材料力學(xué)：簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題

1簡(jiǎn)單的超靜定問(wèn)題超靜定問(wèn)題及其解法拉壓超靜定問(wèn)題扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題簡(jiǎn)單超靜定梁返回2約束反力或桿件的內(nèi)力可以用靜力平衡方程求出，這種情況稱作靜定問(wèn)題。只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問(wèn)題?！?-1超靜定問(wèn)題及其解法2、超靜定問(wèn)題1、靜定問(wèn)題3未知力數(shù)超過(guò)獨(dú)立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù)。3、超靜定的次數(shù)5、多余未知力4、多余約束多于維持平衡所必需的支座或桿件。與多余約束相應(yīng)的支座約束力或內(nèi)力。4FABCDACBFFF5DACBF一次超靜定FABCFABC6§6-2拉壓超靜定問(wèn)題一、一般超靜定問(wèn)題

例題：兩端固定的等直桿AB橫截面積為A，彈性模量為E，在C點(diǎn)處承受軸力F的作用，如圖所示，計(jì)算約束力。FblBACa7FByFBFAAC這是一次超靜定問(wèn)題。平衡方程為FblBACa8BAC相容條件是：桿的總長(zhǎng)度不變=FByFBFAACFblBACa9變形幾何方程為：BAC=FByFBFAACFblBACa10補(bǔ)充方程為平衡方程為BAC=FByFFAACFblBACa11

例題：設(shè)1、2、3

三桿用鉸鏈連結(jié)，l1=l2=l，A1

=A2=A,E1=E2=E,3

桿的長(zhǎng)度l3,橫截面積A3

,彈性模量

E3。試求在沿鉛垂方向的外力P作用下各桿的軸力。

CABDP

12312解：列靜力平衡方程CABDP

123FN3FN1FN2PA這是一次超靜定問(wèn)題。13由于1,2兩桿在幾何，物理及受力

方面都是對(duì)稱。所以變形后A

點(diǎn)將沿鉛垂方向下移。CABDP

123FN3FN1FN2PA14相容條件：變形后三桿仍絞結(jié)在一起。FN3FN1FN2PACABD

123A’CABDP

12315CABD

123A’ABD

123A’

l1

l2

l3變形幾何方程為物理方程為16CABD

123A’ABD

123A’

l1

l2

l3補(bǔ)充方程為17

解超靜定問(wèn)題的步驟：根椐變形相容條件建立變形幾何方程。變形幾何方程的個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)相等。將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程。聯(lián)立補(bǔ)充方程與靜力平衡方程求解。解超靜定問(wèn)題注意畫變形圖時(shí)，桿的變形與假設(shè)的軸力符號(hào)要一致。18畫受力圖列靜力平衡方程畫變形幾何關(guān)系圖列變形幾何關(guān)系方程建立補(bǔ)充方程解聯(lián)立方程求出全部約束反力虎克定律19ABCG123aal例題：圖示平行桿系1、2、3

懸吊著橫梁AB(AB的變形略去不計(jì))，在橫梁上作用著荷載G。如桿1、2、3的截面積、長(zhǎng)度、彈性模量均相同，分別為A，l，E。試求1、2、3三桿的軸力FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3。20解：(1)平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題，且假設(shè)均為拉桿。ABCG123aalBACGFN1FN2FN3H21A123BC(2)變形幾何方程(3)物理方程ABCG123aal22A123BC

補(bǔ)充方程ABCG123aal(4)聯(lián)立平衡方程與補(bǔ)充方程求解23思考題剛性梁ABC由抗拉剛度相等的三根桿懸掛著。尺寸

如圖所示，拉力F為已知。求各桿的軸力。ABC123408080F507524ABC123408080F5075變形相容條件變形后三根桿與梁仍絞接在一起。變形幾何方程25ABC123F5075補(bǔ)充方程FN1FN2FN3F408080靜力平衡方程26例題：剛性桿AB如圖所示。已知1、2桿的材料，橫截面積，長(zhǎng)度均相同。若兩桿的橫截面面積A=2cm2，材料的許用應(yīng)力[]=100MPa。試求結(jié)構(gòu)所能承受的最大荷載Pmax。12ABCP2aa27解：這是一次超靜定問(wèn)題(1)列靜力平衡方程取AB為研究對(duì)象12ABCP2aa28PN12ABCP2aaFN1FN2FN22a+FN1a-P

a=0這是一次超靜定問(wèn)題29(2)變形幾何方程12ABCP2aaPFN1FN2N30(3)列補(bǔ)充方程FN2=2FN12FN2+FN1-P=0(4)由靜力平衡方程和補(bǔ)充方程聯(lián)立解FN1和FN2FN1FN2PN12ABCP2aa31強(qiáng)度條件為求得P=50kN由(5)由強(qiáng)度條件求PmaxFN1FN2PN12ABCP2aa32例題：桁架由三根抗拉剛度均為EA的桿AD，BD和CD在D點(diǎn)絞接而成，求在力P作用下三桿的內(nèi)力。ABCD123PH

33解：設(shè)AD、BD

和

CD

桿的軸力FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3

均為拉力。FN1FN2FN3

DP

ABCD123PH

作節(jié)點(diǎn)D

的受力圖。34D

點(diǎn)的平衡方程為這是一次超靜定問(wèn)題ABCD123PH

FN1FN2FN3

DP

35變形協(xié)調(diào)條件是：變形后三桿仍絞接在一起。ABCD123PH

36123D

D1D2l2D3作變形圖ABCD123PH

l137F

GD1D2123D

l2D3l138F

GD1D2123D

l2D3l1E

幾何方程為39F

GD1D2123D

l2D3l1E

幾何方程為40補(bǔ)充方程聯(lián)立補(bǔ)充方程和平衡方程求解ABCD123PH

FN1=?FN2=?FN3=?

41，。ABCD

213l

二、裝配應(yīng)力圖示桿系，若3桿尺寸有微小誤差，則在桿系裝配好后各桿將處于圖中位置，因而產(chǎn)生軸力。423桿的軸力為拉力，1，2桿的軸力為壓力。這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力。與之相對(duì)應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力。，。ABCD

213l

43代表?xiàng)U3

的伸長(zhǎng)代表?xiàng)U1或桿2

的縮短

代表裝配后A點(diǎn)的位移

ABCD

213l

44(1)變形幾何方程(2)物理方程

ABCD

213l

45補(bǔ)充方程為

ABCD

213l

46(4)平衡方程

ABCD

213l

FN3FN1FN247補(bǔ)充方程為與平衡方程聯(lián)立FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3

可解48

例題：兩鑄件用兩根鋼桿1,2連接，其間距為l=200mm?，F(xiàn)要將制造得過(guò)長(zhǎng)了

e=0.11mm的銅桿3裝入鑄件之間，并保持三根桿的軸線平行且等間距a。試計(jì)算各桿內(nèi)的裝配應(yīng)力。已知：鋼桿直徑d=10mm，銅桿橫截面積為20

30mm的矩形，鋼的彈性模量E=210GPa，銅的彈性模量E3=100GPa。鑄件很厚，其變形可略去不計(jì)，故可看作剛體。49ABC12aa

l350（c)ABC12變形幾何方程為l3(b)51代入得補(bǔ)充方程列平衡方程aaxFN3FN1FN252解三個(gè)聯(lián)立方程可得裝配內(nèi)力FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3，，進(jìn)而求出裝配應(yīng)力。53三、溫度應(yīng)力例題：圖示等直桿AB的兩端分別與剛性支承連結(jié)。設(shè)兩支承的距離（即桿長(zhǎng)）為l，桿的橫截面面積為A，材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為。試求溫度升高

T時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力。54解：這是一次超靜定問(wèn)題lAB變形相容條件是，桿的總長(zhǎng)度不變。即55

lNABlABA桿的變形為兩部分：由溫度升高引起的變形由軸向壓力P1=P2引起的變形

lT56變形幾何方程是：ABlABA57補(bǔ)充方程是：溫度內(nèi)力為：溫度應(yīng)力為：ABlABA58例題：桁架由三根抗拉壓剛度均為EA的桿在A點(diǎn)絞接，試求由于溫度升高

T而引起的溫度應(yīng)力。材料的線膨脹系數(shù)為。132ABDC

l59132ABDC

l132A

B1C1A1解：AB1，AC1，AA1分別為由于溫度的升高引起1，2，3

三桿的伸長(zhǎng)。60132ABDC

l132A

B1C1A161C1B1132ABDC

l132A

假設(shè)裝配后節(jié)點(diǎn)A下降至A2處C2A1A2

裝配后3桿的伸長(zhǎng)B1B2裝配后桿1的縮短C1C2

裝配后2桿的縮短A1B2A262132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3為各桿的裝配內(nèi)力A

FN1FN2FN363(1)變形幾何方程132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN3物理方程關(guān)系：64132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2（2）補(bǔ)充方程：A

FN1FN2FN365(3)平衡方程132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN366（4）聯(lián)立求解132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN367解得132ABDC

l132A

C1B1C2A1B2A2A

FN1FN2FN3FN1，F(xiàn)N2，F(xiàn)N3

皆為正，說(shuō)明如所設(shè)1，2桿受壓，3桿受拉。68

拉壓超靜定169

拉壓超靜定270

§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題

例題:兩端固定的圓截面桿AB

，在截面Ｃ處受一個(gè)扭轉(zhuǎn)力偶矩m

的作用，如圖所示。已知桿的抗扭剛度

GIP

，試求桿兩端的支座約束力偶矩。CmabABl1271ACB12m解：去掉約束，代之以支座約束力偶.這是一次超靜定問(wèn)題。CmabABl1272C截面相對(duì)于兩固定端

A

和B

的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相等。ACB12mCmabABl12桿的變形相容條件是：73CmabABl12變形幾何方程由物理關(guān)系建立補(bǔ)充方程ACB12m?74補(bǔ)充方程CmabABl12ACB12m?聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程即可解得約束力偶解得:75例題：圖示一長(zhǎng)為l

的組合桿，由不同材料的實(shí)心圓截面桿和空心圓截面桿組成,內(nèi)外兩桿均在線彈性范圍內(nèi)工作，其抗扭剛度GIPa，GIPb。當(dāng)此組合桿的兩端各自固定在剛性板上，并在剛性板處受一對(duì)矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶的作用。試求分別作用于內(nèi)、外桿上的扭轉(zhuǎn)偶矩。mmlAB76解：列平衡方程這是一次超靜定問(wèn)題mmmlABmbma77變形相容條件是，內(nèi)，外桿的扭轉(zhuǎn)變形應(yīng)相同。變形幾何方程是mmmlABmbma78物理關(guān)系是代如變形幾何方程，得補(bǔ)充方程mmmlABmbma79聯(lián)立平衡方程和補(bǔ)充方程，解得：mmmlABmbma80PAB一、基本概念

§6-4簡(jiǎn)單超靜定梁ABCP81ABq

二、求解超靜定梁的步驟圖示為抗彎剛度為EI的一次超靜定梁，說(shuō)明超靜定梁的解法。82

（1）將可動(dòng)絞鏈支座作看多余約束解除多余約束，代之以約束力RB

。得到原超靜定梁的基本靜定系。ABqABq83ABqABq（2）超靜定梁在多余約束處的約束條件，梁的變形相容條件。

（3）根據(jù)變形相容條件得變形幾何方程變形幾何方程為84

（4）將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程查表得BAABqABq85BAABqABq補(bǔ)充方程為由該式解得86求出該梁固定端的兩個(gè)約束力ABq87代以與其相應(yīng)的多余反力偶mA得基本靜定系。變形相容條件為請(qǐng)同學(xué)們自行完成！方法二取支座A

處阻止梁轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為多余約束。ABqABq88例題：梁AC如圖所示,梁的A端用一鋼桿AD與梁AC鉸接,在梁受荷載作用前,桿AD內(nèi)沒(méi)有內(nèi)力,已知梁和桿用同樣的鋼材制成,材料的彈性模量為E,鋼梁橫截面的慣性矩為I,拉桿橫截面的面積為A,其余尺寸見(jiàn)圖,試求鋼桿AD內(nèi)的拉力N。a2aABCq2qD89ADBCq2qA解：這是一次超靜定問(wèn)題。將AD桿與梁AC之間的連結(jié)絞看作多于約束。拉力N

為多余反力。基本靜定系如圖NN90ADBCq2qA點(diǎn)的變形相容條件是拉桿和梁在變形后仍連結(jié)于A點(diǎn)。即NN91BCq2qN變形幾何方程為根據(jù)疊加法A端的撓度為CBq2qBCN92在例題中已求得可算出BCq2q