材料力學(xué)：組合變形及連接部分的計(jì)算

組合變形及連接部分的計(jì)算兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲拉伸（壓縮）與彎曲扭轉(zhuǎn)與彎曲概述連接件的實(shí)用計(jì)算鉚釘連接的計(jì)算

一、組合變形概念:構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種

以上的基本變形,則構(gòu)件的變形稱(chēng)為組合變形。二、解決組合變形問(wèn)題的基本方法:疊加法§8-1概述疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與外力之間成線性關(guān)系。疊加法--------處理組合變形的基本方法一、將組合變形分解為基本變形——將外力簡(jiǎn)化或分解，使之每個(gè)力(或力偶)對(duì)應(yīng)一種基本變形；

三、利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加。二、分別計(jì)算在每一種基本變形下構(gòu)件的的應(yīng)力和變形；四、疊加原理應(yīng)用舉例l/2Fl/2右端支座截面的轉(zhuǎn)角為例如：簡(jiǎn)支梁的跨中點(diǎn)作用集中力F轉(zhuǎn)角θ與荷載F

的關(guān)系就是線性的.是一個(gè)系數(shù)，只要明確F垂直于軸線,且作用于跨中點(diǎn),則這一系數(shù)與F的大小無(wú)關(guān).疊加原理的成立，要求位移，應(yīng)力，應(yīng)變和內(nèi)力等與外力成線性關(guān)系。當(dāng)不能保證上述線性關(guān)系時(shí)，疊加原理不能使用。三、工程實(shí)例:

三、工程實(shí)例:

煙

囪

雨篷

=++=+兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲也稱(chēng)斜彎曲。雙對(duì)稱(chēng)截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)同時(shí)受橫向外力作用，分別在水平縱向?qū)ΨQ(chēng)面和垂直縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)發(fā)生對(duì)稱(chēng)彎曲?！?-2兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲梁在垂直縱對(duì)稱(chēng)面xy

面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。Z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對(duì)稱(chēng)軸垂直縱向?qū)ΨQ(chēng)面xyz

梁的軸線對(duì)稱(chēng)軸水平縱向?qū)ΨQ(chēng)面梁在水平縱向?qū)ΨQ(chēng)面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線yzxP1P2a

一、梁任意橫截面上的內(nèi)力分析P1使梁在

XZ

平面內(nèi)彎曲（y

軸為中性軸）P2使梁在XY

平面內(nèi)彎曲（z

軸為中性軸）mmyxzyzxmmxP1P2aMyMy=P1x（使梁在XZ

平面內(nèi)彎曲，y

為中性軸）P1在m—m面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為mmyxzyzxmmxP1P2aMyMZ=P2(x-a)（使梁在XY平面內(nèi)彎曲，z為中性軸）MZP2在m—m面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為mmyxz

二、梁橫截面上的應(yīng)力分析（任意點(diǎn)C(y,z)

的正應(yīng)力）C(y,z)mmyMyMZMyxzMZ

mmymmyMZMy與My相應(yīng)的正應(yīng)力為與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為mmyC(y,z)MZ

MyC(y,z)C(y,z)xzxzxzC點(diǎn)處的正應(yīng)力為mmyC(y,z)MZ

MymmyC(y,z)MZMyxzxz三、橫截面上中性軸的位置

該點(diǎn)的正應(yīng)力等于零假設(shè)點(diǎn)e(z0,y0)為中性軸上任意一點(diǎn)mmye(z0,y0)xz三、橫截面上中性軸的位置

中性軸方程為中性軸是一條通過(guò)橫截面形心的直線。mmye(z0,y0)中性軸xz中性軸的位置由它與y

軸的夾角

確定。mmy中性軸Z0y0xze

mmy中性軸Z0y0xze

MyMZ

角度

是橫截面上合成彎矩矢量M與y

軸的夾角。

Mmmy中性軸xz

MyMZ

M橫截面上合成彎矩M

為y中性軸xz

MyMZ

M合成彎矩平面（1）一般情況下，截面的

IzIy,故合成彎矩M所在平面與中性軸不垂直，此為斜彎曲的受力特征。討論：y中性軸xz

MyMZ

M因?yàn)榻孛娴膿隙却怪庇谥行暂S，所以撓曲線不在合成彎矩所在的平面內(nèi)。這種彎曲稱(chēng)為斜彎曲合成彎矩平面（2）對(duì)于圓形、正方形等截面Iy=Iz

，所以有

=。yz中性軸

Myz中性軸

M梁發(fā)生平面彎曲，正應(yīng)力可用合成彎矩M

按正應(yīng)力計(jì)算公式計(jì)算yz中性軸

M梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線，故梁的擾曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來(lái)計(jì)算，不能直接用合成彎矩進(jìn)行計(jì)算。zyo中性軸四、強(qiáng)度分析作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于

D1、D2兩點(diǎn)，D1

、D2

兩點(diǎn)分別為橫截面上最大拉應(yīng)力點(diǎn)和最大壓應(yīng)力點(diǎn)。zyozyo中性軸中性軸對(duì)于矩形、工字形等有兩個(gè)相互垂直的對(duì)稱(chēng)軸的截面梁橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處?？筛鶕?jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉，壓應(yīng)力點(diǎn)的位置，無(wú)需定出中性軸。五，強(qiáng)度條件斜彎曲的危險(xiǎn)點(diǎn)處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，所以強(qiáng)度條件為

xABCzyP2=2kNP1=1kN

0.5m0.5m

4080zyo

ad

bc例題

:

矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示。試確定危險(xiǎn)截面、危險(xiǎn)點(diǎn)所在位置，計(jì)算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值。P1=1kNP2=2kNABCzy

0.5m0.5m

x

解:(1)外力分析在P2

力作用下將在XOZ

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（y為中性軸）故此梁的變形為兩個(gè)相互垂直平面彎曲的組合----斜彎曲梁在P1力作用下將在XOY平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（z為中性軸）ABCP1=1KNzy

0.5m0.5m

x(2)繪制彎矩圖繪出MZ(x)圖繪出MY(x)圖，

A

截面為梁的危險(xiǎn)截面。其值為MZ=1kN.mMY=1kN.mP2=2kN

M(z)

圖1kN.m

M(y)圖1kN.mzyxMz

使

A截面上部受拉，下部受壓。My使

A截面前部受拉，后部受壓。ABCP1=1kNzy

0.5m0.5m

xP2=2kN

M(z)

圖1kN.m

M(y)圖1kN.mzyx（3）應(yīng)力分析zyxzyxD1是最大拉應(yīng)力點(diǎn)D2

是最大壓應(yīng)力點(diǎn)兩點(diǎn)正應(yīng)力的絕對(duì)值相等拉壓拉壓zyxzyx8040zyzyxMZ=1kN.mMY=1kN.m8040zyMZoz

d

xa

bcy（4）中性軸的位置oz

d

xa

bcyoz

d

xa

bcyMZMYMYMYoMZz

d

xa

bcy8040zy中性軸

（5）繪制總應(yīng)力分布圖8040zy中性軸

D1D2+-

D1=70.2

D2=-70.2拉壓例題：20a號(hào)工字鋼懸臂梁受集度為q的均布荷載和集中力P=qa/2作用。已知鋼的許用應(yīng)力[]=160MPa，a=1m。試求此梁的許可荷載集度[q]。400PqaaACByz400PqaaACByz解：將力P向y軸和z

軸分解PyPzPy=Pcos400=0.383qaPz=Psin400=0.321qa400PqaaACByzPyPzPy與均布荷載q

在

xy平面產(chǎn)生平面彎曲（z為中性軸）。Pz

在

xz平面產(chǎn)生平面彎曲（y為中性軸）。x400PqaaACByzPyPzx(1)畫(huà)彎矩圖qPyACBxy面PzACBxz面qPyACBxy面PzACBxz面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖A，D

兩截面可能是危險(xiǎn)截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面：D截面：MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面：D截面：（2）計(jì)算應(yīng)力查工字鋼表20a

號(hào)A截面：D截面：梁的危險(xiǎn)點(diǎn)在A截面棱角處例題：分布荷載q=1.2KN/m，采用矩形截面h:b=3:2，跨距l(xiāng)=3.6m。容許應(yīng)力[]=10MPa。試設(shè)計(jì)截面尺寸。bhZyq300qbhZyq300qqyqz解：q將向軸x，y分解qybhZyq300qyqzqz該梁為斜彎曲qyqzbhZyq300qyqz梁中間截面有最大彎矩最大正應(yīng)力發(fā)生在角點(diǎn)上qyqzbhZyq300qyqzqyqzb=87.6mmh=131mm矩形截面梁斜彎曲圓形截面梁斜彎曲§8-3拉伸（壓縮）與彎曲

桿件將發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形。作用在桿件上的外力既有軸向拉

(

壓

)力，還有橫向力。一、橫向力與軸向力共同作用PSSP產(chǎn)生彎曲變形S產(chǎn)生拉伸變形P

PyPxPy

產(chǎn)生彎曲變形Px

產(chǎn)生拉伸變形1.拉(壓)與彎曲內(nèi)力分析xzy0MZFNMy桿件橫截面上內(nèi)力彎曲

拉(壓)：軸力FN彎矩MZ或

My(或二者皆有)剪力因?yàn)橐鸬募魬?yīng)力較小，故一般不考慮。橫截面上任意一點(diǎn)(z,y)處的正應(yīng)力計(jì)算公式為2.應(yīng)力分析xzy0MZFNMy(z,y)拉伸正應(yīng)力

N彎曲正應(yīng)力

Mz，

My軸力跨中截面是桿的危險(xiǎn)截面PSS與軸力對(duì)應(yīng)的拉伸正應(yīng)力與彎矩對(duì)應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力

PSS

-桿危險(xiǎn)截面下邊緣各點(diǎn)處的上的拉應(yīng)力為

當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時(shí)，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、壓強(qiáng)度條件。3.強(qiáng)度條件由于危險(xiǎn)點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故其為例題:一折桿由兩根無(wú)縫鋼管焊接

而成,已知兩根鋼管的外徑都

是140mm,壁厚都是10mm。試求折桿危險(xiǎn)截面上的最大

拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。1.6m1.2m1.6mAB10kNCA1.6m1.2m1.6mAB10kNCAHAFAFB解：（1）首先求支反力。

由靜力平衡方程可求得FA=FB=5kNHA=01.6m1.2m1.6mAB10kNCAHAFAFB由于折桿本身和它所受的力都是左右對(duì)稱(chēng)的，故只需分析它的一半即AC桿任一橫截面x

上的內(nèi)力。（2）用截面法分析內(nèi)力

由圖示尺寸可求得10kNCABFA將RA沿AC的軸線和垂直AC軸線的方向分解為xA產(chǎn)生軸向壓縮yA產(chǎn)生平面彎曲任一橫截面

x

上的內(nèi)力軸力FN=–xA彎矩M(x)=yA?x剪力Fs=yA（略）10kNCABFAx

軸力FN=–XA

彎矩M(x)=YA?x危險(xiǎn)截面為1—1截面軸力FN=–xA=–3

kN彎矩M=yA

2=8kN.m其內(nèi)力為10kNCABFAx1110kNCABFAx11(3)AC

桿危險(xiǎn)截面上的

最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力f

點(diǎn)為最大拉應(yīng)力點(diǎn)。gfg點(diǎn)為最大壓應(yīng)力點(diǎn)，例題：懸臂吊車(chē)如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應(yīng)力為[]=12.5MPa。校核橫梁AB的強(qiáng)度。ABCD1.2m1.2m300F解：分析AB的受力DABFRSFNBC300ABCD1.2m1.2m300FABDFNABRS300FN,BC=FRA=0.5FHA=0.866FRAHAAB為平面彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險(xiǎn)截面。最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的

上邊緣

。ABCD1.2m1.2m300F壓縮正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力ABDFNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m300F安全二、偏心拉（壓）截面核心定義：當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時(shí)，將引起軸向拉伸（壓縮）和彎曲的兩種基本變形。1.偏心拉（壓）

（1）單向偏心拉（壓）外力F的作用點(diǎn)位于截面的一個(gè)形心主軸(對(duì)稱(chēng)軸)上。單層工業(yè)廠房中的牛腿柱偏心壓縮的工程實(shí)例zFey將力向截面形心簡(jiǎn)化得Fzy軸向力F力矩Me=PeMe（1）力系等效?單向偏心拉（壓）的應(yīng)力與強(qiáng)度zFeyFzyMeF

使桿件發(fā)生軸向拉伸Me

使桿件發(fā)生平面彎曲單向偏心拉（壓）為軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲的組合變形zFeyFzyMe橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力拉伸正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力拉彎組合變形的正應(yīng)力：？FzyMe

拉,max拉彎組合變形的正應(yīng)力：得：強(qiáng)度條件：yzFezeyx（2）雙向偏心拉（壓）外力F

的作用點(diǎn)不在截面的任何一個(gè)形心主軸,而是位于到z,y

軸的距離分別為ey

和ez

某點(diǎn)處.yzFezeyxyzFx解:將力向形心簡(jiǎn)化得軸向力F(軸向拉伸)力矩

Mz

=Fey

(xy

面內(nèi)彎曲,z為中性軸)MzMy力矩My

=Fez

(xz

面內(nèi)彎曲,y為中性軸)yzFx軸向力F(軸向拉伸)力矩

Mz=Fey

(xy

面內(nèi)彎曲)MzMy力矩

My=Fez

(xz

面內(nèi)彎曲)＊雙向偏心拉（壓）為軸向拉伸和兩個(gè)平面內(nèi)彎曲的組合變形軸向拉伸截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力yzyzFxMzMyMz=Fey

引起同一點(diǎn)的正應(yīng)力My=Fez引起同一點(diǎn)的正應(yīng)力該點(diǎn)的正應(yīng)力yzyzFxMzMyMz=FeyMy=Fez對(duì)于具有棱角的截面,危險(xiǎn)點(diǎn)一定在截面的棱角處,按最大正應(yīng)力作強(qiáng)度計(jì)算。yzyzFxMzMy

邊緣光滑的無(wú)棱角截面如何計(jì)算最大正應(yīng)力？yzo1F以橫截面具有兩對(duì)稱(chēng)軸的等直桿承受偏心拉力F

為例yzo1FxyzFeF（1）將外力向截面形心簡(jiǎn)化，使每個(gè)力(或力偶)只產(chǎn)生一種基本變形形式。

軸向拉力：F力偶矩:m=Feyzo1FxyzFeF

yzo1FxyzFeF

將m分解為兩力偶my、

mzmymzyz軸向拉力：

FxyzFmymzxFF

使桿發(fā)生拉伸變形My

使桿發(fā)生xz平面內(nèi)的平面彎曲變形（y為中性軸）Mz

使桿發(fā)生xy

平面內(nèi)的平面彎曲變形（z為中性軸）yzxFyzFnnMyMz軸力FN=F,彎矩My=my=FZp,Mz=mz=Fyp（2）任意橫截面n-n

上的內(nèi)力分析FNyzFnn（3）任意橫截面n-n

上C

點(diǎn)的應(yīng)力分析y,zMyMzFN彎矩：My=my=FZF,Mz=mz=FyF由

FN

產(chǎn)生的正應(yīng)力yzMyMzy,zFN由My

產(chǎn)生的正應(yīng)力由Mz

產(chǎn)生的正應(yīng)力軸力

FN=F由疊加原理，即得C點(diǎn)處的正應(yīng)力為式中：A

為橫截面面積；Iy,Iz

分別為橫截面對(duì)y

軸和z軸的慣性矩；（ZF，yF）分別為外力F

作用點(diǎn)的坐標(biāo)；（Z，y

）分別為所求應(yīng)力點(diǎn)的坐標(biāo)。上式是一個(gè)平面方程。表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線

=0）就是中性軸。2.中性軸的確定令y0,z0

代表中性軸上任一點(diǎn)的坐標(biāo)，即得中性軸方程y0z中性軸討論:（1）在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過(guò)截面形心的直線。yz中性軸o（2）用ay和az記中性軸在y,z兩軸上的截距，則有yF,zF討論:y0z中性軸外力作用點(diǎn)（3）中性軸與外力作用點(diǎn)分別處于截面形心的相對(duì)兩側(cè)。討論:y0z中性軸外力作用點(diǎn)yz中性軸（4）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉應(yīng)力區(qū)域和壓應(yīng)力區(qū)域。橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1,D2兩切點(diǎn)。(a)(b)(c)yzD1D2yyzz（5）對(duì)于周邊具有棱角的截面，其危險(xiǎn)點(diǎn)必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來(lái)確定。yzD1D2中性軸最大拉應(yīng)力

tmax

和最大壓應(yīng)力

cmin分別在截面的棱角D1

、D2

處.無(wú)需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險(xiǎn)點(diǎn)的位置即可。yzD1D2中性軸3.強(qiáng)度條件由于危險(xiǎn)點(diǎn)處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，因此，求得最大正應(yīng)力后，建立的強(qiáng)度條件為例題：小型壓力機(jī)的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

C]=160MPa。試按立柱的強(qiáng)度確定壓力機(jī)的最大許可壓力P。5050150150350PPz5050150150350PPyzz0z1解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy=5310cm4計(jì)算截面對(duì)中性軸y

的慣性矩350PPPnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力5050150150yzz0z1nn立柱受力為偏心拉伸在n—n面上有軸力FN及彎矩My。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nnFN=PMy=(35+7.5)

10-2P=（42.5

10-2）PkN.mFN

產(chǎn)生軸向拉伸。My產(chǎn)生平面彎曲。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為拉壓350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉壓（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[P]45.1kN350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉壓在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[P]171.3kN[P]45.1kN所以取zyPABCDCD線上各點(diǎn)處為最大壓應(yīng)力AB線上各點(diǎn)處為最大拉應(yīng)力例題：指出圖示拉桿上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力點(diǎn)的位置。FmZmy例題：矩形截面柱如圖所示。P1的作用線與桿軸線重合，P2作用在y軸上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求P2的偏心距e。yzebhP1P2mm解：（1）將力P2

向截面形心簡(jiǎn)化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhP1mmP2mzP2(2)mm

橫截面上的內(nèi)力有軸力FN=P彎矩Mz=P2e軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力yzebhP1mmP2mzP2(3)橫截面上不產(chǎn)生拉應(yīng)力的條件為解得：e=10cmyzebhP1mmP2mzP2例題：正方形截面立柱的中間處開(kāi)一個(gè)槽，使截面面積為原來(lái)截面面積的一半。求：開(kāi)槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來(lái)不開(kāi)槽的幾倍。aaFFaa未開(kāi)槽前立柱為軸向壓縮解：aaFFaa開(kāi)槽后1—1是危險(xiǎn)截面11FFa/2aaF11危險(xiǎn)截面為偏心壓縮將力P向1—1形心簡(jiǎn)化未開(kāi)槽前立柱的最大壓應(yīng)力開(kāi)槽后立柱的最大壓應(yīng)力aaFFaaFFyz二、截面核心中性軸（yF，zF）為外力作用點(diǎn)的坐標(biāo)（ay，az）為中性軸的截距yz中性軸yz中性軸中性軸yzyz中性軸中性軸當(dāng)中性軸與圖形相切或遠(yuǎn)離圖形時(shí)，整個(gè)圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力。yz截面核心1.定義：當(dāng)外力作用點(diǎn)位于包括截面形心的一個(gè)區(qū)域內(nèi)時(shí)，就可以保證中性軸不穿過(guò)橫截面（整個(gè)截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力），這個(gè)區(qū)域就稱(chēng)為截面核心yz截面核心中性軸外力作用點(diǎn)當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時(shí)，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。2.截面核心的繪制yz截面核心1122334455作切線

為中性軸,在兩個(gè)形心主慣性軸上的截距分別為（1）圓形截面的截面核心確定yz0d1（1）圓形截面的截面核心確定yz0d1圓截面的慣性半徑為1yz0d11由于圓截面對(duì)于圓心o是對(duì)稱(chēng)的，因而截面核心的邊界對(duì)于圓心也應(yīng)是極對(duì)稱(chēng)的。從而可知，截面核心邊界是一個(gè)以o

為圓心、以d/8

為半徑的圓。hbABCDyz0(2)矩形截面的截面核心確定

作切線為中性軸，得兩截距分別為1hbABCDyz0

1

矩形截面的hbABCDyz0

1

234

同理,分別作切線、、，可求得對(duì)應(yīng)的核心邊界上點(diǎn)的坐標(biāo)依次為2hbABCDyz0

1

234直線

繞頂點(diǎn)B

旋轉(zhuǎn)到直線

時(shí)，將得到一系列通過(guò)B點(diǎn)但斜率不同的中性軸，而B(niǎo)點(diǎn)坐標(biāo)yB

,zB

是這一系列中性軸上所共有的。

矩形截面核心形狀分析3hbABCDyz0

2341

這些中性軸方程為hbABCDyz0

2341上式可以看作是表示外力作用點(diǎn)坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程。故外力作用點(diǎn)移動(dòng)的軌跡是直線。常見(jiàn)圖形的截面核心（1）對(duì)于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心。（2）對(duì)于周邊有凹進(jìn)部分的截面（如T字形截面），不能取與凹進(jìn)部分的周邊相切的直線作為中性軸，因?yàn)檫@種直線穿過(guò)橫截面。4.討論：矩形截面梁偏心拉伸§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲研究對(duì)象：圓截面桿受力特點(diǎn)：桿件同時(shí)承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用。變形特點(diǎn)：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。ABLaP設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B

端具有與AB

成直角的剛臂。研究AB

桿的內(nèi)力。ABLaPB橫向力：P（引起平面彎曲）力偶矩：m=Pa（引起扭轉(zhuǎn)）將力P

向

AB

桿右端截面的形心B

簡(jiǎn)化得AB桿為彎扭組合變形APmx一、內(nèi)力分析畫(huà)內(nèi)力圖確定危險(xiǎn)截面固定端為危險(xiǎn)截面AAPmPlm危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力有：彎矩：M=Pl扭矩：T=mA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、應(yīng)力分析危險(xiǎn)點(diǎn)為C1

和C2

最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

發(fā)生在截面周邊上的各點(diǎn)處。

C2C1危險(xiǎn)截面上的最大彎曲正應(yīng)力

發(fā)生在C1

、C2

處C1C2C3C4TMA截面

C3C4

C2C1C1C2C3C4T對(duì)于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿這兩點(diǎn)的危險(xiǎn)程度是相同的。可取任一點(diǎn)C1

來(lái)研究。C1點(diǎn)處于平面應(yīng)力狀態(tài)C1

三、強(qiáng)度分析1.主應(yīng)力計(jì)算C1

第三強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)力2.相當(dāng)應(yīng)力計(jì)算

第四強(qiáng)度理論,計(jì)算相當(dāng)應(yīng)力3.強(qiáng)度計(jì)算

C1

1該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。

是危險(xiǎn)點(diǎn)的正應(yīng)力，

是危險(xiǎn)點(diǎn)的剪應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面。C1

討論

可以是彎扭組合變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力；

是由扭轉(zhuǎn)變形引起的切應(yīng)力。C1

還可以是彎曲，拉（壓）與扭轉(zhuǎn)組合變形中由彎曲與拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力。

也可以是拉（壓）與扭轉(zhuǎn)組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；C1

該公式適用于彎，扭

組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)

的組合變形；以及拉（壓），扭轉(zhuǎn)與彎曲

的組合變形。彎、扭組合變形時(shí)，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達(dá)式可改寫(xiě)為對(duì)于圓形截面桿有2上兩式只適用于

彎，扭組合變形下的圓截面桿。式中W為桿的抗彎截面系數(shù)。M，T分別為危險(xiǎn)截面的彎矩和扭矩。例題1

：圖示一鋼制實(shí)心圓軸，軸上的齒輪C上作用有鉛垂切向力5kN,徑向力1.82kN;齒輪D上作用有水平切向力10kN,徑向力3.64kN

。齒輪C的節(jié)圓直徑dc=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力

=100MPa

,試按第四強(qiáng)度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：1.外力的簡(jiǎn)化xyzACBD5kN1kN.m1.82kN3.64kN10kN1kN.m將每個(gè)齒輪上的外力向該軸的截面形心簡(jiǎn)化，BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN1kN.m

使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)5kN

，3.64kN

使軸在

xz

縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

1.82kN

，10kN使軸在

xy

縱對(duì)稱(chēng)面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

2.軸的變形分析xyzACBD5kN3.64kN1.82kN10kN1kN.m1kN.mxyzACBD5kN3.64kN3.繪制軸的內(nèi)力圖MyC=0.57kN.mMyB=0.36kN.m0.57kN.m0.36kN.mCBMy圖xyzACBD1.82kN10kN0.2271CBMz圖MZC=0.227kN.mMZB=1kN.m(kN.m)xyzACBDT=1kN.m1kN.m1kN.m1kN.mCT圖-圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)軸在xz和xy兩平面

內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲。xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖通過(guò)圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ(chēng)平面，可用總彎矩來(lái)計(jì)算該截面正應(yīng)力。(kN.m)B截面是危險(xiǎn)截面MyC=0.57kN.mMZC=0.227kN.mMyB=0.36kN.mMZB=1kN.m4.危險(xiǎn)截面上的內(nèi)力計(jì)算xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)xzyyzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)B

截面的總彎矩為yzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)B截面的扭矩值為xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖

1CT圖(kN.m)5.由強(qiáng)度條件求軸的直徑軸需要的直徑為例題：傳動(dòng)軸如圖所示。在A處作用一個(gè)外力偶矩m=1KN.m，皮帶輪直徑D=300mm，皮帶輪緊邊拉力為N1，松邊拉力為N2。且N1=2N2，L=200mm，軸的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論設(shè)計(jì)軸的直徑ZN1N2dxyABcL/2L/2mm解：將力向軸的形心簡(jiǎn)化mP=3N2軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)的平面彎曲ZN1N2dxyABcL/2L/2m畫(huà)內(nèi)力圖+T=1kN.m+1kN.m中間截面為危險(xiǎn)截面T=1kN.mMmax=1kN.mZN1N2dxyABcL/2L/2m例題：空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu)。受力如圖。AB桿的外徑D=140mm，內(nèi)，外徑之比d/D=0.8，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強(qiáng)度理論校核AB桿的強(qiáng)度。ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABPm解：將力向B截面形心簡(jiǎn)化得P=25kNAB為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形。ABPmP=25kN+15kN.m-20kN.m畫(huà)扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險(xiǎn)截面T=15kN.m例題：P1=0.5kN，P2=1kN，[]=160MPa。（1）用第三強(qiáng)度理論計(jì)算AB的直徑（2）若AB桿的直徑d=40mm，并在B端加一水平力

P3=20kN，校核的強(qiáng)度。P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m將P2向C

簡(jiǎn)化得AB為彎扭組合變形P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m固定端截面是危險(xiǎn)截面P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400mP3AB為彎、扭與拉伸組合變形固定端截面是危險(xiǎn)截面P1P2ABCD400400400(2)在B端加拉力P3P3P1P2ABC400400mP3P1P2ABCD400400400P3固定端截面最大的正應(yīng)力為最大的切應(yīng)力為滿(mǎn)足強(qiáng)度要求例題6：直徑d=40mm的實(shí)心鋼圓軸，在某一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=100kN，Mx=0.5kN.m，My=0.3kN.m。已知此軸的許用應(yīng)力[]=150MPa。試按第四強(qiáng)度理論校核軸的強(qiáng)度。xzyFNMyMxxzyFNMxFN

產(chǎn)生軸向拉伸My產(chǎn)生xz

平面彎曲Mx產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)由FN

引起拉伸正應(yīng)力為由My引起最大彎曲正應(yīng)力為MyAA

點(diǎn)為危險(xiǎn)點(diǎn)由Mx

引起最大切應(yīng)力為xzyFNMx由FN

引起拉伸正應(yīng)力為由My

引起最大彎曲正應(yīng)力為MyA最大正應(yīng)力為xzyFNMxMyA由第四強(qiáng)度條件

彎扭拉組合變形§8-5連接件的實(shí)用計(jì)算工程實(shí)例：橋梁桁架結(jié)點(diǎn)的鉚釘（或高強(qiáng)度螺栓）在構(gòu)件連接處起連接作用的部分，如鉚釘，螺栓，鍵等，統(tǒng)稱(chēng)為連接件。一、概述南京機(jī)場(chǎng)Pmmnn鍵的受力如圖b所示。機(jī)械中的軸與齒輪間的鍵連接鍵鋼結(jié)構(gòu)中的焊縫連接1鉚釘在m—m和n—n截面被剪斷鉚釘和鋼板在接觸面上因擠壓使連接松動(dòng)2鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處被拉斷3PmmnndabcFF受力特征：受一對(duì)大小相等，指向相反，作用線相距佷近的橫向外力的作用。abFcdFmm剪切面二、剪切的近似計(jì)算變形特征：橫截面沿外力作用方向發(fā)生錯(cuò)動(dòng)。剪力Fs=P假設(shè)受剪面上各點(diǎn)的切應(yīng)力相等，則受剪面上的名義為切應(yīng)力為PPmmmmP剪切面FsPPmmPPmmmmP剪切面Fs式中，F(xiàn)s

為受剪面上的剪力AS

為受剪面的面積。剪切的強(qiáng)度條件為[]

為材料的許用切應(yīng)力。且極限切應(yīng)力安全因數(shù)PPmmmmP剪切面Fs

鉚釘剪切

鉚釘雙剪切例題：圖示的銷(xiāo)釘連接中,構(gòu)件A

通過(guò)安全銷(xiāo)C

將力偶矩傳遞到構(gòu)件B,已知荷載P=2kN,加力臂長(zhǎng)l=1.2m,構(gòu)件B的直徑D=65mm,銷(xiāo)釘?shù)臉O限切應(yīng)力

u=200MPa。求安全銷(xiāo)所需的直徑d。PPCBADdDoFsFsPPCBADd解:取構(gòu)件B

和安全銷(xiāo)為研究對(duì)象DoFsFsPPCBADd剪斷條件為DoFsFsPPCBADd螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上，發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象，稱(chēng)為擠壓。三、擠壓的實(shí)用計(jì)算PPPP擠壓面受剪面PPPP擠壓面受剪面在接觸面上的壓力，稱(chēng)為擠壓力，并記為

Fbs

。（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓皺擠壓破壞的兩種形式在擠壓近似計(jì)算中，假設(shè)名義擠壓應(yīng)力的計(jì)算式為AbS為計(jì)算擠壓面的面積FbS為接觸面上的擠壓力dh擠壓現(xiàn)象的實(shí)際受力如圖所示。擠壓面積AbS為實(shí)際接觸面在直徑平面上的投影面積實(shí)際接觸面直徑投影面1.擠壓面為半圓柱面2.當(dāng)擠壓面為平面時(shí),AbS為實(shí)際接觸面面積。擠壓的強(qiáng)度條件為[bS]為許用擠壓應(yīng)力。

鉚釘擠壓應(yīng)力PPABt例題：一銷(xiāo)釘連接如圖所示,已知外力P=18kN,被連接的構(gòu)件A和B的厚度分別為

t=8mm

和t1=5mm,銷(xiāo)釘直徑d=15mm,銷(xiāo)釘材料的許用切應(yīng)力為[]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[bS]=200MPa,試校核銷(xiāo)釘?shù)膹?qiáng)度。dP(b)d解:銷(xiāo)釘受力如圖所示剪切面擠壓面PPABtd(b)PPFsFsFsFs（1）剪切強(qiáng)度校核受剪面為m—m和n—n面由截面法得兩個(gè)面上的剪力受剪面的面積為受剪面上的名義切應(yīng)力為mmnn（2）校核擠壓強(qiáng)度

這兩部分的擠壓力相等，故應(yīng)取長(zhǎng)度為t的中間段進(jìn)行擠壓強(qiáng)度校核.P擠壓面PPABtd故銷(xiāo)釘是安全的。tdP擠壓面

沖壓剪切

螺栓與套筒

聯(lián)軸結(jié)安全銷(xiāo)剪切PPPP§8-6鉚釘連接的計(jì)算鉚釘連接的主要方式搭接一個(gè)受剪面單蓋板對(duì)接雙蓋板對(duì)接一、鉚釘組承受橫向荷載

在鉚釘組連接中,為了簡(jiǎn)化計(jì)算,設(shè):每個(gè)鉚釘受力為不論鉚接的方式如何,均不考慮彎曲的影響。若外力的作用線通過(guò)鉚釘組橫截面的形心,且同一組內(nèi)各鉚釘?shù)闹睆较嗤?則每個(gè)鉚釘?shù)氖芰σ蚕嗟?。例題：一鉚釘接頭用四個(gè)鉚釘連接兩快鋼板。鋼板與鉚釘材料相同。鉚釘直徑d=16mm，鋼板的尺寸為b=100mm，

t=10mm，P=90kN，鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力是[]=120MPa，

[bS]=120MPa，鋼板的許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鉚釘接頭的強(qiáng)度。PPttPPttPPb(1)鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度受剪面每個(gè)鉚釘受力為P/4每個(gè)鉚釘受剪面上的剪力為PPb(2)鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度每個(gè)鉚釘受擠壓力為受剪面擠壓面面積為