結(jié)構(gòu)力學(xué)：力法

§10-1超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的一般方法1.超靜定結(jié)構(gòu)的幾何特征和靜力特征靜力特征:僅由靜力平衡方程就能求出所有內(nèi)力和反力。幾何特征:沒有多余約束的幾何不變體系。靜力特征:僅由靜力平衡方程不能求出所有內(nèi)力和反力。幾何特征:有多余約束的幾何不變體系。FPFP靜定結(jié)構(gòu)超靜定結(jié)構(gòu)力法2/87

多余約束只是對(duì)幾何不變性而言的，對(duì)內(nèi)力和變形而言這些約束是有作用的，它們直接影響到內(nèi)力和變形的大小和分布規(guī)律。

在一個(gè)靜定結(jié)構(gòu)上增加多余約束所得的超靜定結(jié)構(gòu)是唯一的；但從超靜定結(jié)構(gòu)上去掉多余約束使之成為靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，形式可以有多種多樣，多余約束在很大范圍內(nèi)是可以任選的。

超靜定結(jié)構(gòu)的約束包括必要約束和多余約束，必要約束可通過平衡方程直接確定，而多余約束須結(jié)合變形條件才可確定。2.超靜定結(jié)構(gòu)的性質(zhì)3/87

超靜定內(nèi)力和反力與材料的物理性質(zhì)、截面的幾何特征（形狀和尺寸）有關(guān)。

非荷載因素也會(huì)使超靜定結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力和反力；

由于有多余約束，所以增強(qiáng)了抵抗破壞的能力；

由于有多余約束，所以增強(qiáng)了超靜定結(jié)構(gòu)的整體性，在荷載作用下會(huì)減小位移，內(nèi)力分布更均勻。4/87（1）滿足平衡條件

——各部分受力狀態(tài)滿足平衡方程3.求解超靜定結(jié)構(gòu)的三方面條件（2）滿足幾何條件

——位移滿足支承約束和變形連續(xù)（3）滿足物理?xiàng)l件

——變形或位移與力之間的成比例關(guān)系5/87基本思想

(1)找出未知問題不能求解的原因；

(2)改造原問題將其化成會(huì)求解的問題；

(3)找出改造后的問題與原問題的差別；

(4)消除差別，改造后的問題的解即為原問題的解。4.超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算方法具體操作

(1)在所有未知量中分出一部分作為基本未知量；

(2)將其他未知量表成示成基本未知量的函數(shù)；

(3)集中力量求解基本未知量?；痉椒?/p>

力法——取某些力作為基本未知量；

位移法——取某些位移作為基本未知量。6/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）

原體系是具有一個(gè)多余約束的幾何不變體系，稱一次超靜定體系。目前超靜定體系求解還沒有講授，而靜定結(jié)構(gòu)體系的求解是已經(jīng)介紹過的。AB7/87§10-2力法基本概念1.力法思路基本結(jié)構(gòu)（靜定）原體系（待求）

將超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束去掉得到的靜定結(jié)構(gòu)稱為原結(jié)構(gòu)的基本結(jié)構(gòu)。AB8/87§10-2力法基本概念1.力法思路基本結(jié)構(gòu)（靜定）原體系（待求）基本結(jié)構(gòu)在外力和多余力作用下形成基本體系X1基本體系（可求）AB9/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）

如果能確定出多余力X1的實(shí)際值，則基本體系和原體系的內(nèi)力和位移就完全相同了?？梢姡嘤嗔Φ挠?jì)算是關(guān)鍵所在，稱X1為基本未知量。X1基本體系（可求）基本未知量(參數(shù))AB10/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）由疊加原理，基本體系在基本未知量方向的位移：X1基本體系（可求）基本未知量(參數(shù))AB11/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）為消除基本體系與原體系在支座處的位移差別，X1基本體系（可求）基本未知量(參數(shù))AB令基本方程(協(xié)調(diào)條件)12/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）確定基本未知量（原體系的實(shí)際支座反力）：X1基本體系（可求）基本未知量(參數(shù))AB13/87§10-2力法基本概念1.力法思路原體系（待求）通過疊加確定內(nèi)力分布X1基本體系（可求）基本未知量(參數(shù))AB14/87§10-2力法基本概念1.力法思路由于基本體系既平衡又協(xié)調(diào)，根據(jù)解答的唯一性，它就是原體系的真實(shí)解答。X1AB力法基本思想設(shè)法將未知的超靜定問題轉(zhuǎn)換成已知的靜定問題來解決，核心是轉(zhuǎn)換15/87

將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，通過消除已知問題和原問題的差別，使未知問題得以解決。這是科學(xué)研究的基本方法之一。力法的基本特點(diǎn)（1）解除超靜定結(jié)構(gòu)的多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)。（2）以多余未知力為基本未知量。（3）根據(jù)所去掉的多余聯(lián)系處的變形條件建立力法方程，從而求出多余未知力。（4）根據(jù)平衡條件求出全部反力及內(nèi)力。（5）一切計(jì)算均在基本結(jié)構(gòu)上進(jìn)行。16/872.超靜定次數(shù)及力法基本體系和基本未知量的確定解除約束法：將超靜定結(jié)構(gòu)逐漸去除多余約束，使之與相近的靜定結(jié)構(gòu)相比,多出的約束個(gè)數(shù)即為結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)。確定超靜定次數(shù)FPX1X2FPFPX2X1形成靜定結(jié)構(gòu)的方式有多樣，但解除約束的個(gè)數(shù)不變；基本未知量與撤除的約束相對(duì)應(yīng)（方向、數(shù)目）超靜定次數(shù)=多余約束個(gè)數(shù)超靜定結(jié)構(gòu)=靜定結(jié)構(gòu)+多余約束17/87去掉一個(gè)鏈桿或切斷一個(gè)鏈桿相當(dāng)于去掉一個(gè)約束內(nèi)部有一個(gè)多余約束外部有一個(gè)多余約束兩次超靜定FPX1FPX2X2例題：找出多余約束，并判斷超靜定次數(shù)18/87截開一個(gè)單鉸或去掉一個(gè)固定鉸支座相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束FPFPX2X2X1X1FPFPX2X1兩次超靜定兩次超靜定例題：找出多余約束，并判斷超靜定次數(shù)19/87

切斷一根梁式桿或去掉一個(gè)固定端支座相當(dāng)于去掉三個(gè)約束FPFPX1X2X3FPX2X2X1X1X3X3三次超靜定例題：找出多余約束，并判斷超靜定次數(shù)20/87

將剛性連接變成鉸結(jié)點(diǎn)或?qū)⒐潭ǘ酥ё兂晒潭ㄣq支座相當(dāng)于去掉一個(gè)約束。FPX1X1FPX1FP兩次超靜定例題：找出多余約束，并判斷超靜定次數(shù)21/87

幾何可變體系不能作為基本體系；去除多余約束過程不能改變必要約束性質(zhì)。FPX1X2FP是基本體系嗎？22/873次超靜定8次超靜定計(jì)算自由度法：通過求出的計(jì)算自由度數(shù)得出多余約束數(shù)，從而確定超靜定次數(shù)。23/871次超靜定為什么不是3次超靜定？X124/873.力法的解題步驟（1）確定基本體系；（2）通過位移條件寫出力法方程；（3）作單位彎矩圖、荷載彎矩圖；（4）求出系數(shù)和自由項(xiàng)；（5）解力法方程求多余力；（6）疊加法作彎矩圖。25/874.力法解題示例例題：用力法繪制圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。ABl解：確定基本結(jié)構(gòu)和基本未知量寫出基本方程M1MPM繪制彎矩圖(1)荷載作用下的結(jié)構(gòu)分析26/87靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)的彎矩圖的比較

比較可知，采取超靜定結(jié)構(gòu)降低了梁的最大彎矩，提高了梁的強(qiáng)度。27/87FPEIEIFPX1FPX1=1例題：用力法繪制圖示結(jié)構(gòu)彎矩圖。28/87

不同的基本結(jié)構(gòu)計(jì)算工作量繁簡(jiǎn)不同，應(yīng)盡量選取便于計(jì)算的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)。選用其他基本體系X1X1X1EIFPEIFPEIEI

盡管選取的基本結(jié)構(gòu)不同，但力法方程形式均為：

不同的基本結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的基本方程的物理含意不同。29/87X1qX1qqll/2EIX1q選取基本體系可用貼補(bǔ)法圖乘計(jì)算

由于基本結(jié)構(gòu)可有多種取法，而原體系的解答是唯一的，因此，最終解答可以看成是從任意一種基本結(jié)構(gòu)求解所得。30/87（該結(jié)論只適用于荷載作用情況）練習(xí)：已知條件如圖示，用力法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。FPEI

EIABC

由力法典型方程看出：方程的每一項(xiàng)均含有（1/EI），可以消去。表明荷載作用下超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布與剛度的絕對(duì)值EI無關(guān)，只與各桿的相對(duì)剛度

有關(guān)。EI的大小不影響內(nèi)力的大小和分布，只影響位移的大小。31/87FPFPaaa/2各桿EA等于常數(shù)彎曲桿EI等于常數(shù)二力桿EA等于常數(shù)練習(xí)：已知條件如圖示，用力法分析結(jié)構(gòu)內(nèi)力。32/87與荷載情況靜力計(jì)算的區(qū)別在于自由項(xiàng)計(jì)算的不同。

由于多余力的存在，非荷載因素會(huì)引起結(jié)構(gòu)的彈性變形，產(chǎn)生自內(nèi)力，這是超靜定結(jié)構(gòu)不同于靜定結(jié)構(gòu)的特征之一。由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，在溫度改變或支座移動(dòng)時(shí)不產(chǎn)生內(nèi)力，所以超靜定結(jié)構(gòu)的最終內(nèi)力只與多余力的值有關(guān)。

溫變情況自由項(xiàng)支座移動(dòng)自由項(xiàng)(2)非荷載因素作用下的結(jié)構(gòu)分析33/87t1t2EIlt2>t1在溫變情況下結(jié)構(gòu)內(nèi)力和反力與桿件的絕對(duì)剛度成正比。溫度改變情況下的靜力計(jì)算示例34/87

基本體系不同，基本方程也有所改變。EIl

非荷載因素使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生自內(nèi)力和反力，該自內(nèi)力和反力與桿件的絕對(duì)剛度成正比?；倔w系1基本體系2支座移動(dòng)情況下的計(jì)算示例35/87

當(dāng)把彈簧考慮成支座時(shí)，鉸接端彈簧處豎向位移與彈簧內(nèi)力有關(guān):EIlkFPFP基本體系1彈性支座情況下的計(jì)算示例36/87

當(dāng)把彈簧考慮成結(jié)構(gòu)的一部分時(shí)，截?cái)鄰椈商庁Q向相對(duì)位移為零：EIlkFPFPk內(nèi)力隨

k變化規(guī)律?基本體系237/87X1X2(3)多變量的力法的典型方程EI2EIqqqX1X2基本體系變形條件:38/87由疊加原理:——力法的典型方程q39/87

40/87廣義荷載位移根據(jù)線彈性體系的疊加原理可知：多余力及荷載共同作用下基本結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移等于它們分別作用時(shí)所產(chǎn)生位移的總和。主系數(shù)（i=j）副系數(shù)（i

j）以上均各量均可由位移計(jì)算公式求得。

ij

是與外因無關(guān)的位移影響系數(shù)，是基本結(jié)構(gòu)的固有特性41/87§10-3力法計(jì)算的簡(jiǎn)化目的是使選用的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量便于計(jì)算，盡可能縮小計(jì)算規(guī)模，降低線性方程組的階數(shù)；使盡可能多的副系數(shù)等于零（減少未知量數(shù)；減小未知力和外荷載的影響范圍）1.無彎矩狀態(tài)的判別不計(jì)軸向變形前提下，下列情況無彎矩，只有軸力。(1)集中荷載沿柱軸作用FP42/87§10-3力法計(jì)算的簡(jiǎn)化目的是使選用的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量便于計(jì)算，盡可能縮小計(jì)算規(guī)模，降低線性方程組的階數(shù)；使盡可能多的副系數(shù)等于零（減少未知量數(shù)；減小未知力和外載的影響范圍）1.無彎矩狀態(tài)的判別不計(jì)軸向變形前提下，下列情況無彎矩，只有軸力。(1)集中荷載沿柱軸作用；(2)等值反向共線集中荷載沿桿軸作用。FPFP43/87§10-3力法計(jì)算的簡(jiǎn)化目的是使選用的基本結(jié)構(gòu)和基本未知量便于計(jì)算，盡可能縮小計(jì)算規(guī)模，降低線性方程組的階數(shù)；使盡可能多的副系數(shù)等于零（減少未知量數(shù)；減小未知力和外載的影響范圍）1.無彎矩狀態(tài)的判別不計(jì)軸向變形前提下，下列情況無彎矩，只有軸力。(1)集中荷載沿柱軸線方向作用；(2)等值反向共線集中荷載沿桿軸線方向作用；(3)集中荷載作用在不動(dòng)結(jié)點(diǎn)。FP44/87判斷方法:FPFPFPFP

只承受結(jié)點(diǎn)荷載的構(gòu)架體系,在不計(jì)軸向變形的情況下,化成鉸接體系.如果鉸化體系仍為幾何不變體系,或者是幾何可變體系,但使其成為不變體系所附加的鏈桿均為零桿（各結(jié)點(diǎn)無線位移也無角位移）時(shí),可斷定原體系無彎矩。FPFPFPFP處于無彎矩狀態(tài)45/87證明FPFPFP證畢46/87(1)結(jié)構(gòu)對(duì)稱性(Symmetry)的概念2.對(duì)稱性的利用幾何對(duì)稱支承對(duì)稱剛度對(duì)稱反對(duì)稱結(jié)構(gòu)？47/87FPX2X2X1X1X3X3選取對(duì)稱基本結(jié)構(gòu)的對(duì)稱基本未知量和反對(duì)稱基本未知量FP48/87基本方程分為兩組：一組只含反對(duì)稱未知量一組只含對(duì)稱未知量49/87正對(duì)稱荷載：作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸兩側(cè)，大小相等，方向和作用點(diǎn)對(duì)稱的荷載；反對(duì)稱荷載：作用在對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸兩側(cè)，大小相等，作用點(diǎn)對(duì)稱，方向反對(duì)稱的荷載。(2)對(duì)稱荷載及反對(duì)稱荷載FPFPFPFP50/87截面垂直于對(duì)稱軸：

M、FN—對(duì)稱力

FQ

—反對(duì)稱力截面與對(duì)稱軸重合：FNMMFQFNFQFNMFQFQ/2FQ/2FN/2FN/2M/2M/2FN—對(duì)稱力

M、FQ—反對(duì)稱力51/87正對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載練習(xí)：判斷荷載的對(duì)稱性。FPM52/87對(duì)稱結(jié)構(gòu)當(dāng)作用對(duì)稱荷載時(shí)，反對(duì)稱未知量為零。其結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是對(duì)稱的對(duì)稱荷載分析:FPFPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFPMPM1M2M353/87對(duì)稱結(jié)構(gòu)當(dāng)作用反對(duì)稱荷載時(shí)，對(duì)稱未知量為零。其結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形是反對(duì)稱的反對(duì)稱荷載分析:FPFPX2X2X1X1X3X3FPFPFPFPMPM1M2M354/87例題：已知條件如圖示，求作固定梁彎矩圖。對(duì)稱結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下，在對(duì)稱軸處只保留了對(duì)稱未知量X2和X3，所以X1=0；而對(duì)稱軸力與對(duì)稱彎矩圖乘為零：

12＝

21＝0

2P=0所以X2=0。lFPEIEIX2X2X1X1X3X355/87FPMPM3M56/87例題：求圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。EI=常數(shù)。lllFPFPFPFP

FPFP57/87

鑒于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱和荷載的對(duì)稱（或反對(duì)稱）得到的內(nèi)力圖也具有對(duì)稱（或反對(duì)稱）的特性，可以考慮僅分析結(jié)構(gòu)的一半（等代結(jié)構(gòu)），會(huì)大大降低計(jì)算工作量。另一半的內(nèi)力圖可按對(duì)稱性復(fù)制。

要使等代結(jié)構(gòu)能等效代替原結(jié)構(gòu)的受力和變形狀態(tài)。關(guān)鍵在于被截開處應(yīng)按原結(jié)構(gòu)上的位移條件及相應(yīng)的靜力條件設(shè)置相應(yīng)合適的支撐。58/87A.奇數(shù)跨結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸對(duì)稱軸對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載FPFPABCFPFPFPFPABC半結(jié)構(gòu)（等代結(jié)構(gòu)）59/87B.偶數(shù)跨結(jié)構(gòu)對(duì)稱荷載反對(duì)稱荷載ABCFPFPFPFPFPABCFP對(duì)稱軸對(duì)稱軸60/87對(duì)稱荷載：例題：無中柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)(奇數(shù)跨結(jié)構(gòu))選取等代結(jié)構(gòu)。FPFPFPFPFP反對(duì)稱荷載：FP61/87例題：有中柱對(duì)稱結(jié)構(gòu)（偶數(shù)跨結(jié)構(gòu)）選取等代結(jié)構(gòu)對(duì)稱荷載:反對(duì)稱荷載:FPFPFPFPFPFP62/87練習(xí)：利用對(duì)稱性取半結(jié)構(gòu)分析FPFPFPFP63/87例題：利用對(duì)稱性取等代結(jié)構(gòu)qqqq64/87練習(xí)：利用對(duì)稱性取半結(jié)構(gòu)FPqq65/87例題：雙對(duì)稱軸取1/4結(jié)構(gòu)做彎矩圖2FP2FP2l2lFPFPX1等代結(jié)構(gòu)基本體系基本方程M66/87FPFP例題：雙對(duì)稱軸取1/4結(jié)構(gòu)做彎矩圖67/87方法1：先取對(duì)稱后取反對(duì)稱方法2：先取反對(duì)稱后取對(duì)稱？68/872FPEIEIEIEI2EI2FP2FPEIEIEIEI2EI2FP2FPEIEIEIFPEI4FPEIEIEIEI2EIlll如何利用對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算69/87去除對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱位置上的多余約束，形成對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)。將對(duì)稱位置上的未知力加以組合成對(duì)。(4)分解多余未知力為對(duì)稱組和反對(duì)稱組FPFPFPFR1FR2X1X1X2X2基本結(jié)構(gòu)原體系基本體系70/87計(jì)算過程：基本方程FP71/87也可去除對(duì)稱結(jié)構(gòu)對(duì)稱軸上的多余約束，形成對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)。將對(duì)稱位置上的未知力加以組合成對(duì)。FP原體系FP基本結(jié)構(gòu)X1X1X2X22X2基本體系72/87計(jì)算過程：基本方程X1=1X1=1X2=1X2=12X2=2FP73/87qlllX1X1X1X1X2X2X2X2q分析解題途徑基本方程基本體系原體系74/87

選成對(duì)多余未知力3.其他簡(jiǎn)化措施FPFPFPFPFPFPFPFPFPX2=1X2=1X1=1X1=1X5=1X5=1X6=175/87FPFPX1X2X3FPX1X2X3取簡(jiǎn)支梁為基本結(jié)構(gòu)可使單位彎矩圖和荷載彎矩圖的分布范圍限于局部，簡(jiǎn)化計(jì)算。當(dāng)跨數(shù)多時(shí)優(yōu)勢(shì)更明顯，并使不相鄰的未知力之間副系數(shù)都等于零基本體系1基本體系276/87

一般來說需要解超靜定結(jié)構(gòu)的Mi和MP，工作量較大。解決思路：如將超靜定結(jié)構(gòu)由力法求得的多余力看作已知荷載，并作用在去掉多余約束的靜定結(jié)構(gòu)上，超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算問題就可采用在去掉多余約束的靜定結(jié)構(gòu)上建立虛擬力狀態(tài)的方法得到解決。(1)荷載作用下的位移計(jì)算4.位移計(jì)算與內(nèi)力的校核77/87例題：求荷載作用點(diǎn)的豎向位移EIFPEIllFPX1FPFPFP=178/87FPFP=1FP=1FP=1FP=1多余約束只能減，不能加，亦不能換位。79/87超靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算步驟：①解超靜定結(jié)構(gòu)，繪最終彎矩圖；②將單位力作用于任選的基本結(jié)構(gòu)上，繪；③用圖乘法求相應(yīng)點(diǎn)的廣義位移。新選的基本結(jié)構(gòu)可以和原來的基本結(jié)構(gòu)相同，也可以不相同；無論選用什么樣的基本結(jié)構(gòu)來繪單位彎矩圖，其計(jì)算結(jié)果都是相同的。80/87解決思路：把超靜定結(jié)構(gòu)等效替換為多余約束力和溫變或支座移動(dòng)因素共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)，于是，問題轉(zhuǎn)化為在靜定結(jié)構(gòu)上求某項(xiàng)位移（注：不能忽略溫變引起的軸向變形）。(2)溫變或支座移動(dòng)情況下的位移計(jì)算81/87求k點(diǎn)豎向位移lkl25C15Ck25C

15C

FN82