2023-2024年河南專升本高數真題及答案

2023年河南省一般高等學校

選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試

《高等數學》試卷

題號一二三四五六總分核分人

分數

一.單項選擇題(每題2分，共計50分)

在每小題的備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫在題干后

面的括號內.不選、錯選或多選者，該題無分.

1.集合{3,4,5}的全部子集共有

()

A.5B.6C.7D.8

解：子集個數2"=23=8=0。

2.函數/(x)=arcsin(x-1)+73-x的定義域為

()

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]

解:nOW2nB

3-x>0

3.當x.0時，與x不等價的無窮小量是

)

A.2xB.sinxC.v-1D.ln(l+x)

解：依據常用等價關系知,只有2x與x比較不是等價的。應選A。

4.當x=0是函數/*)=arctan」的)

x

A.連續(xù)點B.可去間斷點C.跳動間斷點D.其次類間斷點

解：limarctan—=—；limarctan—=——=>C。

10+X2XT。-X2

5.設/(x)在x=l處可導，且尸⑴=1,則麗/(1二2〃)二/(1+仍的值為

A->0h

()

A._1B.一2C.-3D.-4

解：lim八1-2〃)-“I+⑶=/(1-2防一/(1+1=-3/⑴=-3nC。

萬—0h0

6.若函數/(x)在區(qū)間(。,與內有尸(x)>0J"(x)<0,則在區(qū)間(a,b)內,/(x)圖

形

()

A.單調遞減且為凸的B.單調遞增且為凸的

C.單調遞減且為凹的D.單調遞增且為凹的

解：尸(幻＞0=＞單調增加；/"(x)＜On凸的。應選B。

7.曲線y=l+d的拐點是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)

解：y"=6x=0nx=0n(0,1),應選A。

8.曲線,"x)==^的水平漸近線是

)

3%

2211

A.y--B.y-——C.y-—D.y-——

3333

X2-21

解:lim=-=>

AT±P03x23

ftantdt

9.Hm包~~--)

X4

]_

A.0B.C.2D.1

2

Itanxdx「2xtanA-2

解：吧lim------：-Bo

4x2

10.若函數/(x)是g(x)的原函數,則下列等式正確的是)

A.Jf(x)dx=g(x)+CB.g(x)dx=f(x)+C

C.^g'{x}dx=fix}+CD.J/'(x)公=g(x)+C

解：依據不定積分與原函數的關系知，jg(x)dx=/(%)+Co應選B。

11.JcosQ-3x)i/x=)

B.gsin(l-3x)+C

A.-jsin(l-3x)+C

C.—sin(l—3%)+CD.3sin(l-3x)+C

12.設>=「(-1)Q—3)力，則y'(0)=

JO

A.-3B.-1C.1D.3

解：V=(x-l)(x-3)ny'(O)=3=>￡>。

13.下列廣義積分收斂的是

.dxn產dx

7五KI7

r'dx

D.

0xy[x

解：由p積分和q積分的收斂性知，「與收斂，應選C。

14.對不定積分f，公，下列計算結果錯誤是

Jsinxcosx

)

A.tanx-cotx+CB.tanx------+C

tanx

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

解：分析結果，就能知道選擇c。

15.函數y=/在區(qū)間［1,3］的平均值為()

D.4

解:為勒龍岫

16.過Oz軸及點(3,-2,4)的平面方程為)

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C.2%+3y=0D.2x+z=0

解:經過Oz軸的平面可設為Ax+5y=0,把點(3,-2,4)代入得2x+3)=0應選Co

也可以把點(3,-2,4)代入所給的方程驗證，且不含z。

2：____—1

17.雙曲線34一繞z軸旋轉所成的曲面方程為)

y=0

x2+y2z2x2y2+z2

A.B.

44~

()，+Z)2

D.=1

34

22229

解：把三-二=1中尤2換成V+y2得01一三=1應選A。

3434

?3-,孫+9

1O8r.lim---------=()

y->oJ

D.極限不存在

解：lim-~'*+9.=11m....-.=-lim-----J:=--=>B。

孫，孫(3+J孫+9)；比3+/盯+96

19.若z=x>'，則匕=()

②“°

A.-B.1C.eD.0

e

解：￡￡=xyinx|=elne=e=>C。

km

d7v(e,l)

20.方程22丁-"3=1所確定的隱函數為2=〃尤,歷，則上=()

OX

A.--—B.--—C.---D.--—

2y-3xz3xz-2y2y-3xz3xz-2y

分7F'72

角星：F=z2y—xz^—1=>F'——Z3\F[=2zy—3xz2=>—=y=----,應

xdxF；2y-3xz

選Ao

21.設。為拋物線y=/上從(o,o)到(1,1)的一段弧，則12盯心+，力=

()

A.-1B.0C.1D.2

X-x

解：C：(2，x從0變到1，￡Ixydx+X2dy=￡4/dx=1nC。

y-x

22.下列正項級數收斂的是()

001001

A.ZB.￡」-

?=23〃+1念Winn

0c

c.y--1-D.K

仁〃(In〃)2

解:對級數￡」一、y—二須要利用積分判別法，超出大綱范圍。級數

M〃ln〃匿〃(In〃廠

818181

V------7有結論：當P>1時收斂，當時發(fā)散。級數￡」-、二麗與級

占"(In〃)'念3〃+1

數之工利用比較判別法的極限形式來確定--發(fā)散的，應選C。

”=2〃

81

23.幕級數的收斂區(qū)間為()

?=o3

A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

解：令x+l=r,級數化為61T尸收斂區(qū)間為(-3,3),即

”=033rt=()\3y

x+1e(—3,3)=>%G(T,2)nD。

24.微分y〃+3y'+2y=e-，cosx特解形式應設為y*=()

x

A.Ce'cosxB.e~(C]cosx+C2sinx)

x2JC

C.xe~(Ctcosx+C2sinx)D.xe~(Clcosx+C2sin^)

解：-1+i不是特征方程的特征根，特解應設為e-'Ccosx+CzSinx)。應選B。

25.設函數y=/(x)是微分方程y"+V=e2,的解，且八4)=0,則/\x)在/處

(

)

A.取微小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值

2x2x

解:有f"(x0)+f'(x0)=e°=>f"(x0)=e°>0A。

得評卷人

分二、填空題(每題2分，共30分)

26.設/(x)=2x+5,則/"(x)—1]=.

解：/[/U)-H=2(/(x)-l)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

2"

27.lim—=___________.

"->8幾！

解：構造級數￡二，利用比值判別法知它是收斂的，依據收斂級數的必要條

n=0幾

2〃

件limJ=0。

“Teo"！

3e4x,x<0

28.若函數/(x)=/&在x=0處連續(xù)，則。=.

2又d--9X0

2

解：limf(x)=—;lim/(x)=3=a=6。

￡一(r2x5)+

29.已知曲線^=/+%-2上點/處的切線平行于直線〉=5》-1,則點M的

坐標為_______

解：V=2x+l=5nx=2ny=4nA/(2,4)。

30.設/(x)=e2i,則-2007)(0)=

解："/)=2721=-2007)(0)=22°°7"'

rx=31+1?。?/p>

31.設2,則？=—

y^2t-t+lax,=1

解：包=上1=空=1。

dx3dxt=x

32.若函數/(x)=a/+〃%在l=1處取得極值2,則。=____,b=

解?/'(X)=2ax+b=。=>2。+人=0；。+〃=2=>。=—2;Z?=4。

33.\l^dx=

JfM

解：J務公=[*=ln"(x)|+。。

Jf(x)J/(x)

34.￡-Jl-x2dx=

解：￡-\ll-x2dx=；S圓=；。

35.向量。=3:+4]-舊的模|初=

解：|37+47-|=79+16+1=V26o

36.已知平面?：x+2y-5z+7=0與平面兀2：4x+3y+znz+13=0垂直，則

m-_____

解：H1-{1,2,-5};?2={4,3,m}=>4+6-5m-0=>m-2?

37.設/(x+y,孫)=/+y,則/?y)=

2222

解：f(x+y,xy)=x+y=(x+y)-2xyf(x,y)=x-2yo

38.已知/=『dy，'f(x,y)dx,交換積分次序后，則/=

fV2

解：D=<(x,y)\0<y<—,y<x<

行]fV2

=<(x,y)|0<x<,0<y<x>+<(x,y)I<x<1,0<y<，所

2

V5%j

以次序交換后為『dx^/(x,y)dy+dx^/(x,y)dy。

~2

8100(11\

39.若級數收斂，則級數￡,一一二的和為_____

?=lU?，T【〃“%+"

解：s?=|-——1+———]+-??+-....-1=------,rfnlim-^—=o,

u

憶)[%3)1%??+i)%%+iZ8〃"+]

所以S=limS“=-L

〃-*8U]

40.微分方程y"-2y'+y=0的通解為一

解：有二重特征根1,故通解為y=。傳*+。2叱（GC為隨意常數）。

得評卷人

分

三、推斷題(每小題2分，共10分)

你認為正確的在題后括號內劃“J”，反之劃“X”.

41.若數列卜“｝單調，則｛居｝必收斂

)

解：如數列｛〃｝單調，但發(fā)散，應為X。

42.若函數/(x)在區(qū)間口,同上連續(xù)，在(。力)內可導，且則肯定

不存在自€(“,/?)，使/化）=0.

()

解：如y=/在[―1,可滿意上述條件，但存在&=Oe[-l,3],使得/'《）=0,應

為X。

x-sinx由洛比達法則1-COSX「sinx.

43.lim-------======lim=lim-----=-1.（）

18元+sinxis1+COSXx——sinx

Isinx

其次步不滿意Q或方，是錯誤的，事實上lim蘭華=1加—二=1。

解:

0oox->8x+sinx*廿j+sinx

x

應為X。

2-2x

44.0<f'"71-eJx<—ln2

Jo2

）

解：HO<7T^<1，由定積分保序性知：邛M2,

應為J。

45.函數f(x,y)在點P(x,y)處可微是f(x,y)在P(x,y)處連續(xù)的充分條

件.()

解：/(x,y)在點尸(x,y)處可微可得/(x,y)在點P(x,y)處連續(xù)，反之不成立,

應為應為VO

得評卷人

分四、計算題(每小題5分，共40分)

46.求lim爐叫

x—0+

limsinAInxs'n”~xlimxInx

解:limxsinx=lim^sinx,n

x5）+X->0+

解：兩邊取自然對數得In||=21n|x|+1[ln|l-x|-In|l+x|],----（1分）

兩邊對x求導得：=-+———"I,--------（3分）

yx3\_i-x1+x

21

即"y一+（4分）

X3(x-l)3(x+l)

故先R1-x211

------+----(5分)

1+xx3(x-l)3(x+l)

48.求不定積分“小+1n(i+切心.

解：J[/x+ln(l+x)]dx=~\a"(2x)+jln(l+x)dx---（1分）

1

=-e上公（3分）

2l+x

1

=-e1—dx一（4分）

2l+x

-'+xln(l+x)—x+ln(l+x)+C。（5分）

2

49.計算定積分/j2+2cos2xdx.

解：因2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos?x,所以

￡j2+2cos2xdx=「A/4COS2xdx=￡21cosx\dx-----(2分)

71

=2|2cosxdx_21兀cosxdx（4分）

i（）

2

n

2sin由-2sinx|Z=2+2=4o（5分）

2

50.設2=/（"飛皿乂3工，），且/（〃/）為可微函數，求dz.

解:令e*siny="，3/y=v,有z=/(“#),利用微分的不變性得

dz=/；(?,v)du+f'(u,v)dv=f',d{exsinj)+f'd(3x2y)----(3分)

=sinydx+excosydy)+f',(fixydx+3x2dy)------(4分)

v2

=(e'sinyf't+6xyf')dx+(ecosyft'+3xf}')dy-一(5分)

51.計算”/公辦，其中。為圓環(huán)區(qū)域：I?x2+y2w4.

D

解:積分區(qū)域。如圖07T所示：。的邊界/+y2=]、/+卜2=4用極坐標

表示分別為r=1,r=2；故積分區(qū)域。在極坐標系系下為

{（r,0）|0<0<2TI,1<r<2},-----（2分）

故JJx2dxd），=『呵:

r2cos2Q-rdr----（3分）

D

2

=「cos?QdQfr3dr=f^―cos2QdQ

JoJlJoA

1S-2兀15f2n0，八、

=w1,cosM0=W」,2cosone-一(4分)

圖07-1

151512"15K

(l+cos2e)je=—(e+-sin20)o=T（5分）

0y

52.將—當綻開為x的鼎級數，并寫出收斂區(qū)間.

4-x2

解：因-----L=----------------------；—-(2分)

4—x2-x2+x2(1--)2(1+-)

22

—^―=yxnxe(-l,l)o

1-x〃=0

所以'=￡⑶xe(-2,2)；-1-=寸-；]xe(-2,2)。一(3分)

1」士⑶]+土外2；

22

xe(-2,2)--(4分)

故事點圖卷1步W爭斗

81

=2許/出xe（—2,2）。一（5分）

,?=0乙

53.求微分方程/dy+（y一2個-工2Mx=0的通解.

解：方程可化為y'+空y=l,這是一階線性非齊次微分方程，-一（1分）

X

它對應的齊次方程y'+^—gy=0的通解為曠=Cxb*,（2分）

設原方程有通解y=C（x）x2^,代入方程得C'（x）/H=1,

I-1

即C'（x）=—*,—（3分）

x

所以C（無）='dr=e最+C,（4分）

故所求方程的通解為y=C/e*+/。--（5分）

得評卷人

分五、應用題（每題7分，共計14分）

54.某工廠欲建立一個無蓋的長方題污水處理池，設計該池容

積為V立方米，底面造價每平方米。元，側面造價每平方米8元,

問長、寬、高各為多少米時，才能使污水處理池的造價最低？

V

解：設長方體的長、寬分別為,則高為匚，又設造價為z,-—（1分）

孫

由題意可得

z=axy+2b(x+y)-=axy+^+^-(x>0,y>0)；-一(3分)

犯yx

HSz2bVdz2bV

而一=ay—=cix......-；在定義域內都有意義.

2

afxx

al-z2bV

二@—r0

令avxX2bV

得唯一駐點x=>={（5分）

la-z2bVci

=ax-----—0'

lay

、

由題可知造價肯定在內部存在最小值，故x=y=，呼就是使造價最小的取

aV2

值，此時高為彳

~2b

2bV2bV3若時，工

所以，排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為？不、V吃

程造價最低。一-（7分）

55.設平面圖形D由曲線>="，直線y=e及y軸所圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；>="

（2）平面圖形D繞y軸旋轉一周所成的旋轉體的體始,

解：平面圖形D如圖07-2所示：--（1分）e_/

取x為積分變量，且-yr

（1）平面圖形D的面積為

S=［{e-ex）dx---（3分）______________!_____

J。oj

={ex-ex）1=1o---（4分）

lo圖07-2

（2）平面圖形D繞y軸旋轉一周所生成

旋轉體的體積為

xx

VY=2K￡x\e-e=2?；騲dx-2it{xedx

Jo

2i]

x

=2Tle--2K[xdex=ne-2兀xe]：+2兀1)edx

7Jo

o

=兀6—2兀《+2兀"］：=兀（6—2）。----（7分）

2

或Vy=TCJ(Iny)之力=兀(Iny)y1—兀j21nydy

=ne-2兀jInydy-ne-2nyIn+27cldy

=Tie—2ne+2兀(e—1)=7t(e-2)。

得評卷人

分六、證明題（6分）

56.若/（x）在團,切上連續(xù)，則存在兩個常數m與M,對于

滿意Q<為工〃的隨意兩點為，冗2，證明恒有

m（x2-x1）<f（x2）-/（%））<M（x2-x1）.

證明：因尸。）在值,々］有意義，從而“X）在出,々］上連續(xù)且可導，即/（幻在

山,々］上滿意拉格朗日中值定理的條件，——（2分）

故存在會即%）,使得/。2）-/區(qū)）=/化）,——（3分）

x2-陽

又因尸（外在切上連續(xù)，依據連續(xù)函數在閉區(qū)間上最值定理知，/（X）在［a,。］

上既有最大值又有最小值，不妨設九M分別是最小值和最大值，從而xe（a,。）時,

有m<f\x）<Mo-----（5分）

即m</⑴-/①）<M,

x2-X）

故m（x2-%,）<f（x2）-/（%,）<M（X2-xjo--（6分）

2023年河南省一般高等學校

選拔優(yōu)秀專科生進入本科階段學習考試

高等數學試卷

題號一二三四五總分核分人

分數

一.單項選擇題（每題2分，共計60分）

得分評卷人

在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案，并將其代碼寫

在題干后面的括號內.不選、錯選或多選者，該題不得分.

1.函數/(x)=ln(l—x)+J++2的定義域為)

A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)D.(-2,1)

1-x>0

解：,=>-2<x<l=>C.

x+2>0

l-2cosx

2.lim()

x->-sin[x-y

3

A.1B.0C.41D.V3

V3

09

1—2cosxo2sinx

解：lim/：==lim=M=D.

TC

Tsinx兀A->-

3

3*-1

3.點x=0是函數y=-j-的)

3*+l

A.連續(xù)點B.跳動間斷點C.可去間斷點D.其次類間斷點

i0I

3V-1-13"-1。3'In3

解：lim一—=-1,lim=lim,1=B.

1Xx-T>0。+*1

3'+13、+13vln3

4.下列極限存在的為)

sin2xx2+2

A.lime'B.limC.limcos—D.lim

.v->0xLxx—3

解:明顯只有l(wèi)im四sin三2Y=2,其他三個都不存在,應選B.

XTOX

5.當x-0時，ln（l+，）是比1-cosx的（)

A.低階無窮小B.高階無窮小C.等階無窮小D.同階但不等價無窮小

解：ln(l+x2)-x2,l-cosx=2sin2

22

l+(x+l)sin―—,X<—1

x+l

6.設函數/(x)=<1,-l<x<0,則/(幻)

arctanx,x>0

A.在尤=—1處連續(xù)，在x=()處不連續(xù)B.在x=0處連續(xù)，在x=1l處不連續(xù)

C.在x=—l,0,處均連續(xù)D.在x=-l,0,處均不連續(xù)

解：lim/(x)=1,lim/(%)=1,/(-1)=1^/(x)在x=-l處連續(xù)；

limf(x)=1,lim/(x)=0,/(O)=1=>/(x)在x=0處不連續(xù);應選A.

x->0-1A-^0+

7.過曲線y=arctanx+/上的點（0,1）處的法線方程為()

A.2%—y+1=0B.x-2y+2=0

C.2x—y—1=01).x+2y—2=0

1

解:t+exn/(。)=2nA法=——nD.

y=1+x2

8.設函數/(x)在x=0處可導，/(x)=/(0)—3x+a(x)且lim以2=0,則/'(0)

x-0X

()

A.-1B.1c.-3D.3

/W-/(0)-3x+a(x)-a(x)、-4_

解：yf(0)=lim=lim........-=-3+hm—=-3,應選C.

ATOXTO

A->0x-0xX

9.若函數/(%)=(lnx)"(x>l),則r(x)=)

A.(Inx)iB.(Inx)i+(Inx)xIn(Inx)

C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)x

解：f(x)=(Inx)x=ex]n(]nx)=>y'=(Inx)'[xln(lnx)]r=(Inx)x"[+(Inx)xIn(Inx),應選

B.

x=costdv

10.設函數y=y(x)由參數方程([確定，則—二(

，y=sinrdx~X一—九—

4

D

A.-2B.-l-卡

3

dy_sinf=d2y11d2y=±J5,應選D.

解:

-----2~X---------2-------------二

dxcostdx2cost3costsintdx2n3

IL下列函數中，在區(qū)間［T,l］上滿意羅爾中值定理條件的是()

x21

A.y-eB.y=\n\x\C.y=1-xD.y=—

x

解：驗證羅爾中值定理的條件，只有y=l-/滿意，應選c.

12.曲線y=d+5%一2的拐點是()

A.x=0B.(0,-2)C.無拐點D.x=0,y=—2

解：丁"=6]=0=>光=0=>(0,-2),應選B.

13.曲線y=---------)

|x-l|

A.只有水平漸進線B.既有水平漸進線又有垂直漸進線

C.只有垂直漸進線D.既無水平漸進線又無垂直漸進線

解：lim——J——=0,lim——?一=8=B.

1叫尢一1|1x-11

14.假如f(x)的一個原函數是xlnx,那么^x2f\x)dx=(

A.Inx+CB.x2+C

C.x3Inx+CD.C—x

解：/(x)=(xlnx)'=1+lnxn/"(工)=--n公=一，公=一％+。，應選

D.

rdx

'X2-4x+3)

x—\

B.—In+C

2x-3

C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.ln(x—1)—ln(x—3)+C

dx_rdxx—3

解:tZr=-ln+C,應選A.

-4x+3~J(x-3)(x-l)2

16.設/=/*二，則/的取值范圍為

)

J。1+/

D.1</<1

A.0<Z<lB.-</<1C.0Q；

22

解：此題有問題，定積分是一個常數，有一依據定積分的估值性質，有

21+x4

-</<1,但這個常數也在其它三個區(qū)間,都應當正確，但真題中答案是B.

2

17.下列廣義積分收斂的是)

，產3,門產Inx,x

A.JxdxB.J----dxC.Jy/xdxD.e~dx

解：明顯應選D.

f3

18.JJi—x\dx=()

A.x\dxB.J(x—V)dx+￡(1—x)cbc

C.J^y—x)dx—^{x—X)dxD.J(1—x)dx+J(x—V)dx

解：jJl-x|=jJl-x|+jjl-x|x)dx+^{x-V)dxf應選D.

19.若/(x)可導函數，/(%)>0,且滿意/2(x)=in22—2「/")sin'出,則/(x)=

J。1+cosZ

()

A.ln(l+cosx)B.—ln(14-cosx)4-C

C.-ln(l+cosx)D.ln(l+cosx)+C

解：對尸⑴=日2—兩邊求導有:2/(x)尸(x)=-2”即工,