概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（浙大內(nèi)部課件）

浙大內(nèi)部課件（盛驟1.11.21.31.4等可能概型（古典概型1.51.62.12.22.32.42.53.13.23.33.4第四章4.14.24.34.4第五章5.15.2第六章6.16.2第七章7.17.27.3第八章第九章第十章10.110.210.3第十一章11.111.211.3第十二章12.112.212.312.4概率第一章概率論的基本概念§1

對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察、記錄、試驗(yàn)統(tǒng)稱為隨機(jī)試驗(yàn)?！?樣本空間·定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的所有結(jié)果構(gòu)成的集合稱為E的

S={x|a≤x≤b(二)

(三)

2°A＝B

A記A={明天天晴}，B={

B記A={至少有10人候車}，B={至少有5B一枚硬幣拋兩次，A={第一次是正面}，B={B

A A

{x

xA

x

A與B

A

AB,ABA

{x

xA

x

A2An至少有一發(fā)生

A2An同時(shí)發(fā)生AB

{x

xA

xB

AA

AB

∩i

∪i

A1

∪i

i

例：設(shè)ABA∪B

ABAB

§3頻率與概率

(A)AnA—A發(fā)生的次數(shù)(頻數(shù))；n次，則在這n次試驗(yàn)中“沖擊亞洲”這事件發(fā)生的頻率為1n；A={

fn(

15

#頻率fn

例：拋硬幣出現(xiàn)的正面的頻n德?**0f(A)f(S)若AA,…,A兩兩互不相容，則f(AfAfn

(二)定義1fn(A)的穩(wěn)定值p定義為A的概率，記為P(A)=p0P(A)P(S)若AA,…,AP(APA

PA0不能APA1A1°P(A

1

QA∪A

P(A)P(A)

P()2°若A

P(B

A)

P(B)

P(A)

P(B)

P(QB

A∪

P(B)

P(A)P(P(B)P(A)

P(AB)

P(B

P(B)

P(

P(A)

P(B)

P(

A∪(B

P(A∪B)

P(A)P(B

又QB

知P(B

AB)

P(B)P(P(A∪B)P(A)P(B)P( #3的推廣 P(AA 1ij P(AiAj

)(1)n1P(A

An1ijk§4（古典概型記A={摸到紅球}，求P(A)． P

)CkCnk

/Cn

k0,1,L, N （注：當(dāng)L>m或L<0

L0）記A＝{n解：

樣本點(diǎn)數(shù)為Nn，使A發(fā)生的樣本點(diǎn)數(shù) nn!P(A) nn!/Nn

P(

1Cn

n!/Nn

記A=無2C5PA

例6:a個(gè)紅球，b個(gè)白球，記a＋b＝n．不放回地摸n解

{第k次摸到紅球}，k＝1,2,…,n．

P(Ak可設(shè)想將n①②,,是n球

號(hào)球?yàn)榧t球，將n個(gè)人也編號(hào)為 , 視

P(Ak)

a(ab1)!(a

ab

與k ,,,1 Ca，每點(diǎn)出現(xiàn)的概率相等，而其中有Ca1

P

)

/Ca 解

a將第k

S＝{①，②，…，n {

} P(A)a

a

記第k次摸到的球的顏色為一樣本點(diǎn) S＝{

P(Ak

1212/712=0.000000§5 記A={B={P(A)=90%而P(B)=85.5%P(A)=0.90是將整批產(chǎn)品記作1時(shí)AP(B|A)=0.95是將合格品記作1時(shí)B若記P(B|A)=x，則應(yīng)有若記P(B|A)=x，則應(yīng)有xP(AB)P(

P(B

A)

P(P(

P(A)

P(B

A)1

P(B|P(B∪C

A)

P(B

P(C

P(BC|B

P(B

A)

P

|A)P(P(AB)P(A)P(B|A)P(B)P(A|P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|A={生產(chǎn)的產(chǎn)品要報(bào)廢}

∵AB與ABP(A|B)P(A)

P(AB

AB)

P(AB)

P(AB)P(B)P(A

B)

P(B)P(A|B)0.30.20.70

B,A

P(A)

P(AB)

P(B)P(A

0.30.2Ai={這人第i次通過考核

P(A2|A11P(A2|10.8A={A

P(A)

(1)P(A1)P(A2

1)

1)(3

12

0.60＋0.40.80.40.20.9

0.992P(

P(

1)P

10.40.20.1

與Ai={第i次取到紅牌}，i=1,2P(B)

P(1)P(A2

P(1)P(

P(B)

1111

1111

C2(2)(2)

P(B)

2626

C1

/C2

三、全概率公式與Bayes定義：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn

Bn

Bj

i

i,

1,2,,即：B

j

P(B

j)P(A|Bj

不相容ijQA

AB1

P(

P(ABj

P(Bj)P(AP(B|P(B|A)P(BiP(

BjP(B|P(B|A)P(Bi)P(A|BiP(Bj)P(A|Bjj*P(Bj)=pjP(A|Bj)=qj

p P1 Pn P

PBjPA

BjP

P(B

A)

P(B

A)

P(B)

P(AB

P(AB)P(

16

例：根據(jù)以往的臨床記錄，某種診斷癌癥的試驗(yàn)具有5%的假陽性及5%的假陰性：若設(shè)A={C={被診斷患有癌癥}PA|C)

5%,P(A|C)

P(C)=0.005，

P(C)P(A|C)

P(C)P(A|C)

P(C)P(A|C)§6 不放回抽樣時(shí)

P(A2|A1)9P(A2)P(A2|A1)

P(A2同樣，A2的發(fā)生對(duì)A1定義：設(shè)A，B

P(A)

0,P(B)若P(B|A)=P(B)，即AAB相互獨(dú)立AB相互獨(dú)立AB相互獨(dú)立AB定義：設(shè)A1A2,LAn為n個(gè)隨機(jī)事件，若對(duì)2

均有：PAAL

PA

ij則稱A1,A2L,An1°兩兩獨(dú)立不能2°實(shí)際問題中，常常不是用定義去驗(yàn)證事件的獨(dú)立性，率為0.8，乙擊中率為0.7，求目標(biāo)被擊中的概率。A={甲擊中},B={乙擊中}則：C

AB，P(C)

P(A)

P(B)

P(A，B

0.7

0.80.56

解：設(shè)

P(A)

P(A)P(AA

)p(p2

pp3 另解，PA

P(AAA∪AA)

p3

p2

例：甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局甲勝的概率為p,p1解：設(shè)

第i局甲勝

i1,2,L,

PAPAAAAAAAAp22p21p PA

前四次有兩次輸

C11pp3C21p2p3 p,當(dāng)p

P122P1

p2p1,當(dāng)p總結(jié)

S

隨機(jī)事件AABA事件的運(yùn)算：ABAB 當(dāng)AB時(shí) A AP

PA1PA當(dāng)AB時(shí)PAPBPAB=PAPBPP條件概率：PB|A P

當(dāng)B1,B2,L,Bn為SP(A)

)P(A|B

|A)

P(Bi)P(A|Bij

j

j)P(A|Bj

設(shè)A和B為兩隨機(jī)事件，試舉例說明P(AB)=P(B|A)

A

PBPB

PB

A1PB

當(dāng)A和BP(A∪B)設(shè)A,B,C為三隨機(jī)事件，當(dāng)A≠B，且P(A)≠0P(B)≠0時(shí)，第二章隨機(jī)變量及其分布§1

§2定義：取值可數(shù)的隨機(jī)變量為離散量 樣本空間樣本空間S＝…}1P(S)P(Xxi)

P(

0)

P(A1)p

P(

p)pP(

2)

X0XX0X1X

p)2pP(

3)

p)3P(

k)

P(AA

)

k1

k1,2, k 0－1(p)

*n重貝努利試驗(yàn)：設(shè)試驗(yàn)E

A,獨(dú)立重復(fù)地拋n正面，反面，P出現(xiàn)正面

1將一顆骰子拋n次，設(shè)A={得到1

P

1從52張牌中有放回地取n次，設(shè)A={

P

1P(

k)

kpk

X□

Ckpk

其中q1k推導(dǎo)：設(shè)Aii次AP(

0)

)

P(

P(AAA∪AAA∪AAA)C1

P(

2)

P(AAA∪AAA∪AAA)C2p2

P(

3)

P(A1A2A3)一般P

k)

kpk

p)nk,

0,1,2,L,解：以X記“第一人維護(hù)的20及時(shí)維修”，則知80

PX而Xb200.01,

PX

k

1C200.01k

CC

k

k)

kpk

p)3k,

2

C2p2(10<p<1，設(shè)命中X次，(1X的概率分布律；(2)求至少有一次命中的概率。

X

b(n,p)

P(

k)

kpk

0,1,,2

P(

1

P(

1

p)n

limP(n

1)設(shè)X為第一次抽得的次品數(shù)，Y為第2則

P(A|1

且{X=i}與{Y=j}獨(dú)立。A={

0|1

L(P)

P(

0)P(A|

P(1

2)P(A|1

P(

2)P(A|

45p2

p)8]

eP(

k)

kk

0,1,2,

P(

k)

e4.5k

1P(

2

P(

2|

2)

P(P(

C 1 ,其中§3

F(x)

P(

1)0

F(x)2)F(x)單調(diào)不減，且F(0，F(xiàn)(Q0

P(x1

x2)

F(x2)F求X的概率分布函數(shù)

F(x)

PX

xFxFxP(

1)

P

1)

p

時(shí)，F(xiàn)x§4X

F

FF(x)f(t)dt

f

f(x稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度f(x)

y

(x)f(x)+

(x)dx

Px1

x2 PxXx 2f

(x)連續(xù)點(diǎn)

'(x)

f(x)即在f(x)

f(x)F'(x)

F(x□x)

F(x)

P(x

x□□ □ □ □P(x

x□x)

f(x)□f(x)表示X落在點(diǎn)x 0x例：設(shè)X

f(x)2 3x

P(

k)

11

f

c0dt

93

2

c2

F(x)

x1dt

x0x

x0

x 0

x1 dt

1x

1

1x0 1

dt

2dt

3x

(2x3)/ 3

x0 3

x

x3

PXk)

2F(k)

4.5

f(x)b

x(a,設(shè)accl

x

xP(c

cl)

dt

F(x)bffF

axbxb例：在區(qū)間(-1,2)上隨機(jī)取一數(shù)X，試寫出X

P(X

解：X在區(qū)間(-1,2)

1f(f(x)

1xP(X0)2

設(shè)10個(gè)數(shù)中有Y個(gè)數(shù)大于則 2211031033

2)C

f(x)

e

xx數(shù)分布。

□EP()(x)

xxP(X

t|

t)

P(

t P(Xt1F(t0t

e

P(

t1F(t0服從參數(shù)為t的Poisson分布，記設(shè)備無故障運(yùn)行的時(shí)間為2

解

PNtkett

/k

k0,1,FTt

當(dāng)t0當(dāng)t0

tt1PNt01et2

18|

定義：設(shè)X的概率密度為f(x

，x

2為常數(shù)，稱X,

2的正態(tài)分布(Gauss分布

□N(,2

f(x)dx令t+

t2Q

f

e2 t2記I (x2y2

re2

I

f(x)dx1X~N(,21°f(x)關(guān)于x2°

max

f() f(x)xfffσ是反映X在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量記Z~N(Z

et2

( xxX

N(,2)

P(a

QP(a

b

(x

b

t2

P(a

a

e2例

~N(,2P(X

)

P(

P(XP(X

2)

2(2)1

2

X(cm)

N(,2

P(X

(97.8

1===10.8643

即103 97 )2

)1

X(cm)

175cm的概率；(2)若從中隨機(jī)找5個(gè)男子測(cè)身高,問至高大于175cm

P(X

1

175169.7

110.9015

其中

1

1

C1

§5測(cè)量值可看作隨機(jī)變量X，0.2

□N(,

2P(Y

P(

P(Y

1)∪(

P(

例：設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度f

(x)

x 0

x解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX

)FYFY(y)PYyPX

yP X yf(x)f(x)f(t)dtf(x)u(f(t)dtf(u(x))u

y16Yy當(dāng)0y16FY(y)

y

FX

y)

fX

y 0

y

1 0

y

(y)

2其

Y在區(qū)間(0,16)若Y為離散量，則先寫出Y

y2,Lyj,L,再找出

yj

D得

yi)

P(

若Y為連續(xù)量，則先寫出YFY(y)

y的等價(jià)事件

得FYy

P(

D)；再求出Y的概率密度函數(shù)fY---設(shè)X的概率密度為

X求Y的概率密度fYy)□y

(

P(X2

y)

f

f

0

f (y)

'(y)f

y)

f

y

y 0

y 定理：設(shè)X

fX(x),x，g'(x0(或g'(x0)YgXYfY(

fX(h(y))

h'(y)

y 其中

min(g(),g())，max(g(),g())，h(y)xyg

且：hyyYy

P(Yy)

P(g(X)

y)

P(

)y

FYy

y

y)P(g(X)h(yP(

h(

fXfY(y)

fX(h(y))h'(y)

fX(h(y))

推論：設(shè)X

fX(x),{x

(x)

b),當(dāng)a

0(或

'(x)

YgXYfY(y)

f

(h(y))

h'(y)

y

min(g(a),

max(g(a),h(y)xyg(x)

~N(,

2

X

(y)解：g(x)

g

xh(y)

yfY(y)

fX

e

~N一般若X~N(,2YaXbY~N(aba22若X

f(x)

x 0

x

YX

fYy) y

g(x)

xxy3h(y)g

0，

(y)

f(y)

y3 0

y

3y3f

(y3 24 0, 其他例：設(shè)X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，F(xiàn)x為X

2設(shè)

FX試證

ex,x 1ex,x解

由前知,X

fx

,x

,x2

1eX,XY

0Y ,X記

y

當(dāng)y

y

y

y

P1eX

Pe

1 PX

1

yy,0

y0y1,y1

YUPXkCkpk1knk,k0,1,L, 課件待續(xù)§1例1：研究某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育情況。僅研究身例2：研究某種型號(hào)炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的定義：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間S={e}；設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)

Xe,Ye x,x,yF(x,y)

P(

x)∩

P(

y)

F(x,

y

xxF(x,y)F(x

,y) y1

y2

F

F

y2

F

F(,)對(duì)任意x(x,y(x,y

F(x,)

F(,)

x,y關(guān)于

limF(x

,y)F(x,y)limF(x,

y)

F(x,y)4°若xx F(x2

y2)

F(x2

F(x1

y2)

F(x1

y1)因?yàn)镻x1

x2,y1

y2F(x2,y2)F(x2,y1)F(x1,y2)F(x1,y1)定義：若二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不同值是有設(shè)X,Yxi,yi,i,j1,稱PXxi,Yyjpij,i,j1

Pij j解：(X=i,Y=j)的取值情況為P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj|Xi)1 即(X,Y)例2：某足球隊(duì)在任何長(zhǎng)度為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)得黃牌或紅牌的次數(shù)Nt服從參數(shù)為t的Poisson分布記Xi為比賽進(jìn)行ti分鐘后的得牌數(shù)i1試寫出X1X2

t1解：PNt

k

tk

k0,1,PX1

i,X2

j

PX1

iPX2

j|

t

et2t1

tj

i0,1,

ji,ii! (ji)!

y,

有F(x

f(u,稱X,Y為稱fxy為二維隨機(jī)變量X,Y

x,y

f(x,y)dxdy設(shè)G是xoy平面上的區(qū)域，點(diǎn)X,Y落在GP((X,Y)G)

f(x,2F(x,在f(xy)的連續(xù)點(diǎn)(x,y)，

f(x,

f(x,y)表示空間一個(gè)曲面，介于它和xoy2PX,YG)等于以G為底，以曲面zf(x,y)所以X,Y例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)ke(2x3y)f(x,y)

x0，y (1)k2

求分布函數(shù)F(x,3求P(YX)的概率 (1)利用－

f

e2xdxe3ydy

6

kf(x,

6e(2x3y)

x0，y

yx6e(2u3v)

x0,y2

F(x,

f(u,v)dudv 0,

x0,y

x0,

0 0, 3

X)

6e(2x3y)dxdy

3e3y(e2

| 3e3ye2ydy

3e5

3e5

| 0xf(x,y)

y

y (1)求常數(shù)k；(2)求概

P(X

解

f(x,y)dxdy

f(x,

0

1ky3dy

k0

2

P(X

2 24x[(1

x2 24x(1

§2記為X(x)Yy稱為邊緣分布函數(shù)

F(x,FFX(x)F(x,)FY(y)F(,yFX(x)

P(

x)

P(

)

F(x,即在分布函數(shù)F

(x)同理得：FYy

y)

F(,y) P(

yj)

i

yj)

P(

yj)

pij

P(

xi)

P(

)j

pij

pi

XY …

pi

xiP

yj

f(x,

(x)

f

fY(y)

f

FX(x)

F(x,

f(t,y)dy

fXF(

F(,y)

y

f(x,

fY

X和Y

,Y

2

求

2|

2PX

2|

20

- 0.10.1

1|

(3)P(

1|

(1a+b+0.6=1又

1|

1)

1

a

0.b=0.33

P(

ii 0.4

0.3□0.20.3

0.3

1A,(x,y)f(x,y0, 現(xiàn)設(shè)(X,Y)x2yx

f(x,y)

x2

y

fX(xfY

( fX(x)

f(x,

x26dy6(xx 0x fY(y)

f(x,

0

y f(x,y)

11 (x

(x

(y

)2

2 2(12

y

X,Y

N(，;2，2; 解：fX(x)

f(x,

(x)2

(x)(y)

(y

)211

21

exp2(12)

1

(x1

x

1

2

1

11

e2(1)

(x

1 1

y22(x1)

2

22(12)

(x1

1

2

(x2

x同理

(y)

22

y§3

P(A)

P(B|

P(

yj)

i,

若

yj)

P(

xi|

yj

PP(Xx|Yy)P(Xxi，Yyj)P(Yy

yj

PP(Xx|Yy)P(Xxi，Yyj)P(Yyi1,為在

yj條件下，隨機(jī)變量X的條件分布律

P

xi

PP(Yy|Xx)P(Xxi，Yyj)P(Xxj1,i為在

xi條件下，隨機(jī)變量Y的條件分布律解：X,Y的聯(lián)合分布率為

0|

3

1|

1)4

2|

1)

p(0

P(

n)

p2qn2

q1

n2,

m1,2,LnX的邊緣分布律為：P

P(

n)

p2qn2

n) P(

p2qn2

(n1)p2qn2,

n

2,3,L),

在Y

P(

m|

p2qn2 (n1)p2qn2

n1

m1,2,L,n1.

1,2,L),P(

在X

m條件下，Y

n|

p2qn2

pqnm1

nm1,m

y)

y條件下，X (x

y)

P(

x|

y)

P(X

X

y)

0,P(y

y)

y條件下，X (x

y)

limP(

x

y

y)

P(Xx,yYX

x|

P(y

(x,

fY(y)f(x,y為在YfYy)

y的條件下，X

(x

y)

f(x,X

fY(同理，若對(duì)于固定的x,fX(x在Xx條件下，Y

(y

f(x,Y|X

fX(x)

(x

(x|y)

(x

y)

f(x,X

X X

fY(

(x

y)

(x|y)

P(

y

X

X

P(y

y)F

F(x,y)F(x,y

F(y)

F(x,

2F(x, fY(

f(x,y)fY(y)例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域{(x,y)yfX|Y(x

y)及P

2

1P(XP(X2Y1 2X(x12dx2

2f(x,y)

x

dx1y

1

yfY(y)

f(x,y)dx二維均勻分布的條件為分布二維均勻分布的條件為分布 fX

(x

y)

y<x

x0

數(shù)Y在區(qū)間x,1上隨機(jī)取值，求Y的概率密度fYy)分析:

為求Y的概率密度，就要先求X,Y而根據(jù)X的邊緣概率密度和Y在X 0x 即可求得X,Y的概率密度,而fX(x) 解：對(duì)任給x(0x1在Xx條件下，Y x

y (y|x)1Y|

x

y1,0x故X,Y的概率密度為：f(xy)

fX(x)fY|

(y|x)1 fY(y)

f(x,y)dx

dxln(1 01

y §4定義：設(shè)F

y)及

(xFYy)分別是二維隨機(jī)變量X,YF(x,F(x,y)FX(x)FY(P(

y)

P(

稱隨機(jī)變量X,Y若X,Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(xy),fX(x),fYy)

(x,y)

fX

fYy)若X,Y是離散型隨機(jī)變量，則X,Y條件等價(jià)于：P

xi

yj)

P(

xi

yjpijpi□pijpi□例1：§1例2中X和Y？(X,Y)6e(2x3y)f(x,y)

x0,y2e2xfX(x)

x

fY(y)

y

0

y故有

(x,y)

fX(x)

fYy),因而X,Y

x,y

gxhy

axb,c

yd其中abcdP(P(P(P(

1)12)11)22)2

P(P(P(P(

P(

1)1P(

1)12121故P

P(

因而X與Y例4:設(shè)X與Y P( P(P(Yj)例5X,Y1f(x,y) 1 (x)2

(x)(y (y

)2exp2(12)

1

(x

(y

)2fX(x)

fY(y)

21

"

如果

(x,y)

fX(x)

fY(y)"

即X,Y反之，若X,Y由于

(x,

fX

fYy)

(x,y)

fX(x)

fY(y)特別的有

(1,2)

fX(1

fY(2)11

1

e2

x f(x,y)

fX(x)

(y)

1 x

x0,y

xP(

2Y) dxx

1e2

4dx

3x 4dx n設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S設(shè)X1X1e,X

X2e,L,

Xne是定義在S由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向量X1,X2,L,Xn稱為n維隨機(jī)變量。對(duì)于任意n個(gè)實(shí)數(shù)x1,x2,L,xn，nF(x1,x2,Lxn)P(X1x1,X2x2,L,Xnxn稱為n維隨機(jī)變量X1,X2,L,Xn的分布函數(shù)。 設(shè)X1,X2,L,Xn所有可能取值為(x1i

,L,xni

ij1,P(X1

,X2x2i,L,Xnxni

j1,

ij1, 稱為n維離散型隨機(jī)變量X1,X2,L,Xn的分布律。若存在非負(fù)函數(shù)f(x1x2,Lxn)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1x2,LF(x,x,Lx)

1f(x,

,Lx)dxdx

X1,X2,LXn的分布函數(shù)F(x1x2,Lxn則X1,X2,LXn的k(1

n) (x1)F(x1,,,L, F(X,X)(x1,x2)F(x1,x2,,L, P(

x1i)

P(

x1i,X

x2i,L,Xn

xniP(

x1i,X

x2i)

P(

x1i,X

x2i,L,Xn

xni fX1(x1 L

f(x1,x2,L,xn)dx2dx3 f(X1,X2)(x1,x2 L

f(x1,x2,L,xn)dx3dx4 若對(duì)于所有的x1,x2,L,xn,有 F(x1,x2,L,xn)FX(x1)FX(x2)LFX( 則稱X1,X2,L,XnX1X2,LXm與Y1,Y2,L,Yn設(shè)X1X2,LXm的分布函數(shù)為F1(x1x2,LxmX1,X2,L,Xm,Y1,Y2,L,Yn的分布函數(shù)為F(x1,x2,Lxm,y1,y2,Lyn若F(x1x2,Lxmy1y2,LynF1(x1x2,Lxm)F2y1y2,Lyn稱X1,X2,L,Xm與Y1,Y2,L,Yn設(shè)X1,X2,L,Xm與Y1,Y2,L,Yn則Xii

12,Lm與Yj

j12,Ln設(shè)hx1x2,Lxm和gy1

y2

yn則hX1,X2,L,Xm和gY1,Y2,L,Yn§5 ZX

f(x,

則Z

F(z)

P(Z

z)

f

y)dxdy

z

f

xy

f(u

y,

f(u

y,y)dy

fZ固定z,

故Z的概率密度為：fZ(z)

f(z

y,令xu

由X,Y

Z(z)又可寫成

(z)

f(x,

XY的密度函數(shù)公式稱為ffXfX(zy)fY(y)dyfX(x)fY(zZX

1

(zfZ(z)

fX(x)fY(z

z

tx 1e

e(x2)

21e4 1

2

2 e2

Z

X□N(,2),Y□N(,2 則ZX

□N(,22 ZX

fZ(z)

(x)

(z0

x

0x0zx 即z1x

zdx

0zf(z)1 dx2 1zz f(x)

e

xx

Z

Y解：根據(jù)卷積公式：fZ(z

fX(x)fY(z當(dāng)z0時(shí)，fZ(z)當(dāng)z0時(shí)，僅當(dāng)x0、zx0于是當(dāng)

0時(shí)，fZ(z)

dx

(z)

z e

zz

0 這是參數(shù)為(2,)的分布(Gamma)的密度函數(shù) 則Z

Y服從參數(shù)為

2的

fZ(z

fX(

fY(z

f(x)1(

y11e

x

10,當(dāng)z0時(shí)，fZ(z)

xzx

y2

xy

(z)

x (zx)

e

fY(y)2(

20,

y e

212

)0

(z xz z121e

11

2

12

)0

□

1

且常數(shù)A

12

12MmaxX,Y

,

設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為FX(x)和FYy現(xiàn)在來求MN的分布函數(shù)Fmax(z)和Fmin(z)。M(M(z)P(Mz)P(Xz,Yz)Fmax(z)FX(z)FY(z)

z)

P(

P(

z)Fmin(z)

z)1

1P(FminFmin(z)1(1FX(z))(1FY(z))

z)1P(

(xi

MmaxX

NminXi的分布函數(shù)Fmaxz和Fminz1iFFmax(z)FX(z)FX (z)L (z)Fmin(z)1[1FX(z)][1 (z)]L[1 特別，當(dāng)X1,X2,L,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)(z)(F(z))n (z)1[1F(z)]n 令U

max(X,Y備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)，系統(tǒng)L2開始工作)。如fX(x)

xx

efY(y)

yy

0,

0，且 FX(x)

1e

xx

1e

yy

(z)

1e()

zzfminfmin(z)()e()zzFmax(z)

FX(z)FY(z)

z

zffmax(z)ezez()e()zz當(dāng)

(z)當(dāng)Z0

(z)

(z

(

ze(zy)e ezze()

[e

ezf(z)f(z) [ezez]zz2.設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)量，則P{X+Y=1}=0,f(x0,y0)≠fX(x0)·fY(y0)則X和Y不獨(dú)立，對(duì)嗎？ §1

810980

8109801010 820965

8209651015

分別是8910 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為：PX

xk)

k1, kkk的數(shù)學(xué)期望，記為EX,

kxf

x x

E(E(X)xf

xf

f(f(x)xx

Xkk1,2,是指數(shù)分布的密度函數(shù)是指數(shù)分布的密度函數(shù)

(k1,

的分布函數(shù)F(x1

xx

minX1X2,故N

(x)1(1F

2

xx

(x)

2e

xxE(

)x

xe

|

e

e 從而E(N210210481E(X

041821 X~b(5

10)

P(

0)(1

E(Y

X(求EX)解：X的分布律為：PXX的數(shù)學(xué)期望為：

k)

kek!

k

E(X)

kk

e

k k

k1

eeEX例XU(ab)，求EX)b

ax解：XX

f(x) E(X)

xf(x)dxb

aab 定理：設(shè)Y是隨機(jī)變量X

gXg是連續(xù)函數(shù),P(

xk)

pk

k1, 若g(xk)pk絕對(duì)收斂，則有E(Y

E[g(X)]g(xk)pkX是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的概率密度為

(x)若

g(x)

(x)dx

則有E(Y

E(g(X

g(x)

(x)dx定理的重要意義在于我們求E(Y)時(shí)，不必算出Y的分布律或概率密度，而只要利用X的分布律或概率密度就可以了。定理：設(shè)Z是隨機(jī)變量X,Y

gX,Yg是連續(xù)函數(shù),若二維離散型隨機(jī)變量X,YP(

xi

yj)

i,

則有E(Z

E[g(X,Y)]g(xi

yj j 則有E(Z

E(g(X,Y

g(x,

y)

特別地，EX

(x,

1x解：X

(x)

SE(S

f(x)dxx2 ZsinXY)(XY 2(0

解：E(Z)

]

0.1

sin(0

0.25sin

0.2sin(02) sin(12)0.15

yx,x

XYf(x,y)2x3y2

求數(shù)學(xué)期望EY, yyy 解：E(Y yf(x,y)dydx

x

1

2x3 1lny|x

3lnx2

1dx

2 E(1)

f(x,

dxx

1

2x4 3[ ]|x

(11

(

1) 2x4

2y2

4

考慮：先求E(Y

f(f(y) 2x3 2x0y y

單位商品可獲利1000調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品可獲利500元；試計(jì)算此商店經(jīng)銷該種商品每周所獲得利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)ZZg(X,Y)1000Y

若Y若YX和Y相互獨(dú)立，因此X,Y)f(x,y)1 10x20,10y E(Z)g(x,y)f(x,

500(x

y)1100設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX

CE(X設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E

Y)

E(X)

E(Y

c)

aE(X)bE(Y)設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有EXY

E(X)E(YC是常數(shù)，P

1,E(X)

E(C)

1C E(CX)

(x)dx

C

xf

CE(X E(

Y)

(x

y)

(x,

xf(x,y)dxdy

yf

y)dxdy

E(X)E(Y E(XY)

(x,

xyfX(x)fY(

xfX

yfY(y)dy

E(X)E(Y不停車，以XEX)。Xi

X1X

L

E(

)P(

P(第i站有人下車

1(9 E(X)

E(X1)

E(X2)L

E(X1010[19)208.784(次設(shè)隨機(jī)變量X1X2X3X

Y EXi

i,

YX1X4X2X由條件，E(Y

E(X1X4)

E(X2X3E(X1)E(X4)E(X2)E(X31423§2另一批燈泡壽命為：一半約1300小時(shí)，另一半約700小時(shí)→平均壽命為1000D(X)VarD(X)Var(X)E[XE(X

將DX記為X)稱為X的標(biāo)準(zhǔn)差或均方差反之，若X取值比較分散，則DX)較大。

xk)

k1,DD(X)[xE(X)]k 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量其概率密度為

(x),DD(X)[xE(X)]2fDD(X)E(X2)[E(X

E(X)]2EX

2XE(X)[E(XE(X2)2E(X)E(X)[E(XE(X2)[E(X

E(X)

X證明：EX*)

證：EX*)

1E(

1[E(X)]D(X*)E(X*)[E(XE[(X

)2

E[(

P(

E(X

0

p)1pE(X2

p)12pDX

E(X2)[E(Xpp2

p(1

X的分布律為：P

k)

k

k1,

由上節(jié)例5已算得EXEX2

1)X

E[X(

E(X kk(k

2e k2ee

k2

k2

DXEX2[EX)]2

設(shè)X~U(ab)，求DX)

b

ax

f(x) 上節(jié)例6已算得：EX)

aE(X2)x2f

bx2

b

a2

D(X)E(X2)[E(Xa2

a2b2

(b

e

xf(x)

x解：E(X) xf

x

e xe

edxE(X2)x2f

x2

2

xe

dxDXEX2[EX

設(shè)C是常數(shù)，則D(C)設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D(CX設(shè)X,Y

C2D(X

Y)

D(X)

E(X

E(Y特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有D

Y)

D(X)

綜合上述三項(xiàng)，設(shè)X,Y相互獨(dú)立，abc則

c)

a2D(X)b2D(YD(X

0

P(

C)

且C

E(X

D(C)

E

E(C)]2D(CX)

E(CX

[E(CX

C2E(X2)C2[E(XD(

Y)E(

Y)]2

E(X))

E(Y

E(X)]2E

E(Y)]22E[

E(X

E(Y

E(X

E(Y當(dāng)X,Y

EX)與

E(Y)故E

E(X

E(Y)]

E(X

E(Y)]所以D

Y)

D(X)D(Y

□

解：隨機(jī)變量X是n重伯努利試驗(yàn)中事件A

A在第kA在第k

k1,于是X1X2,LXn相互獨(dú)立，服從同一01 1-p易知XX 1-p 故知：EX

E(Xi)E(Xi) D(X)D(Xi)D(Xi)np(1 即EXnp，DXnp(1以n,p為參數(shù)的二項(xiàng)分布變量，可分解為n個(gè)相互獨(dú)立且都服從以p為參數(shù)的01分布的隨機(jī)變量之和。例7：設(shè)X□N(,2)，求EXDX

X

t2Z的概率密度為：(t) e t2于是E(Z

dt tD(Z)

E(Z

)

t2e

2

t22dt因?yàn)?/p>

Z，故EX

E(Z),D(X)D(Z)2D(Z)即正態(tài)分布的兩個(gè)參數(shù),2獨(dú)立的nXi

N(,2

CC0C1X1C2X2LCnXn□N(CCLC,CC LC 2C1,C2LCn是不全為0

N

則Z2X

N(4,

Y)

P(X

由于XYN(0.100.052故有P

Y)

P(X

(0(0.10)(2)表1分分布率或密度函數(shù)方P(Xk)pk(1p)1kk0,1二項(xiàng)分布P(Xk)Ckpk(1np(1-泊松分布()P(Xk)kekk均勻分布f(x)1(ba),ax 指數(shù)分布EP()ex,xf(x) 11正態(tài)分布N(,2(xf(x) e22x§3

E(X

Cov(Cov(X,Y)E[XE(X)][YE(YCov(X,Y D(X)D(YCov(X,Y

Cov(Y,X)，Cov(X,X)

D(XCov(X,Y)E(XY)E(X)E(YCov(aX,bY)

abCov(X,Y

Cov(X1

X2,Y

Cov(X1,Y)Cov(X2,Y

bY,

dY)

bY)答案：acDXbdD(Yadbc)CovX,Ya2D(X)b2D(Y)2abCov(X,Y XY

abX)

時(shí)，b

證明：考慮以X的線性函數(shù)abX來近似表示以abX近似表達(dá)Y的好壞程度,e(ab)越小，abX與Y 下面來求最佳近似式：e(abmine(a

e(a,b)E(Y2)b2E(X2)a22bE(XY)2abE(X)2aE(Ye(a,

2a2bE(X)2E(Y)

a0E(Y)b0E(X

Cov(X,Y)e(a,

2bE(X2)2E(XY)2aE(X)

b0

D(X 已得：aE(YbEX

Cov(X,Y

D(X

,b)

E

bX

bX)]E

bX

D(Y)b2D(X)2bCov(X,YD(Y)

[Cov(X,Y D(X

(1 )D(Y1.由

,b)

1

0

XY 1

E

bX)2D

特別，當(dāng)

1時(shí)，CovX,Y)

Cov(X,Y)D(X 當(dāng)XY1時(shí)，CovX,Y0， 相關(guān)系數(shù)XY是一個(gè)用來表征X,Y

較大時(shí)，e(a0b0)較小，表明X,Y

1

e(a0b00，表明X,Y之間以概率1

較小時(shí)，e(a0b0)較大，表明X,Y

注意，X與YX與Y

Cov(X,Y)E(XY)

E(X)E(YD(

Y)

D(X)D(Y從而可知，當(dāng)X與Y相互獨(dú)立

X與Y已知P(XY)=0,判斷X和Y是否不相關(guān)？是否 1 11E(X

(1)14012114E(XY

(1)(1)14(1)111(1)141114所以，COVX,Y

0,即X與YP(

P(

141P(

1)

P(

所以，X與Y不獨(dú)立1f(x,y) 21(x

(x

(y [ 2

求X和Y的相關(guān)系數(shù)，并證明X與Y相互獨(dú)立解：由于X,Y(X1)2

X與YfX(x

xfY(y)

22

(Y2)222

y所以EXDX2；E(YD(Y 而CovX,Y)

2

(x1)(y2)

(x,

(x1

(X1

(y2 2 1 [y(2(x2 1 (X1)2 (x1)

(x

)

(X1)2(x(x

2

1 于是XY

1D(X Cov(D(X

即二維正態(tài)變量X,Y)的概率密度中的參數(shù)就是X,Y的相關(guān)系數(shù)，因而二維正態(tài)變量的分布完全可由X,Y各自的均值、方差以及它若X,Y)服從二維正態(tài)分布，那么X和Y相互獨(dú)立

對(duì)于二維正態(tài)變量X,Y)X和Y不相關(guān)

X與YU,VCOV(U,V

COV(

Y,

Y)

D(X)

D(Y)所以，U與V（2）X~

0)

P(X

1,X

0)

P(X

P(

0)1

0)

P(X

0)

P(

0)1

0)

U與V§4 定義：設(shè)X和Y若EXk

k12,L若E

E(X)]k

k12,L則稱它為X的k階中心矩若EXkYl

k,

則稱它為X和Y的

若E

E(X)]k

E(Y)]l

k,

則稱它為X,Y的

l階混合中心矩 DX1 CovX1X2，稱為X

Cov(X2,X1 D(X2 n維隨機(jī)變量X1X2,LXn)，CovXiXj

D(X1

Cov(X1,X2 Cov(X1,Xn)Cov(X,X

D(X Cov(X,X)稱矩陣

Cov(Xn,X1 Cov(Xn,X2 D(Xn 為n維隨即變量X1,X2,LXn)的協(xié)方差矩陣，

(x

(x

1f(x1,x1

[ 2

2(12

X1 1

(X,

)的協(xié)方差矩陣為：C

2 2 2

C

1

2C

1

1

(X (X)(Y (Y經(jīng)計(jì)算

)

(X)

[ 2 1

1 于是XX)的概率密度可寫成：f(x

) exp1

(X)TC1(

)2C上式容易推廣到n維正態(tài)變量X1,X2,LXn)的情況X1

E(X1)

E(X)引入列向量：X 2

2 ? ? n

E( C是X1,X2,LXn)的協(xié)方差矩陣,X1,X2,LXn)的概率密度定義為：f(x,x,Lx) exp1(X

)TC1(

) C n維正態(tài)變量X1,X2,LXn)的每一個(gè)分量Xii12,Ln正態(tài)變量；反之，若X1,X2,LXn都是正態(tài)變量，且相互獨(dú)立，則X1,X2,LXn)是n維正態(tài)變量；n維隨機(jī)變量X1X2,LXn)服從nX1,X2,LXn的任意線性組合l1X1l2X2LlnXn其中l(wèi)1,l2,Lln若X1,X2,LXn)服從n維正態(tài)分布，設(shè)Y1,Y2,LYkXj(j12,Ln)的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,LYk)設(shè)X1,X2,LXn)服從n則X1X2,LXn相互獨(dú)立X1X2,LXn設(shè)有一批數(shù)據(jù)x

,L,

記

1

x,則

(xx0

n 已知隨機(jī)變量X

32xx2x

,0

x 求EX試問下列哪種解法是正確的？解法解法

xfxdx

32xx2x

dx 32xx2EX0x

dx 0

x0

0xdx 0xdx (2)E(X2)=E(X.X)=E(X).設(shè)X和Y為兩隨機(jī)變量，且已知D(X)=6(1)設(shè)第i袋水泥的重量為Xi,i=1,2,…,100Xi～N(50,2.52),Y=∑Xi則(2)設(shè)一包水泥的重量為XX～N(50,2.52E(Y)=100E(X)=100*50,D(Y)=1002D(X)=1002*2.52 課件結(jié)束數(shù)理統(tǒng)關(guān)鍵詞：§1背景

則對(duì)于任意

0都有：P

EX

EX

1僅就X為連續(xù)型時(shí)證之

x,f(x)

x

fx

x

x

fx

fx

DX

fn

A而P0.74

0.76

P

1

1

n 隨機(jī)變量序列依概率收斂的定 X1,X2,X3,L,

0,m

Xn

52：X1X2

XnL nYn

Xkk10limn

1

limPn

nk

證明：由于EYnEnXk

n

,D

D1

kX

1

D

1n

k

k

2由契比雪夫不等式得：PnXk1 1

k limP Xk nk

lim

p

證明：利用契比雪夫不等式，因

bn,p,EnA

1E

1np

nA

1 1

n

D

2DnA

2npq n 于是，0有PnAp1lim

p

§2定理

獨(dú)立同分布的中心極限定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,L,Xn,L

E

1Xi

X Xi

xR

limP

x

limP x

2答案：N(,答案：N(,X（近似）～N(nn

b

a從而，P(a

b) )

p0

p1,

t2lim b

e2np(1np(1PaPanAb( np(1 np(1

則X1X2,LXn,L

~

由于

X

LX

limPa b

e2np(1np(1 即:nA(近似)

N(np,

解：記16只電器元件的壽命分別為X1,X2,L,X1616只電器元件的壽命總和為XXi Xi

16Y

X1600近似服從N 4 P

1192010.8 解：設(shè)X為一年中投保老人的死亡數(shù)，則Xbnpn10000pP10000X10000200

P

npnp1p 0.9370.937解：設(shè)機(jī)器出故障的臺(tái)數(shù)為X,則Xb4000.02P

0P

np4000.02

P

0P

P

21P(

1)11np 7 個(gè)體樣本2tF引言：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門關(guān)于數(shù)據(jù)收集、整理、分析量的隨機(jī)試驗(yàn)中各種結(jié)果的出現(xiàn)必然呈現(xiàn)它的規(guī)律性，因而從理論上講只要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的，甚至是少量的。例如：若規(guī)定燈泡壽命低于1000小時(shí)者為次信息來推斷總體的信息，這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究§1 fnx1,x2,Lxn

1 （二）設(shè)X1X2Xn樣本均值X

Xi((

總體X

S2 n1

X)2S為樣本標(biāo)準(zhǔn)

E(X),D(X)則E(X)

k階矩：A1X

k1,

D(X) n,E(S2) k階中心矩：B1

X

k1, 思考題：(一)設(shè)在總體N,2中抽取樣本XXX其中已知，

X1X2X

2

X2

maxX1,X2,X3答：只有(4)4答：只有(4)

1X

5

2 定理.設(shè)X1,X2,L,Xn是相互獨(dú)立的n又設(shè)y

gi

,L,

,

,L,

Rni,i12,Lk是k且有n1n2Lnk

則kY1g1X1,L,Xn

g2Xn1,L,Xn

gkXn1Lnk11,L,Xn 定理6.2設(shè)t個(gè)隨機(jī)變量X11,L,Xn11LX1t,LXntt又設(shè)對(duì)每一個(gè)i12,Lt,ni個(gè)隨機(jī)變量X1i,L,Xni是相互獨(dú)立的，則隨機(jī)變量X11,LXn1,LX1t,LXnt是相互獨(dú)立的。 §2定義：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,LXn相互獨(dú)立，Xi

N0,1i1,2,L,n則稱

X

2nn yn

e

y 2

2 其中

fnnfnnn

y2分布的一些重要性質(zhì)：

2n,則有E2nD2設(shè)Y2n,Y2n,且Y,Y相互獨(dú)立，則有YY2nn 2

ni,且Y1,Y2,L,Ym相互獨(dú)立，則Yi

ni

對(duì)給定的概率,0

fydy的點(diǎn)2n2n分布的上分位數(shù)上分位數(shù)2n 1：設(shè)總體XN,2,2已知。XX,LX是取自總體X 求(1)21

2 （2）設(shè)n=5,若a(XX)2b(2 則a,b,k

~2(k

YXi

i1,2,L, 顯然Y1,Y2,L,Yn相互獨(dú)立，且

N

i1,2,L,abkabk于是

(

n (XX

X1X

~N(0,

), ~

(2 X 2X3X

X

~N(0,

), ~

X1X2與2X3X4X5(XX (2 X 故 ＋ ~

t定義：設(shè)XN0,1,Y

2n,并且X,YYY

tn nt2n,t對(duì)給定的,0

n

ft,n

nfnnnfnnnf

t1

t(n)

tn

F分布定義：設(shè)X2n,Y2n,

且X,Y 則稱隨機(jī)變量F

Xn1服從自由度n

的F分布，記為F

Fn,nY/

~F(n,

),則

F

,n

fx;n,

Bn2,n2

n12n22x

x

ab

x其中Ba,b0 1

dx

a對(duì)于給定的,0

n1,n2

(n,n)[F(n,n n2,n2,n1n2n2

f F

Fn,n 此外,設(shè)

N0,1若Z滿足條件

z 1.XN,2n-1

定理6.7設(shè)X,LX是總體N,2的樣本，X和S2 均值和樣本方差，則有 X

tnn1S

N

2nn1n1S/nX

nX

□tn6.

,L,

和Y

分別來自總體N,2和N,2

F 1

F

XY1211

3°當(dāng)

2

2

Y12

tn

1

n1S2n1S其中S2

2, nn n1S n1S

1□2n1, 2□2

且兩者獨(dú)立，由Fn1S 1 n 1

n1S

2S 2 n

由定理6.6,

~N(1,1),

~N(2,2 且X與Y相互獨(dú)立，所以X

~N(12,12即

Y)(12)

11

3

X11

12

Nn1S n1S

2

1,

2

2

且它們相互獨(dú)立,故有2n1S2n1SV

2n

2 由定理6.1知：U與V相互獨(dú)立于是按tVn1n2Vn1n21

Y

2

tn

2 第七章參數(shù)估計(jì)例如：產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)X服從正態(tài)分布，其概率密度為：xfx;,2 e22 x但參數(shù),2的值未知，要求估計(jì),2，有時(shí)還希望以一定的可靠性來估計(jì)值是在某個(gè)范圍內(nèi)或者不低于某個(gè)數(shù)?！?

Xn對(duì)每一個(gè)未知參數(shù)ii12,Lk個(gè)統(tǒng)計(jì)量??iXX,LX，作為參數(shù) 一

設(shè)總體X的分布函數(shù)為Fx;1,2,L,k1,2,L,k則有：EXv

,,L,

v12,Lk對(duì)于樣本

X,X,L,X,

其v階樣本矩是：A1X

v1,2,L,

, ,

, 解此方程即得1,2,L,k的一個(gè)矩估計(jì)量?1,?2,L,? XX,LX是取自X的一個(gè)樣本，試求, EX,

EX2

A1XX A1X

n 令

(Xi Xfx

x

0x

0 X1,XL,Xn為取自X的樣本，求

x

x

1令EX

X X

21 1 xPx;pnpxqnx

其中q

p,由假設(shè)知，p

1 Px,3192727Px,1272791x0P0127P031取p1 x1x2P219P2327,取p3

xx2,對(duì)每個(gè)x取px,使Px;px

?設(shè)總體X的概率密度為fx,(或分布率p(x,)),1,2,L,k未知參數(shù)，為參數(shù)空間，即的取值范圍。設(shè)x1x2,Lxn樣本X1,X2,LXn

Lx1,x2,L,xn,

Lx1x2,Lxn,達(dá)到最大的值，稱為

在求Lx1x2,Lxn,lnLx1,x2,L,xn,ln

Lx1x2,Lxn,通常記為L(zhǎng) X

xi,

f

0

x

2 i

lnL

n

ln

1 n

2

lnxi ln lnXi

ex

x

0,是未知常量X1,LXn為X解

EX

x

x1ex

EX2x21exdx22xex

DXEX2E2XEX令

1(1(XiXDX1(

X 1(X1(XX

X2

x

1 1xiL,

n

xiQ

,故的取值范圍最大不超過xminx1x2,Lxn1 另一方面，L,

xi

是的增函數(shù)，取到最大值時(shí)，L故

minX,X,L,X,

1

又

dlnL

1 X

?X

x1,x2,L,xn求出

0x因X

x; 0 0

,L,xndln

0,不能用微分法求 以下從定義出發(fā)求?因?yàn)?

,故的取值范圍最小為

maxx1,x2,L,xn又L1對(duì) 的是減函數(shù)，越小，L越大，故?

n所以的極大似然估計(jì)量為?

maxx,

,L,x2

1xdx

例6：設(shè)總體

其中

的概率分布率為 21-32現(xiàn)得到樣本觀測(cè)值2，3，2，1，3，求解

X

2

23(1

2)35令

2

13(23

ln163ln

dlnL()3 0

2表1例2，例4，例5? 21 lnXi 1(XXn X 1(XXn ?XXX§2定義：若參數(shù)的估計(jì)量

E

稱為估計(jì)量若limE,則稱是的n證明：樣本均值X和樣本方差S2分別是和2證：因X1,X2,L,Xn與X

11

1

EXi

1n

(S2(n1

X n

2 E

(

)

2ES

En1(

X)

n

E (

2

D

nDXn1

n nn 2 n n1

2X與極大似然估計(jì)量

Xn解：Q

U0,

,L,

n與X

E2X

2

EX

2nn

為考察? n n

f

x

0x

E

n

xnxn1

X

n1X

,則n ,則

是由?X1,LXn所作的估計(jì)值的平均恰是，如果DD?2對(duì)一切

U0,

X1,L,Xn是取自X的樣本，已知

2X

n1Xn

解：D

D2X

n 0

x由 x

EXn

dx

n2n12

2 于是D2

EXnEXn

nn

2

D

比 nn

定義：設(shè)X1,L,Xn為參數(shù)的估計(jì)量，

依概率收斂于即

limP?n

U0,

X1,L,Xn是取自X

2X

n1X

n

由契比雪夫不等式，0,當(dāng)n

3n2同理：P?2

nn2§3區(qū)間估該區(qū)間包含的可靠程度。假設(shè)X1,L,Xn是總體X

?1X1,L,Xn

如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量?1?1X1,LXn,

?2X1,L,Xn

7則稱隨機(jī)區(qū)間?1,?2是的雙側(cè)1稱1為在以上定義中，若將71P?1X1,L,Xn1

72則稱X1,L,Xn為又若將72P?2X1,L,Xn1 7則稱?2X1,LXn為隨機(jī)區(qū)間,?2是1的一

X1,X

,L,

來自N,2X和S2分別為樣本均值和方差置信度為1

X是的無偏估計(jì),

X

N

有P

1答案:X-答案:X- 2即 PX

Z

X

Z21 X ,X 22

由X

tn

有

n1X

即 S S PX t2n1X t2n11 XSn1,XS n111n1S

~

n n1S

211有P1

n1 n11

即P

n1S

2

n1S

1

n

2

n1n1S n1S

n1, n1答案(n-1)S2(n答案(n-1)S2(n1)

12

22

解

n36,

15,由 PX1.96 X1.96

1.96

X1.96

151.96

2

n36,

PX SX S1

35

5

兩種情況下

2

16,16,但第二種情形更實(shí)用,因?yàn)槎鄶?shù)時(shí)候,2用t分布求的置信區(qū)間只依賴于樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量XS

00.90.000.00 評(píng)估新蘋果她隨機(jī)挑選了25個(gè)測(cè)試重量單位：克其樣本方

n1S2 1

24

0.00524

251

24

251又

2514.25

2514.25

二

兩個(gè)正態(tài)總體N

,2,N

,2 X,X

來自N,2,Y,Y,L,Y來自N,2,

n n X X,Y Y S2和S2分別為第一,二個(gè)總體的樣本方差置信度為1.1 2j

XY~N1212 n2XY121 1

2

Y

1 2

n22

1 此時(shí)由第六章定理 ~t1

Y

n

2 1 1

Sn1S2n1SS其 2

n1n2

,Sw1S S由 2

Fn11,n22 S2S 有PFn11,n21 2Fn11,n2111

2 S

S 即P1 11 1S2Fn1,n S2 n1,n1

S

S

1 ,1 S2Fn1,n1S2 n1,n1

例12：兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同一個(gè)型號(hào)的滾珠，從甲機(jī)床生產(chǎn)的滾珠中抽取8個(gè)，從乙機(jī)床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個(gè)，測(cè)得這些滾珠得直徑(毫米)如下:14.5設(shè)兩機(jī)床生產(chǎn)的滾珠直徑分別為X,Y,且

N

,2,Y

N

,2

10.18,

24

若

若1若12未知，求1的置信度為0.90解：n x S20.0457；n y S2

當(dāng)

0.18,

1 1

1.645,從而所求區(qū)間為0.0182

1 1 X

2n1

2

11

從而所求區(qū)間為0.0443

平，差差S S平，差差1 ,1 S2

n1,

S2F

n1,

1度 度 8, 8,

說明說明義0.227當(dāng)1的置信區(qū)間包含1可以認(rèn)為兩個(gè)總體的方差之間沒有顯著差異。待 其體參 參體

W的分 置信區(qū) 單側(cè)置信體1總體X有容量為n的樣本X

Xi樣本方差S2 (XX)2,n1

有性質(zhì)EX

E(X),ES2

課件結(jié)束隨機(jī)過§1eX

e(X(e),Y

即X,Y)——e(X1(e),X2(e),LXn

即X1,X2,L,Xn)——ne(X1(e),X2

即X1,X2L)——e(X(e,

t(,

即X(tt())——定義：設(shè)T(eteStT是對(duì)應(yīng)于e和t的實(shí)數(shù)，即為定義在S和T上的二元函數(shù)。若此函數(shù)對(duì)任意固定的tT,

et則稱X(eteStT是對(duì)于隨機(jī)過程X(eteStT進(jìn)行一次試驗(yàn)，即e給定，T為參數(shù)集，對(duì)固定的e和tX(et)稱為X(et)所有可能的值的全體稱為狀態(tài)空間今后將X(et)簡(jiǎn)記為XX(t)

當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)

t，其中P(H)

P(T)解：對(duì)任意固定的t,X(t)是隨機(jī)變量，取值為cost和P(X(t)cost)

P(X(t)t)XXXX2X1

cost,X2(t)

X(tcos(tt式中和正常數(shù),是在(02)上服從均勻分布的隨機(jī)變量,對(duì)每一固定的時(shí)刻t,X(t)cos(t)是隨機(jī)變量從而也是隨機(jī)變量。它的狀態(tài)空間是[-,x(t)cos(t這族樣本函數(shù)的差異在于它們相位的不同,

t其中V在[0,1]上服從均勻分布,則X(t)對(duì)每一固定的t，X

Vcost是隨機(jī)變量V就得到相應(yīng)的一個(gè)樣本函數(shù)

以X(t)表示時(shí)間間隔0t內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，

的隨機(jī)變量，于是X(t

x2x(1)設(shè)Xn是第n次(n1)拋擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n12,LXn是隨機(jī)變量，服從相同的分布，PXn

i)1,

因而Xnn1構(gòu)成一隨機(jī)過程，稱為伯努利過程或伯努利隨機(jī)序列,

例子如下：若只在時(shí)間集

□t2□t,Ln□t,L上觀察X(t)隨機(jī)序列X1X2,LXn,LXn

X(n□t)§2

兩種描述特征數(shù)

設(shè)隨機(jī)過程X(ttT對(duì)每一固定的tTFX(xtPX(tx，xR，稱為隨機(jī)過程X(ttT的FX(xttT稱為FX(x1,x2,Lxn；FX(x1,x2,Lxn；t1,t2,Ltn)PX(t1)x1,X(t2)x2,LX(tn)FX(x1x2,Lxn;t1,t2,Ltn)tiT稱為X(t),tT的n一般地(x1,x2,Lxn;t1,t2,Ltn),n1, tiT稱為隨機(jī)過程X(ttT的有限維分布函數(shù)族costX(t)

t，設(shè)P(H)

P(T)1

F(x1,x2; x解：X(0)

出現(xiàn)出現(xiàn)

故F(x0)

0x

x xX

出現(xiàn)出現(xiàn)

故F(x;1) 1x xcostX(t)

t，設(shè)P(HP(T1

XX2XXX2X1x2 X(0),X 0,

出現(xiàn) x1且x x1或x故F(x,x;0,1)

x1且x 1 例2：設(shè)隨機(jī)過程X(tVcostt，V在[0,1]求在

0,,

,時(shí)X(t) 解：對(duì)給定的t若cost0記acost，則X(taV1 0x x;t

1

acos0

于是

0 x;0

x acos

2

x;

2

xacos

2

fXx;

acos

X x;

1

xacos

PX

0(二)給定隨機(jī)過程X(tt(tEX(t均值函數(shù)2(t

EX2t 2(tD(tEX(t