江西省宜春市豐城市第九中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（B卷）（解析）

第第頁豐城九中新八年級數(shù)學(xué)開學(xué)考試B卷一、單選題（每小題3分，共18分）1.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則可判斷A，根據(jù)同類項的定義可判斷B，根據(jù)積的乘方與同類項定義可判斷C，根據(jù)平方差公式可判斷D．【詳解】解：A.，故選項A計算不正確；B.與不是同類項，不能合并，，故選項B計算不正確；C.與不是同類項，不能合并，，故選項C計算不正確；D.，故選項D計算正確．故選擇D．【點睛】本題考查同底數(shù)冪的乘法，同類項的識別與合并同類法則，積的乘方，平方差公式，掌握同底數(shù)冪的乘法，同類項的識別與合并同類法則，積的乘方，平方差公式是解題關(guān)鍵．2.將分解因式，所得結(jié)果正確是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】將看作一個整體，然后對原式變形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可．【詳解】解：．故選D．【點睛】本題主要考查了因式分解，靈活運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解是解答本題的關(guān)鍵．3.等腰三角形的兩邊長分別為和，則此三角形的周長是（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，分是腰長和底邊兩種情況討論求解即可，分情況討論并利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能夠組成三角形是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】是腰長時，三角形的三邊分別為、、，∵，∴不能組成三角形，是腰長時，三角形的三邊分別為，∵，∴能組成三角形，∴周長,綜上所述，此三角形的周長是，故選：C．4.按如圖所示的運(yùn)算程序，能使輸出結(jié)果為12的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】把x與y的值代入計算即可做出判斷．【詳解】解：A.時，，故此選項不符合題意；B.時，，符合題意；C時，，故此選項不符合題意；D.時，，故此選項不符合題意；故選：B【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC＝18，DE＝3，AB＝7，則AC長是（）A5 B.6 C.4 D.7【答案】A【解析】【分析】先求出△ABD的面積，再得出△ADC的面積，最后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AC邊上的高，從而得解．【詳解】∵DE=3，AB=7，∴△ABD的面積為×3×7＝，∵S△ABC=18，∴△ADC的面積=18-=，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴AC邊上的高=DE=3，∴AC=×2÷3=5，故選A．【點睛】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，，均是等邊三角形，點A，C，B在同一條直線上，且，分別與，交于點M，N，連接．則下列結(jié)論：①；②；③為等邊三角形；④平分；⑤．其中正確的有其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A.5 B.4 C.3 D.2【答案】A【解析】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)得，，，，所以，，則利用“”可判定，所以，，則可對①②進(jìn)行判定；再證明得到，則可對③進(jìn)行判定；過點C作于點P，作于點Q，證明，即可判定④正確；證明，得出，根據(jù)，即可判定⑤正確．【詳解】解：∵、均是等邊三角形，∴，，，，∴，，在和中，∴，∴，，，故①正確；∵，∴，故②正確；在和中，∴，∴，∵，∴為等邊三角形，故③正確；過點C作于點P，作于點Q，如圖所示：∵，∴，，∴，∴，∵，，∴平分，故④正確；∵，∴，∴，∵，∴，故⑤正確；綜上分析可知，正確的有5個．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題（每小題3分，共18分）7.若、、是三角形的三邊，化簡：__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，判斷出每一個絕對值內(nèi)多項式的符號，脫去絕對值，去括號合并同類項即可．【詳解】解：∵，，，∴，，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系定理，化簡絕對值，去括號，合并同類項等知識，其中根據(jù)絕對值內(nèi)的數(shù)的符號正確去絕對值是解決本題關(guān)鍵．8.若x+y﹣1＝0，則＝_____．【答案】【解析】【分析】將變形為，然后把已知條件變形后代入進(jìn)行計算即可．【詳解】解：原式=，把x+y-1=0變形為x+y=1代入，得原式=．故答案是：．【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，掌握完全平方公式，正確的進(jìn)行代數(shù)式的變形是解題的關(guān)鍵．9.點關(guān)于x軸對稱的點B的坐標(biāo)是，的值為___________．【答案】7【解析】【分析】由點關(guān)于x軸對稱的點B的坐標(biāo)是，可得，計算求出的值，然后代入求解即可．【詳解】解：∵點關(guān)于x軸對稱的點B的坐標(biāo)是，∴，解得，，∴，故答案為：7．【點睛】本題考查了關(guān)于x軸對稱的點的特征，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．10.定義，若，則x的值為___．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)和，可以得到相應(yīng)的方程，從而可以得到x的值．【詳解】∵，，∴（x?1）（x?1）?（x?3）（x＋7）＝10∴x2?2x＋1?x2?7x＋3x＋21＝10∴?6x＋22＝10，解得，x＝2．故答案為：2．【點睛】本題考查整式的混合運(yùn)算、新定義、解方程，解答本題的關(guān)鍵是明確整式混合運(yùn)算的計算方法、會解答方程．11.如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，頂點A在x軸負(fù)半軸上，B在y軸正半軸上，且C（4，﹣4），則點B的坐標(biāo)為_____．【答案】（0，8）【解析】【分析】過C作CD⊥x軸于D，判定△ABO≌△CAD，即可得到AO=CD，BO=AD，再根據(jù)OD=4=CD，可得AO=4，進(jìn)而得出AD=BO=8，進(jìn)而得到點B的坐標(biāo)．【詳解】如圖，過C作CD⊥x軸于D，則∠ADC=∠BOA=90°，如圖所示：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABO+∠BAO=90°=∠CAD+∠BAO，∴∠ABO=∠CAD，∴△ABO≌△CAD，∴AO=CD，BO=AD，∵C（4，﹣4），∴OD=4=CD，∴AO=4，∴AD=4+4=8，∴BO=8，∴B（0，8），故答案為：（0，8）.【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．12.如圖，，，點D為的中點．如果點P在線段上以的速度由B點向C點運(yùn)動，同時，點Q在線段上由C點向A點運(yùn)動，若點Q的運(yùn)動速度為，則當(dāng)時，的值為___________．【答案】2【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：中，，∵點D為的中點，，當(dāng)時，，，點Q的運(yùn)動速度等于點P的運(yùn)動速度，即，故答案為：2．三、解答題（共5題，每小題6分，共30分）13.計算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平方差和完全平方公式計算即可；（2）根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則計算即可得出結(jié)論．【詳解】（1）原式=；（2）原式=．【點睛】本題考查了平方差和完全平方公式，實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握公式和運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14.已知，化簡并求值：【答案】，13【解析】【分析】先計算乘法公式與單項式乘以多項式，再計算整式的加減，然后根據(jù)偶次方的非負(fù)性求出的值，代入計算即可得．【詳解】解：，，，，，解得，則原式．【點睛】本題考查了整式的化簡求值、偶次方的非負(fù)性，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．15.分解因式：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題主要考查了分解因式：（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：．16.如圖，點為的邊上一點，，，求的度數(shù)．【答案】．【解析】【分析】由得出，度數(shù)，利用外角性質(zhì)定理求出度數(shù)，再根據(jù)求出和，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．【詳解】∵，，∴，∵是外角，∴，∵，∴，∴在中，．【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)，熟記定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17.如圖，已知，，、是上的兩點，且．試證明：．【答案】見解析【解析】【分析】根據(jù)題意證明，得出，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出．【詳解】證明：在與中，，∴，∴，即，在與中，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．四、解答題（共3題，每小題8分，共24分）18.如圖，中，為上一點，為延長線上一點，且，過點作于點，過點作交的延長線于點，且，連交邊于．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】本題考查了三角形全等的判定定理與性質(zhì)（1）由“”可證，可得結(jié)論；（2）先由（1）可知，再由可證，從而由三角形全等的性質(zhì)可得，然后由線段的和差即可得證．【小問1詳解】證明：，且【小問2詳解】由（1）已證：又，即．19.問題呈現(xiàn)：借助幾何圖形探究數(shù)量關(guān)系，是一種重要的解題策略，圖1，圖2是用邊長分別為的兩個正方形和邊長為的兩個長方形拼成的一個大正方形，利用圖形可以推導(dǎo)出的乘法公式分別是圖1______；圖2______；（用字母表示）數(shù)學(xué)思考：利用圖形推導(dǎo)的數(shù)學(xué)公式解決問題（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】問題呈現(xiàn)：；數(shù)學(xué)思考：（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，完全平方公式的幾何背景．問題呈現(xiàn)：利用面積法進(jìn)行計算，即可解答；數(shù)學(xué)思考：（1）利用完全平方公式進(jìn)行計算，即可解答；（2）設(shè)，，則，，然后利用完全平方公式進(jìn)行計算，即可解答．【詳解】問題呈現(xiàn)：利用圖形可以推導(dǎo)出的乘法公式分別是圖；圖；故答案為：；；數(shù)學(xué)思考：（1），，，的值為；（2）設(shè)，，，，，，值為；20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形的三頂點都在格點上，位置如圖，請完成下列問題：（1）畫出三角形關(guān)于軸的對稱圖形（注意標(biāo)出對應(yīng)點字母）；（2）求三角形的面積；（3）在軸上找一點，使最小，在圖中畫出點，（保留作圖痕跡），并寫出點的坐標(biāo)______．【答案】（1）見解析（2）（3）見解析，【解析】【分析】本題考查作圖軸對稱變換、軸對稱最短路線問題．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖，即可得出答案；（2）利用割補(bǔ)法求三角形的面積即可；（3）取點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，則點即為所求．【小問1詳解】如圖，即為所求．【小問2詳解】的面積為．故答案為：．【小問3詳解】如圖，取點關(guān)于軸的對稱點，連接，交軸于點，連接，此時，為最小值，則點即為所求，點P的坐標(biāo)為：．五、解答題（共2題，每小題9分，共18分）21.所謂配方，就是把一個多項式經(jīng)過適當(dāng)變形配成完全平方式．配方法除一元二次方程求根公式推導(dǎo)這一典型應(yīng)用外，在因式分解、化簡二次根式、證明恒等式、解方程、求代數(shù)式最值等問題中都有廣泛應(yīng)用．是一種很重要、很基本的數(shù)學(xué)方法．如以下例1，例2：例1：分解因式解：原式例2：化簡：解：原式閱讀以上材料，請問答以下問題：（1）分解因式：______；（2）化簡：；（3）利用配方法求的最小值．【答案】（1）（2）（3）13【解析】【分析】此題考查了配方法的應(yīng)用，（1）利用例1中給出的方法分解因式即可；（2）利用例2中給出的方法求解，進(jìn)一步開方即可；（3）分組分解，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得最小值即可．【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】∵，∴∴的最小值是13．22.如圖，在等邊三角形中，點在邊上，點在邊的延長線上，以為一邊作等邊三角形，連接．（1）若，求證：；（2）試探究：線段、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】（1）見解析（2）；理由見解析【解析】【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造等邊三角形是解題的關(guān)鍵．（1）證明得到是線段的垂直平分線，推出，利用平行線的判定定理即可證明；（2）過作，交的延長線于點，由平行線的性質(zhì)易證，得出為等邊三角形，則，證明，得出，即可得出．【小問1詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：；理由如下：是等邊三角形，，過作，交的延長線于點，如圖②：，，，為等邊三角形，，為等邊三角形，，，∴，，在和中，∵，，，，即．六、解答題（共1題，共12分）23.如圖，，，點在射線上，且，點在上且，連接，取的中點，連接并延長至，使，連接．（1）如圖1，當(dāng)點在線段上時．①用等式表示與的數(shù)量關(guān)系；②連接，，直接寫出，的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)點在線段的延長線上時，依題意補(bǔ)全圖形2，猜想②中的結(jié)論是否還成立，并證明．【答案】（1）①；②，，理由見詳解