城市旅游，每人都要從這四個城市中選擇一個城市，且每個城市都有人選擇，則至少有2人選擇南昌的選法種數(shù)為（）A．420 B．660 C．720 D．12008．已知函數(shù)滿足，且，則（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，，則（）A．與的值域相同B．與的最小正周期相同C．曲線與有相同的對稱軸D．曲線與有相同的對稱中心10．如圖，現(xiàn)有一個底面直徑為10cm，高為25cm的圓錐形容器，已知此刻容器內(nèi)液體的高度為15cm，忽略容器的厚度，則（）A．此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為B．容器內(nèi)液體倒去一半后，容器內(nèi)液體的高度為C．當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為D．當(dāng)容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，容器內(nèi)液體的高度為11．已知拋物線的焦點為，過點且斜率為的直線與交于A，B兩點，其中點在第一象限．若動點在的準線上，則（）A．的最小值為0B．當(dāng)為等腰三角形時，點的縱坐標的最大值為C．當(dāng)?shù)闹匦脑谳S上時，的面積為D．當(dāng)為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則______．13．已知，，，四點都在球的球面上，且，，三點所在平面經(jīng)過球心，，，則點到平面ABC的距離的最大值為______，球O的表面積為______．14．若，，均為正數(shù)，且，則的最大值為______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程．（2）試問是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．16．（15分）貴妃杏是河南省靈寶市黃河沿岸地區(qū)的一種水果，其果實個大似鵝蛋，外表呈橙黃色，陽面有暈．貴妃杏口感甜美，肉質(zhì)實心鮮嫩多汁，營養(yǎng)豐富，是河南省的知名特產(chǎn)之一．已知該地區(qū)某種植園成熟的貴妃杏（按個計算）的質(zhì)量（單位：克）服從正態(tài)分布，且，．從該種植園成熟的貴妃杏中選取了10個，它們的質(zhì)量（單位：克）為101，102，100，103，99，98，100，99，97，101，這10個貴妃杏的平均質(zhì)量（單位：克）恰等于克．（1）求．（2）求．（3）甲和乙都從該種植園成熟的貴妃杏中隨機選取1個，若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于100克且不大于104克，則贈送1個貴妃杏；若選取的貴妃杏的質(zhì)量大于104克，則贈送2個貴妃杏．記甲和乙獲贈貴妃杏的總個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．17．（15分）如圖，在四棱錐中，底面平面．（1）證明：平面平面PAB．（2）若，，且異面直線PD與BC所成角的正切值為，求平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值．18．（17分）已知點，，動點滿足，動點的軌跡為記為．（1）判斷與圓的位置關(guān)系并說明理由．（2）若為上一點，且點到軸的距離，求內(nèi)切圓的半徑的取值范圍．（3）若直線與交于C，D兩點，，分別為的左、右頂點，設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．19．（17分）在個數(shù)碼1，2，…，構(gòu)成的一個排列中，若一個較大的數(shù)碼排在一個較小的數(shù)碼的前面，則稱它們構(gòu)成逆序，這個排列的所有逆序的總個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記為，例如，，．（1）比較與的大小；（2）設(shè)數(shù)列滿足，，求的通項公式；（3）設(shè)排列滿足，，，，證明：．江西省10月份高三聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1．C依題意可得，則．2．D由，得，得或．3．A由題意得，解得．4．A因為，，所以，，所以．5．B，令，得，令，得，所以的最小值為．6．C因為，，，，所以，所以在方向上的投影向量為．7．B將6人分成4組，分配方案有兩種：1，1，2，2和1，1，1，3．那么至少有2人選擇南昌的選法種數(shù)為．8．D令，得，則，則，將以上各式相加得，所以．9．ABC，，則與的值域相同，A正確．與的最小正周期均為，B正確．曲線與的對稱軸方程均為，C正確．曲線沒有對稱中心，曲線有對稱中心，D錯誤．10．BCD此刻容器內(nèi)液體的體積與容器的容積的比值為，A錯誤．設(shè)容器內(nèi)液體倒去一半后液體的高度為，則，解得，B正確．因為，，所以當(dāng)容器內(nèi)液體的高度增加5cm時，需要增加的液體的體積為，C正確．當(dāng)容器內(nèi)沉入一個棱長為的正方體鐵塊時，設(shè)容器內(nèi)液體的高度為，體積，則，，D正確．11．AC依題意可得，直線AB的方程為，代入，消去得，解得，，因為點在第一象限，所以，．的準線方程為，設(shè)，則，，所以，A正確．當(dāng)為等腰三角形時，要使得點的縱坐標最大，則，即，且，解得，B錯誤．的重心坐標為，即，當(dāng)?shù)闹匦脑谳S上時，，得的面積為，C正確．當(dāng)，，三點共線時，．由，得為銳角或直角，當(dāng)為直角或為直角時，或，得或，當(dāng)為鈍角三角形時，點的縱坐標的取值范圍為，D錯誤．12．－2因為，所以．13．4；設(shè)球的半徑為，由正弦定理得，則，則點到平面ABC的距離的最大值為4，球的表面積為．14．（方法一）由，得，不妨令，，，，則，且，所以．令，則，令，得，令，得，所以，即的最大值為．（方法二）由，得．由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故的最大值為．15．解：（1）當(dāng)時，，則，所以，因為，所以曲線在點處的切線方程為，即（或）．（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得在上單調(diào)遞增，則對恒成立，即對恒成立．當(dāng)時，為增函數(shù)，則，所以，又，所以的取值范圍為．16．解：（1）．（2）因為，所以，所以．（3）設(shè)1人獲贈貴妃杏的個數(shù)為，則，，．依題意可得的可能取值為0，1，2，3，4，，，則的分布列為012340.250.30.290.120.04所以．17．（1）證明：底面，．，，平面PAB.平面PAD，平面平面，，平面PAB．又平面平面平面PAB.（2）解：，直線PD與直線BC所成的角為．底面ABCD，，即．設(shè)AD為2個單位長度，以為原點，AB，AD，AP所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設(shè)平面PCD的法向量為，則取，則，得．易知平面PAB的一個法向量為，則．故平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為．18．解：（1）因為，所以是以，為焦點，且長軸長為6的橢圓．設(shè)的方程為，則，可得，又，所以，聯(lián)立與，得，，所以與圓相切．（2）的周長，的面積，所以內(nèi)切圓的半徑，故內(nèi)切圓的半徑的取值范圍為．（3）聯(lián)立得，易知，且，．設(shè)，則，所以．（方法一）由，，得，所以．（方法二）因為，所以．所以，故為定值，且定值為．19．（1）解：在排列613245中，與6構(gòu)成逆序的有5個，與3構(gòu)成逆序的有1個，與1，2，4，5構(gòu)成逆序的均有0個，所以；在排列15432中，與5構(gòu)成逆序的有3個，與4構(gòu)成逆序的有2個，與3構(gòu)成逆