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文檔簡介
2023年河南省一般高等學(xué)校
選拔優(yōu)秀??粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試
《高等數(shù)學(xué)》試卷
題號一二三四五六總分核分人
分?jǐn)?shù)
一.單項選擇題(每題2分,共計50分)
在每小題的備選答案中選出一個正確答案,并將其代碼寫在題干后
面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者,該題無分.
1.集合{3,4,5}的全部子集共有
()
A.5B.6C.7D.8
解:子集個數(shù)2"=23=8=0。
2.函數(shù)/(x)=arcsin(x-1)+73-x的定義域為
()
A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]
解:nOW2nB
3-x>0
3.當(dāng)x.0時,與x不等價的無窮小量是
)
A.2xB.sinxC.v-1D.ln(l+x)
解:依據(jù)常用等價關(guān)系知,只有2x與x比較不是等價的。應(yīng)選A。
4.當(dāng)x=0是函數(shù)/*)=arctan」的)
x
A.連續(xù)點(diǎn)B.可去間斷點(diǎn)C.跳動間斷點(diǎn)D.其次類間斷點(diǎn)
解:limarctan—=—;limarctan—=——=>C。
10+X2XT。-X2
5.設(shè)/(x)在x=l處可導(dǎo),且尸⑴=1,則麗/(1二2〃)二/(1+仍的值為
A->0h
()
A._1B.一2C.-3D.-4
解:lim八1-2〃)-“I+⑶=/(1-2防一/(1+1=-3/⑴=-3nC。
萬—0h0
6.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(。,與內(nèi)有尸(x)>0J"(x)<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi),/(x)圖
形
()
A.單調(diào)遞減且為凸的B.單調(diào)遞增且為凸的
C.單調(diào)遞減且為凹的D.單調(diào)遞增且為凹的
解:尸(幻>0=>單調(diào)增加;/"(x)<On凸的。應(yīng)選B。
7.曲線y=l+d的拐點(diǎn)是()
A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)
解:y"=6x=0nx=0n(0,1),應(yīng)選A。
8.曲線,"x)==^的水平漸近線是
)
3%
2211
A.y--B.y-——C.y-—D.y-——
3333
X2-21
解:lim=-=>
AT±P03x23
ftantdt
9.Hm包~~--)
X4
]_
A.0B.C.2D.1
2
Itanxdx「2xtanA-2
解:吧lim------:-Bo
4x2
10.若函數(shù)/(x)是g(x)的原函數(shù),則下列等式正確的是)
A.Jf(x)dx=g(x)+CB.g(x)dx=f(x)+C
C.^g'{x}dx=fix}+CD.J/'(x)公=g(x)+C
解:依據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知,jg(x)dx=/(%)+Co應(yīng)選B。
11.JcosQ-3x)i/x=)
B.gsin(l-3x)+C
A.-jsin(l-3x)+C
C.—sin(l—3%)+CD.3sin(l-3x)+C
12.設(shè)>=「(-1)Q—3)力,則y'(0)=
JO
A.-3B.-1C.1D.3
解:V=(x-l)(x-3)ny'(O)=3=>£>。
13.下列廣義積分收斂的是
.dxn產(chǎn)dx
7五KI7
r'dx
D.
0xy[x
解:由p積分和q積分的收斂性知,「與收斂,應(yīng)選C。
14.對不定積分f,公,下列計算結(jié)果錯誤是
Jsinxcosx
)
A.tanx-cotx+CB.tanx------+C
tanx
C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C
解:分析結(jié)果,就能知道選擇c。
15.函數(shù)y=/在區(qū)間[1,3]的平均值為()
D.4
解:為勒龍岫
16.過Oz軸及點(diǎn)(3,-2,4)的平面方程為)
A.3x+2y=0B.2y+z=0
C.2%+3y=0D.2x+z=0
解:經(jīng)過Oz軸的平面可設(shè)為Ax+5y=0,把點(diǎn)(3,-2,4)代入得2x+3)=0應(yīng)選Co
也可以把點(diǎn)(3,-2,4)代入所給的方程驗證,且不含z。
2:____—1
17.雙曲線34一繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為)
y=0
x2+y2z2x2y2+z2
A.B.
44~
(),+Z)2
D.=1
34
22229
解:把三-二=1中尤2換成V+y2得01一三=1應(yīng)選A。
3434
?3-,孫+9
1O8r.lim---------=()
y->oJ
D.極限不存在
解:lim-~'*+9.=11m....-.=-lim-----J:=--=>B。
孫,孫(3+J孫+9);比3+/盯+96
19.若z=x>',則匕=()
②“°
A.-B.1C.eD.0
e
解:££=xyinx|=elne=e=>C。
km
d7v(e,l)
20.方程22丁-"3=1所確定的隱函數(shù)為2=〃尤,歷,則上=()
OX
A.--—B.--—C.---D.--—
2y-3xz3xz-2y2y-3xz3xz-2y
分7F'72
角星:F=z2y—xz^—1=>F'——Z3\F[=2zy—3xz2=>—=y=----,應(yīng)
xdxF;2y-3xz
選Ao
21.設(shè)。為拋物線y=/上從(o,o)到(1,1)的一段弧,則12盯心+,力=
()
A.-1B.0C.1D.2
X-x
解:C:(2,x從0變到1,£Ixydx+X2dy=£4/dx=1nC。
y-x
22.下列正項級數(shù)收斂的是()
001001
A.ZB.£」-
?=23〃+1念Winn
0c
c.y--1-D.K
仁〃(In〃)2
解:對級數(shù)£」一、y—二須要利用積分判別法,超出大綱范圍。級數(shù)
M〃ln〃匿〃(In〃廠
818181
V------7有結(jié)論:當(dāng)P>1時收斂,當(dāng)時發(fā)散。級數(shù)£」-、二麗與級
占"(In〃)'念3〃+1
數(shù)之工利用比較判別法的極限形式來確定--發(fā)散的,應(yīng)選C。
”=2〃
81
23.幕級數(shù)的收斂區(qū)間為()
?=o3
A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)
解:令x+l=r,級數(shù)化為61T尸收斂區(qū)間為(-3,3),即
”=033rt=()\3y
x+1e(—3,3)=>%G(T,2)nD。
24.微分y〃+3y'+2y=e-,cosx特解形式應(yīng)設(shè)為y*=()
x
A.Ce'cosxB.e~(C]cosx+C2sinx)
x2JC
C.xe~(Ctcosx+C2sinx)D.xe~(Clcosx+C2sin^)
解:-1+i不是特征方程的特征根,特解應(yīng)設(shè)為e-'Ccosx+CzSinx)。應(yīng)選B。
25.設(shè)函數(shù)y=/(x)是微分方程y"+V=e2,的解,且八4)=0,則/\x)在/處
(
)
A.取微小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值
2x2x
解:有f"(x0)+f'(x0)=e°=>f"(x0)=e°>0A。
得評卷人
分二、填空題(每題2分,共30分)
26.設(shè)/(x)=2x+5,則/"(x)—1]=.
解:/[/U)-H=2(/(x)-l)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。
2"
27.lim—=___________.
"->8幾!
解:構(gòu)造級數(shù)£二,利用比值判別法知它是收斂的,依據(jù)收斂級數(shù)的必要條
n=0幾
2〃
件limJ=0。
“Teo"!
3e4x,x<0
28.若函數(shù)/(x)=/&在x=0處連續(xù),則。=.
2又d--9X0
2
解:limf(x)=—;lim/(x)=3=a=6。
£一(r2x5)+
29.已知曲線^=/+%-2上點(diǎn)/處的切線平行于直線〉=5》-1,則點(diǎn)M的
坐標(biāo)為_______
解:V=2x+l=5nx=2ny=4nA/(2,4)。
30.設(shè)/(x)=e2i,則-2007)(0)=
解:"/)=2721=-2007)(0)=22°°7"'
rx=31+1小?
31.設(shè)2,則?=—
y^2t-t+lax,=1
解:包=上1=空=1。
dx3dxt=x
32.若函數(shù)/(x)=a/+〃%在l=1處取得極值2,則。=____,b=
解?/'(X)=2ax+b=。=>2。+人=0;。+〃=2=>。=—2;Z?=4。
33.\l^dx=
JfM
解:J務(wù)公=[*=ln"(x)|+。。
Jf(x)J/(x)
34.£-Jl-x2dx=
解:£-\ll-x2dx=;S圓=;。
35.向量。=3:+4]-舊的模|初=
解:|37+47-|=79+16+1=V26o
36.已知平面?:x+2y-5z+7=0與平面兀2:4x+3y+znz+13=0垂直,則
m-_____
解:H1-{1,2,-5};?2={4,3,m}=>4+6-5m-0=>m-2?
37.設(shè)/(x+y,孫)=/+y,則/?y)=
2222
解:f(x+y,xy)=x+y=(x+y)-2xyf(x,y)=x-2yo
38.已知/=『dy,'f(x,y)dx,交換積分次序后,則/=
fV2
解:D=<(x,y)\0<y<—,y<x<
行]fV2
=<(x,y)|0<x<,0<y<x>+<(x,y)I<x<1,0<y<,所
2
V5%j
以次序交換后為『dx^/(x,y)dy+dx^/(x,y)dy。
~2
8100(11\
39.若級數(shù)收斂,則級數(shù)£,一一二的和為_____
?=lU?,T【〃“%+"
解:s?=|-——1+———]+-??+-....-1=------,rfnlim-^—=o,
u
憶)[%3)1%??+i)%%+iZ8〃"+]
所以S=limS“=-L
〃-*8U]
40.微分方程y"-2y'+y=0的通解為一
解:有二重特征根1,故通解為y=。傳*+。2叱(GC為隨意常數(shù))。
得評卷人
分
三、推斷題(每小題2分,共10分)
你認(rèn)為正確的在題后括號內(nèi)劃“J”,反之劃“X”.
41.若數(shù)列卜“}單調(diào),則{居}必收斂
)
解:如數(shù)列{〃}單調(diào),但發(fā)散,應(yīng)為X。
42.若函數(shù)/(x)在區(qū)間口,同上連續(xù),在(。力)內(nèi)可導(dǎo),且則肯定
不存在自€(“,/?),使/化)=0.
()
解:如y=/在[―1,可滿意上述條件,但存在&=Oe[-l,3],使得/'《)=0,應(yīng)
為X。
x-sinx由洛比達(dá)法則1-COSX「sinx.
43.lim-------======lim=lim-----=-1.()
18元+sinxis1+COSXx——sinx
Isinx
其次步不滿意Q或方,是錯誤的,事實(shí)上lim蘭華=1加—二=1。
解:
0oox->8x+sinx*廿j+sinx
x
應(yīng)為X。
2-2x
44.0<f'"71-eJx<—ln2
Jo2
)
解:HO<7T^<1,由定積分保序性知:邛M2,
應(yīng)為J。
45.函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處可微是f(x,y)在P(x,y)處連續(xù)的充分條
件.()
解:/(x,y)在點(diǎn)尸(x,y)處可微可得/(x,y)在點(diǎn)P(x,y)處連續(xù),反之不成立,
應(yīng)為應(yīng)為VO
得評卷人
分四、計算題(每小題5分,共40分)
46.求lim爐叫
x—0+
limsinAInxs'n”~xlimxInx
解:limxsinx=lim^sinx,n
x5)+X->0+
解:兩邊取自然對數(shù)得In||=21n|x|+1[ln|l-x|-In|l+x|],----(1分)
兩邊對x求導(dǎo)得:=-+———"I,--------(3分)
yx3\_i-x1+x
21
即"y一+(4分)
X3(x-l)3(x+l)
故先R1-x211
------+----(5分)
1+xx3(x-l)3(x+l)
48.求不定積分“小+1n(i+切心.
解:J[/x+ln(l+x)]dx=~\a"(2x)+jln(l+x)dx---(1分)
1
=-e上公(3分)
2l+x
1
=-e1—dx一(4分)
2l+x
-'+xln(l+x)—x+ln(l+x)+C。(5分)
2
49.計算定積分/j2+2cos2xdx.
解:因2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos?x,所以
£j2+2cos2xdx=「A/4COS2xdx=£21cosx\dx-----(2分)
71
=2|2cosxdx_21兀cosxdx(4分)
i()
2
n
2sin由-2sinx|Z=2+2=4o(5分)
2
50.設(shè)2=/("飛皿乂3工,),且/(〃/)為可微函數(shù),求dz.
解:令e*siny=",3/y=v,有z=/(“#),利用微分的不變性得
dz=/;(?,v)du+f'(u,v)dv=f',d{exsinj)+f'd(3x2y)----(3分)
=sinydx+excosydy)+f',(fixydx+3x2dy)------(4分)
v2
=(e'sinyf't+6xyf')dx+(ecosyft'+3xf}')dy-一(5分)
51.計算”/公辦,其中。為圓環(huán)區(qū)域:I?x2+y2w4.
D
解:積分區(qū)域。如圖07T所示:。的邊界/+y2=]、/+卜2=4用極坐標(biāo)
表示分別為r=1,r=2;故積分區(qū)域。在極坐標(biāo)系系下為
{(r,0)|0<0<2TI,1<r<2},-----(2分)
故JJx2dxd),=『呵:
r2cos2Q-rdr----(3分)
D
2
=「cos?QdQfr3dr=f^―cos2QdQ
JoJlJoA
1S-2兀15f2n0,八、
=w1,cosM0=W」,2cosone-一(4分)
圖07-1
151512"15K
(l+cos2e)je=—(e+-sin20)o=T(5分)
0y
52.將—當(dāng)綻開為x的鼎級數(shù),并寫出收斂區(qū)間.
4-x2
解:因-----L=----------------------;—-(2分)
4—x2-x2+x2(1--)2(1+-)
22
—^―=yxnxe(-l,l)o
1-x〃=0
所以'=£⑶xe(-2,2);-1-=寸-;]xe(-2,2)。一(3分)
1」士⑶]+土外2;
22
xe(-2,2)--(4分)
故事點(diǎn)圖卷1步W爭斗
81
=2許/出xe(—2,2)。一(5分)
,?=0乙
53.求微分方程/dy+(y一2個-工2Mx=0的通解.
解:方程可化為y'+空y=l,這是一階線性非齊次微分方程,-一(1分)
X
它對應(yīng)的齊次方程y'+^—gy=0的通解為曠=Cxb*,(2分)
設(shè)原方程有通解y=C(x)x2^,代入方程得C'(x)/H=1,
I-1
即C'(x)=—*,—(3分)
x
所以C(無)='dr=e最+C,(4分)
故所求方程的通解為y=C/e*+/。--(5分)
得評卷人
分五、應(yīng)用題(每題7分,共計14分)
54.某工廠欲建立一個無蓋的長方題污水處理池,設(shè)計該池容
積為V立方米,底面造價每平方米。元,側(cè)面造價每平方米8元,
問長、寬、高各為多少米時,才能使污水處理池的造價最低?
V
解:設(shè)長方體的長、寬分別為,則高為匚,又設(shè)造價為z,-—(1分)
孫
由題意可得
z=axy+2b(x+y)-=axy+^+^-(x>0,y>0);-一(3分)
犯yx
HSz2bVdz2bV
而一=ay—=cix......-;在定義域內(nèi)都有意義.
2
afxx
al-z2bV
二@—r0
令avxX2bV
得唯一駐點(diǎn)x=>={(5分)
la-z2bVci
=ax-----—0'
lay
、
由題可知造價肯定在內(nèi)部存在最小值,故x=y=,呼就是使造價最小的取
aV2
值,此時高為彳
~2b
2bV2bV3若時,工
所以,排污無蓋的長方體的長、寬、高分別為?不、V吃
程造價最低。一-(7分)
55.設(shè)平面圖形D由曲線>=",直線y=e及y軸所圍成.求:
(1)平面圖形D的面積;>="
(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體始,
解:平面圖形D如圖07-2所示:--(1分)e_/
取x為積分變量,且-yr
(1)平面圖形D的面積為
S=[{e-ex)dx---(3分)______________!_____
J。oj
={ex-ex)1=1o---(4分)
lo圖07-2
(2)平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所生成
旋轉(zhuǎn)體的體積為
xx
VY=2K£x\e-e=2兀或xdx-2it{xedx
Jo
2i]
x
=2Tle--2K[xdex=ne-2兀xe]:+2兀1)edx
7Jo
o
=兀6—2?!?2兀"]:=兀(6—2)。----(7分)
2
或Vy=TCJ(Iny)之力=兀(Iny)y1—兀j21nydy
=ne-2兀jInydy-ne-2nyIn+27cldy
=Tie—2ne+2兀(e—1)=7t(e-2)。
得評卷人
分六、證明題(6分)
56.若/(x)在團(tuán),切上連續(xù),則存在兩個常數(shù)m與M,對于
滿意Q<為工〃的隨意兩點(diǎn)為,冗2,證明恒有
m(x2-x1)<f(x2)-/(%))<M(x2-x1).
證明:因尸。)在值,々]有意義,從而“X)在出,々]上連續(xù)且可導(dǎo),即/(幻在
山,々]上滿意拉格朗日中值定理的條件,——(2分)
故存在會即%),使得/。2)-/區(qū))=/化),——(3分)
x2-陽
又因尸(外在切上連續(xù),依據(jù)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上最值定理知,/(X)在[a,。]
上既有最大值又有最小值,不妨設(shè)九M分別是最小值和最大值,從而xe(a,。)時,
有m<f\x)<Mo-----(5分)
即m</⑴-/①)<M,
x2-X)
故m(x2-%,)<f(x2)-/(%,)<M(X2-xjo--(6分)
2023年河南省一般高等學(xué)校
選拔優(yōu)秀??粕M(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試
高等數(shù)學(xué)試卷
題號一二三四五總分核分人
分?jǐn)?shù)
一.單項選擇題(每題2分,共計60分)
得分評卷人
在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案,并將其代碼寫
在題干后面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者,該題不得分.
1.函數(shù)/(x)=ln(l—x)+J++2的定義域為)
A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)D.(-2,1)
1-x>0
解:,=>-2<x<l=>C.
x+2>0
l-2cosx
2.lim()
x->-sin[x-y
3
A.1B.0C.41D.V3
V3
09
1—2cosxo2sinx
解:lim/:==lim=M=D.
TC
Tsinx兀A->-
3
3*-1
3.點(diǎn)x=0是函數(shù)y=-j-的)
3*+l
A.連續(xù)點(diǎn)B.跳動間斷點(diǎn)C.可去間斷點(diǎn)D.其次類間斷點(diǎn)
i0I
3V-1-13"-1。3'In3
解:lim一—=-1,lim=lim,1=B.
1Xx-T>0。+*1
3'+13、+13vln3
4.下列極限存在的為)
sin2xx2+2
A.lime'B.limC.limcos—D.lim
.v->0xLxx—3
解:明顯只有l(wèi)im四sin三2Y=2,其他三個都不存在,應(yīng)選B.
XTOX
5.當(dāng)x-0時,ln(l+,)是比1-cosx的()
A.低階無窮小B.高階無窮小C.等階無窮小D.同階但不等價無窮小
解:ln(l+x2)-x2,l-cosx=2sin2
22
l+(x+l)sin―—,X<—1
x+l
6.設(shè)函數(shù)/(x)=<1,-l<x<0,則/(幻)
arctanx,x>0
A.在尤=—1處連續(xù),在x=()處不連續(xù)B.在x=0處連續(xù),在x=1l處不連續(xù)
C.在x=—l,0,處均連續(xù)D.在x=-l,0,處均不連續(xù)
解:lim/(x)=1,lim/(%)=1,/(-1)=1^/(x)在x=-l處連續(xù);
limf(x)=1,lim/(x)=0,/(O)=1=>/(x)在x=0處不連續(xù);應(yīng)選A.
x->0-1A-^0+
7.過曲線y=arctanx+/上的點(diǎn)(0,1)處的法線方程為()
A.2%—y+1=0B.x-2y+2=0
C.2x—y—1=01).x+2y—2=0
1
解:t+exn/(。)=2nA法=——nD.
y=1+x2
8.設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處可導(dǎo),/(x)=/(0)—3x+a(x)且lim以2=0,則/'(0)
x-0X
()
A.-1B.1c.-3D.3
/W-/(0)-3x+a(x)-a(x)、-4_
解:yf(0)=lim=lim........-=-3+hm—=-3,應(yīng)選C.
ATOXTO
A->0x-0xX
9.若函數(shù)/(%)=(lnx)"(x>l),則r(x)=)
A.(Inx)iB.(Inx)i+(Inx)xIn(Inx)
C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)x
解:f(x)=(Inx)x=ex]n(]nx)=>y'=(Inx)'[xln(lnx)]r=(Inx)x"[+(Inx)xIn(Inx),應(yīng)選
B.
x=costdv
10.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程([確定,則—二(
,y=sinrdx~X一—九—
4
D
A.-2B.-l-卡
3
dy_sinf=d2y11d2y=±J5,應(yīng)選D.
解:
-----2~X---------2-------------二
dxcostdx2cost3costsintdx2n3
IL下列函數(shù)中,在區(qū)間[T,l]上滿意羅爾中值定理條件的是()
x21
A.y-eB.y=\n\x\C.y=1-xD.y=—
x
解:驗證羅爾中值定理的條件,只有y=l-/滿意,應(yīng)選c.
12.曲線y=d+5%一2的拐點(diǎn)是()
A.x=0B.(0,-2)C.無拐點(diǎn)D.x=0,y=—2
解:丁"=6]=0=>光=0=>(0,-2),應(yīng)選B.
13.曲線y=---------)
|x-l|
A.只有水平漸進(jìn)線B.既有水平漸進(jìn)線又有垂直漸進(jìn)線
C.只有垂直漸進(jìn)線D.既無水平漸進(jìn)線又無垂直漸進(jìn)線
解:lim——J——=0,lim——?一=8=B.
1叫尢一1|1x-11
14.假如f(x)的一個原函數(shù)是xlnx,那么^x2f\x)dx=(
A.Inx+CB.x2+C
C.x3Inx+CD.C—x
解:/(x)=(xlnx)'=1+lnxn/"(工)=--n公=一,公=一%+。,應(yīng)選
D.
rdx
'X2-4x+3)
x—\
B.—In+C
2x-3
C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.ln(x—1)—ln(x—3)+C
dx_rdxx—3
解:tZr=-ln+C,應(yīng)選A.
-4x+3~J(x-3)(x-l)2
16.設(shè)/=/*二,則/的取值范圍為
)
J。1+/
D.1</<1
A.0<Z<lB.-</<1C.0Q;
22
解:此題有問題,定積分是一個常數(shù),有一依據(jù)定積分的估值性質(zhì),有
21+x4
-</<1,但這個常數(shù)也在其它三個區(qū)間,都應(yīng)當(dāng)正確,但真題中答案是B.
2
17.下列廣義積分收斂的是)
,產(chǎn)3,門產(chǎn)Inx,x
A.JxdxB.J----dxC.Jy/xdxD.e~dx
解:明顯應(yīng)選D.
f3
18.JJi—x\dx=()
A.x\dxB.J(x—V)dx+£(1—x)cbc
C.J^y—x)dx—^{x—X)dxD.J(1—x)dx+J(x—V)dx
解:jJl-x|=jJl-x|+jjl-x|x)dx+^{x-V)dxf應(yīng)選D.
19.若/(x)可導(dǎo)函數(shù),/(%)>0,且滿意/2(x)=in22—2「/")sin'出,則/(x)=
J。1+cosZ
()
A.ln(l+cosx)B.—ln(14-cosx)4-C
C.-ln(l+cosx)D.ln(l+cosx)+C
解:對尸⑴=日2—兩邊求導(dǎo)有:2/(x)尸(x)=-2”即工,
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