材料力學(xué)：組合變形及連接部分的計算

組合變形及連接部分的計算兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲拉伸（壓縮）與彎曲扭轉(zhuǎn)與彎曲概述連接件的實用計算鉚釘連接的計算

一、組合變形概念:構(gòu)件在荷載作用下發(fā)生兩種或兩種

以上的基本變形,則構(gòu)件的變形稱為組合變形。二、解決組合變形問題的基本方法:疊加法§8-1概述疊加原理的成立要求：內(nèi)力，應(yīng)力，應(yīng)變，變形等與外力之間成線性關(guān)系。疊加法--------處理組合變形的基本方法一、將組合變形分解為基本變形——將外力簡化或分解，使之每個力(或力偶)對應(yīng)一種基本變形；

三、利用疊加原理將基本變形下的應(yīng)力和變形疊加。二、分別計算在每一種基本變形下構(gòu)件的的應(yīng)力和變形；四、疊加原理應(yīng)用舉例l/2Fl/2右端支座截面的轉(zhuǎn)角為例如：簡支梁的跨中點作用集中力F轉(zhuǎn)角θ與荷載F

的關(guān)系就是線性的.是一個系數(shù)，只要明確F垂直于軸線,且作用于跨中點,則這一系數(shù)與F的大小無關(guān).疊加原理的成立，要求位移，應(yīng)力，應(yīng)變和內(nèi)力等與外力成線性關(guān)系。當(dāng)不能保證上述線性關(guān)系時，疊加原理不能使用。三、工程實例:

三、工程實例:

煙

囪

雨篷

=++=+兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲也稱斜彎曲。雙對稱截面梁在水平和垂直兩縱向?qū)ΨQ面內(nèi)同時受橫向外力作用，分別在水平縱向?qū)ΨQ面和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)發(fā)生對稱彎曲。§8-2兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲梁在垂直縱對稱面xy

面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。Z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對稱軸垂直縱向?qū)ΨQ面xyz

梁的軸線對稱軸水平縱向?qū)ΨQ面梁在水平縱向?qū)ΨQ面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線yzxP1P2a

一、梁任意橫截面上的內(nèi)力分析P1使梁在

XZ

平面內(nèi)彎曲（y

軸為中性軸）P2使梁在XY

平面內(nèi)彎曲（z

軸為中性軸）mmyxzyzxmmxP1P2aMyMy=P1x（使梁在XZ

平面內(nèi)彎曲，y

為中性軸）P1在m—m面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為mmyxzyzxmmxP1P2aMyMZ=P2(x-a)（使梁在XY平面內(nèi)彎曲，z為中性軸）MZP2在m—m面內(nèi)產(chǎn)生的彎矩為mmyxz

二、梁橫截面上的應(yīng)力分析（任意點C(y,z)

的正應(yīng)力）C(y,z)mmyMyMZMyxzMZ

mmymmyMZMy與My相應(yīng)的正應(yīng)力為與Mz

相應(yīng)的正應(yīng)力為mmyC(y,z)MZ

MyC(y,z)C(y,z)xzxzxzC點處的正應(yīng)力為mmyC(y,z)MZ

MymmyC(y,z)MZMyxzxz三、橫截面上中性軸的位置

該點的正應(yīng)力等于零假設(shè)點e(z0,y0)為中性軸上任意一點mmye(z0,y0)xz三、橫截面上中性軸的位置

中性軸方程為中性軸是一條通過橫截面形心的直線。mmye(z0,y0)中性軸xz中性軸的位置由它與y

軸的夾角

確定。mmy中性軸Z0y0xze

mmy中性軸Z0y0xze

MyMZ

角度

是橫截面上合成彎矩矢量M與y

軸的夾角。

Mmmy中性軸xz

MyMZ

M橫截面上合成彎矩M

為y中性軸xz

MyMZ

M合成彎矩平面（1）一般情況下，截面的

IzIy,故合成彎矩M所在平面與中性軸不垂直，此為斜彎曲的受力特征。討論：y中性軸xz

MyMZ

M因為截面的撓度垂直于中性軸，所以撓曲線不在合成彎矩所在的平面內(nèi)。這種彎曲稱為斜彎曲合成彎矩平面（2）對于圓形、正方形等截面Iy=Iz

，所以有

=。yz中性軸

Myz中性軸

M梁發(fā)生平面彎曲，正應(yīng)力可用合成彎矩M

按正應(yīng)力計算公式計算yz中性軸

M梁的撓曲線一般仍是一條空間曲線，故梁的擾曲線方程仍應(yīng)分別按兩垂直面內(nèi)的彎曲來計算，不能直接用合成彎矩進行計算。zyo中性軸四、強度分析作平行于中性軸的兩直線分別與橫截面周邊相切于

D1、D2兩點，D1

、D2

兩點分別為橫截面上最大拉應(yīng)力點和最大壓應(yīng)力點。zyozyo中性軸中性軸對于矩形、工字形等有兩個相互垂直的對稱軸的截面梁橫截面的最大正應(yīng)力發(fā)生在截面的棱角處?？筛鶕?jù)梁的變形情況，直接確定截面上最大拉，壓應(yīng)力點的位置，無需定出中性軸。五，強度條件斜彎曲的危險點處于單軸應(yīng)力狀態(tài)，所以強度條件為

xABCzyP2=2kNP1=1kN

0.5m0.5m

4080zyo

ad

bc例題

:

矩形截面的懸臂梁承受荷載如圖所示。試確定危險截面、危險點所在位置，計算梁內(nèi)最大正應(yīng)力的值。P1=1kNP2=2kNABCzy

0.5m0.5m

x

解:(1)外力分析在P2

力作用下將在XOZ

平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（y為中性軸）故此梁的變形為兩個相互垂直平面彎曲的組合----斜彎曲梁在P1力作用下將在XOY平面內(nèi)發(fā)生平面彎曲（z為中性軸）ABCP1=1KNzy

0.5m0.5m

x(2)繪制彎矩圖繪出MZ(x)圖繪出MY(x)圖，

A

截面為梁的危險截面。其值為MZ=1kN.mMY=1kN.mP2=2kN

M(z)

圖1kN.m

M(y)圖1kN.mzyxMz

使

A截面上部受拉，下部受壓。My使

A截面前部受拉，后部受壓。ABCP1=1kNzy

0.5m0.5m

xP2=2kN

M(z)

圖1kN.m

M(y)圖1kN.mzyx（3）應(yīng)力分析zyxzyxD1是最大拉應(yīng)力點D2

是最大壓應(yīng)力點兩點正應(yīng)力的絕對值相等拉壓拉壓zyxzyx8040zyzyxMZ=1kN.mMY=1kN.m8040zyMZoz

d

xa

bcy（4）中性軸的位置oz

d

xa

bcyoz

d

xa

bcyMZMYMYMYoMZz

d

xa

bcy8040zy中性軸

（5）繪制總應(yīng)力分布圖8040zy中性軸

D1D2+-

D1=70.2

D2=-70.2拉壓例題：20a號工字鋼懸臂梁受集度為q的均布荷載和集中力P=qa/2作用。已知鋼的許用應(yīng)力[]=160MPa，a=1m。試求此梁的許可荷載集度[q]。400PqaaACByz400PqaaACByz解：將力P向y軸和z

軸分解PyPzPy=Pcos400=0.383qaPz=Psin400=0.321qa400PqaaACByzPyPzPy與均布荷載q

在

xy平面產(chǎn)生平面彎曲（z為中性軸）。Pz

在

xz平面產(chǎn)生平面彎曲（y為中性軸）。x400PqaaACByzPyPzx(1)畫彎矩圖qPyACBxy面PzACBxz面qPyACBxy面PzACBxz面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖A，D

兩截面可能是危險截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面：D截面：MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面：D截面：（2）計算應(yīng)力查工字鋼表20a

號A截面：D截面：梁的危險點在A截面棱角處例題：分布荷載q=1.2KN/m，采用矩形截面h:b=3:2，跨距l(xiāng)=3.6m。容許應(yīng)力[]=10MPa。試設(shè)計截面尺寸。bhZyq300qbhZyq300qqyqz解：q將向軸x，y分解qybhZyq300qyqzqz該梁為斜彎曲qyqzbhZyq300qyqz梁中間截面有最大彎矩最大正應(yīng)力發(fā)生在角點上qyqzbhZyq300qyqzqyqzb=87.6mmh=131mm矩形截面梁斜彎曲圓形截面梁斜彎曲§8-3拉伸（壓縮）與彎曲

桿件將發(fā)生拉伸(壓縮)與彎曲組合變形。作用在桿件上的外力既有軸向拉

(

壓

)力，還有橫向力。一、橫向力與軸向力共同作用PSSP產(chǎn)生彎曲變形S產(chǎn)生拉伸變形P

PyPxPy

產(chǎn)生彎曲變形Px

產(chǎn)生拉伸變形1.拉(壓)與彎曲內(nèi)力分析xzy0MZFNMy桿件橫截面上內(nèi)力彎曲

拉(壓)：軸力FN彎矩MZ或

My(或二者皆有)剪力因為引起的剪應(yīng)力較小，故一般不考慮。橫截面上任意一點(z,y)處的正應(yīng)力計算公式為2.應(yīng)力分析xzy0MZFNMy(z,y)拉伸正應(yīng)力

N彎曲正應(yīng)力

Mz，

My軸力跨中截面是桿的危險截面PSS與軸力對應(yīng)的拉伸正應(yīng)力與彎矩對應(yīng)的最大彎曲正應(yīng)力

PSS

-桿危險截面下邊緣各點處的上的拉應(yīng)力為

當(dāng)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力不相等時，應(yīng)分別建立桿件的抗拉、壓強度條件。3.強度條件由于危險點處的應(yīng)力狀態(tài)仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，故其為例題:一折桿由兩根無縫鋼管焊接

而成,已知兩根鋼管的外徑都

是140mm,壁厚都是10mm。試求折桿危險截面上的最大

拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。1.6m1.2m1.6mAB10kNCA1.6m1.2m1.6mAB10kNCAHAFAFB解：（1）首先求支反力。

由靜力平衡方程可求得FA=FB=5kNHA=01.6m1.2m1.6mAB10kNCAHAFAFB由于折桿本身和它所受的力都是左右對稱的，故只需分析它的一半即AC桿任一橫截面x

上的內(nèi)力。（2）用截面法分析內(nèi)力

由圖示尺寸可求得10kNCABFA將RA沿AC的軸線和垂直AC軸線的方向分解為xA產(chǎn)生軸向壓縮yA產(chǎn)生平面彎曲任一橫截面

x

上的內(nèi)力軸力FN=–xA彎矩M(x)=yA?x剪力Fs=yA（略）10kNCABFAx

軸力FN=–XA

彎矩M(x)=YA?x危險截面為1—1截面軸力FN=–xA=–3

kN彎矩M=yA

2=8kN.m其內(nèi)力為10kNCABFAx1110kNCABFAx11(3)AC

桿危險截面上的

最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力f

點為最大拉應(yīng)力點。gfg點為最大壓應(yīng)力點，例題：懸臂吊車如圖所示。橫梁用20a工字鋼制成。其抗彎剛度Wz=237cm3,橫截面面積A=35.5cm2，總荷載F=34kN，橫梁材料的許用應(yīng)力為[]=12.5MPa。校核橫梁AB的強度。ABCD1.2m1.2m300F解：分析AB的受力DABFRSFNBC300ABCD1.2m1.2m300FABDFNABRS300FN,BC=FRA=0.5FHA=0.866FRAHAAB為平面彎曲與壓縮組合變形。中間截面為危險截面。最大壓應(yīng)力發(fā)生在該截面的

上邊緣

。ABCD1.2m1.2m300F壓縮正應(yīng)力最大彎曲正應(yīng)力ABDFNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m300F安全二、偏心拉（壓）截面核心定義：當(dāng)外力作用線與桿的軸線平行但不重合時，將引起軸向拉伸（壓縮）和彎曲的兩種基本變形。1.偏心拉（壓）

（1）單向偏心拉（壓）外力F的作用點位于截面的一個形心主軸(對稱軸)上。單層工業(yè)廠房中的牛腿柱偏心壓縮的工程實例zFey將力向截面形心簡化得Fzy軸向力F力矩Me=PeMe（1）力系等效?單向偏心拉（壓）的應(yīng)力與強度zFeyFzyMeF

使桿件發(fā)生軸向拉伸Me

使桿件發(fā)生平面彎曲單向偏心拉（壓）為軸向拉伸（壓縮）和平面彎曲的組合變形zFeyFzyMe橫截面上任一點的正應(yīng)力拉伸正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力拉彎組合變形的正應(yīng)力：？FzyMe

拉,max拉彎組合變形的正應(yīng)力：得：強度條件：yzFezeyx（2）雙向偏心拉（壓）外力F

的作用點不在截面的任何一個形心主軸,而是位于到z,y

軸的距離分別為ey

和ez

某點處.yzFezeyxyzFx解:將力向形心簡化得軸向力F(軸向拉伸)力矩

Mz

=Fey

(xy

面內(nèi)彎曲,z為中性軸)MzMy力矩My

=Fez

(xz

面內(nèi)彎曲,y為中性軸)yzFx軸向力F(軸向拉伸)力矩

Mz=Fey

(xy

面內(nèi)彎曲)MzMy力矩

My=Fez

(xz

面內(nèi)彎曲)＊雙向偏心拉（壓）為軸向拉伸和兩個平面內(nèi)彎曲的組合變形軸向拉伸截面上任一點的正應(yīng)力yzyzFxMzMyMz=Fey

引起同一點的正應(yīng)力My=Fez引起同一點的正應(yīng)力該點的正應(yīng)力yzyzFxMzMyMz=FeyMy=Fez對于具有棱角的截面,危險點一定在截面的棱角處,按最大正應(yīng)力作強度計算。yzyzFxMzMy

邊緣光滑的無棱角截面如何計算最大正應(yīng)力？yzo1F以橫截面具有兩對稱軸的等直桿承受偏心拉力F

為例yzo1FxyzFeF（1）將外力向截面形心簡化，使每個力(或力偶)只產(chǎn)生一種基本變形形式。

軸向拉力：F力偶矩:m=Feyzo1FxyzFeF

yzo1FxyzFeF

將m分解為兩力偶my、

mzmymzyz軸向拉力：

FxyzFmymzxFF

使桿發(fā)生拉伸變形My

使桿發(fā)生xz平面內(nèi)的平面彎曲變形（y為中性軸）Mz

使桿發(fā)生xy

平面內(nèi)的平面彎曲變形（z為中性軸）yzxFyzFnnMyMz軸力FN=F,彎矩My=my=FZp,Mz=mz=Fyp（2）任意橫截面n-n

上的內(nèi)力分析FNyzFnn（3）任意橫截面n-n

上C

點的應(yīng)力分析y,zMyMzFN彎矩：My=my=FZF,Mz=mz=FyF由

FN

產(chǎn)生的正應(yīng)力yzMyMzy,zFN由My

產(chǎn)生的正應(yīng)力由Mz

產(chǎn)生的正應(yīng)力軸力

FN=F由疊加原理，即得C點處的正應(yīng)力為式中：A

為橫截面面積；Iy,Iz

分別為橫截面對y

軸和z軸的慣性矩；（ZF，yF）分別為外力F

作用點的坐標(biāo)；（Z，y

）分別為所求應(yīng)力點的坐標(biāo)。上式是一個平面方程。表明正應(yīng)力在橫截面上按線性規(guī)律變化。應(yīng)力平面與橫截面的交線（直線

=0）就是中性軸。2.中性軸的確定令y0,z0

代表中性軸上任一點的坐標(biāo)，即得中性軸方程y0z中性軸討論:（1）在偏心拉伸(壓縮)情況下，中性軸是一條不通過截面形心的直線。yz中性軸o（2）用ay和az記中性軸在y,z兩軸上的截距，則有yF,zF討論:y0z中性軸外力作用點（3）中性軸與外力作用點分別處于截面形心的相對兩側(cè)。討論:y0z中性軸外力作用點yz中性軸（4）中性軸將橫截面上的應(yīng)力區(qū)域分為拉應(yīng)力區(qū)域和壓應(yīng)力區(qū)域。橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力分別為D1,D2兩切點。(a)(b)(c)yzD1D2yyzz（5）對于周邊具有棱角的截面，其危險點必定在截面的棱角處，并可根據(jù)桿件的變形來確定。yzD1D2中性軸最大拉應(yīng)力

tmax

和最大壓應(yīng)力

cmin分別在截面的棱角D1

、D2

處.無需先確定中性軸的位置,直接觀察確定危險點的位置即可。yzD1D2中性軸3.強度條件由于危險點處仍為單軸應(yīng)力狀態(tài)，因此，求得最大正應(yīng)力后，建立的強度條件為例題：小型壓力機的鑄鐵框架如圖所示。已知材料的許用拉應(yīng)力[

t]=30MPa，許用壓應(yīng)力[

C]=160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的最大許可壓力P。5050150150350PPz5050150150350PPyzz0z1解：(1)確定形心位置A=1510-3m2Z0=7.5cmIy=5310cm4計算截面對中性軸y

的慣性矩350PPPnnFNMy(2)分析立柱橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力5050150150yzz0z1nn立柱受力為偏心拉伸在n—n面上有軸力FN及彎矩My。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nnFN=PMy=(35+7.5)

10-2P=（42.5

10-2）PkN.mFN

產(chǎn)生軸向拉伸。My產(chǎn)生平面彎曲。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由軸力FN產(chǎn)生的拉伸正應(yīng)力為350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由彎矩My產(chǎn)生的最大彎曲正應(yīng)力為拉壓350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉壓（3）疊加在截面內(nèi)側(cè)有最大拉應(yīng)力[P]45.1kN350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉壓在截面外側(cè)有最大壓應(yīng)力[P]171.3kN[P]45.1kN所以取zyPABCDCD線上各點處為最大壓應(yīng)力AB線上各點處為最大拉應(yīng)力例題：指出圖示拉桿上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力點的位置。FmZmy例題：矩形截面柱如圖所示。P1的作用線與桿軸線重合，P2作用在y軸上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如要使柱的m—m

截面只出現(xiàn)壓應(yīng)力，求P2的偏心距e。yzebhP1P2mm解：（1）將力P2

向截面形心簡化后，梁上的外力有軸向壓力力偶矩yzebhP1mmP2mzP2(2)mm

橫截面上的內(nèi)力有軸力FN=P彎矩Mz=P2e軸力產(chǎn)生壓應(yīng)力彎矩產(chǎn)生的最大正應(yīng)力yzebhP1mmP2mzP2(3)橫截面上不產(chǎn)生拉應(yīng)力的條件為解得：e=10cmyzebhP1mmP2mzP2例題：正方形截面立柱的中間處開一個槽，使截面面積為原來截面面積的一半。求：開槽后立柱的的最大壓應(yīng)力是原來不開槽的幾倍。aaFFaa未開槽前立柱為軸向壓縮解：aaFFaa開槽后1—1是危險截面11FFa/2aaF11危險截面為偏心壓縮將力P向1—1形心簡化未開槽前立柱的最大壓應(yīng)力開槽后立柱的最大壓應(yīng)力aaFFaaFFyz二、截面核心中性軸（yF，zF）為外力作用點的坐標(biāo)（ay，az）為中性軸的截距yz中性軸yz中性軸中性軸yzyz中性軸中性軸當(dāng)中性軸與圖形相切或遠離圖形時，整個圖形上將只有拉應(yīng)力或只有壓應(yīng)力。yz截面核心1.定義：當(dāng)外力作用點位于包括截面形心的一個區(qū)域內(nèi)時，就可以保證中性軸不穿過橫截面（整個截面上只有拉應(yīng)力或壓應(yīng)力），這個區(qū)域就稱為截面核心yz截面核心中性軸外力作用點當(dāng)外力作用在截面核心的邊界上時，與此相應(yīng)的中性軸正好與截面的周邊相切。截面核心的邊界就由此關(guān)系確定。2.截面核心的繪制yz截面核心1122334455作切線

為中性軸,在兩個形心主慣性軸上的截距分別為（1）圓形截面的截面核心確定yz0d1（1）圓形截面的截面核心確定yz0d1圓截面的慣性半徑為1yz0d11由于圓截面對于圓心o是對稱的，因而截面核心的邊界對于圓心也應(yīng)是極對稱的。從而可知，截面核心邊界是一個以o

為圓心、以d/8

為半徑的圓。hbABCDyz0(2)矩形截面的截面核心確定

作切線為中性軸，得兩截距分別為1hbABCDyz0

1

矩形截面的hbABCDyz0

1

234

同理,分別作切線、、，可求得對應(yīng)的核心邊界上點的坐標(biāo)依次為2hbABCDyz0

1

234直線

繞頂點B

旋轉(zhuǎn)到直線

時，將得到一系列通過B點但斜率不同的中性軸，而B點坐標(biāo)yB

,zB

是這一系列中性軸上所共有的。

矩形截面核心形狀分析3hbABCDyz0

2341

這些中性軸方程為hbABCDyz0

2341上式可以看作是表示外力作用點坐標(biāo)間關(guān)系的直線方程。故外力作用點移動的軌跡是直線。常見圖形的截面核心（1）對于具有棱角的截面，均可按上述方法確定截面核心。（2）對于周邊有凹進部分的截面（如T字形截面），不能取與凹進部分的周邊相切的直線作為中性軸，因為這種直線穿過橫截面。4.討論：矩形截面梁偏心拉伸§8-4扭轉(zhuǎn)與彎曲研究對象：圓截面桿受力特點：桿件同時承受轉(zhuǎn)矩和橫向力作用。變形特點：發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲兩種基本變形。ABLaP設(shè)一直徑為

d

的等直圓桿AB,B

端具有與AB

成直角的剛臂。研究AB

桿的內(nèi)力。ABLaPB橫向力：P（引起平面彎曲）力偶矩：m=Pa（引起扭轉(zhuǎn)）將力P

向

AB

桿右端截面的形心B

簡化得AB桿為彎扭組合變形APmx一、內(nèi)力分析畫內(nèi)力圖確定危險截面固定端為危險截面AAPmPlm危險截面上的內(nèi)力有：彎矩：M=Pl扭矩：T=mA截面

C3C4T

C3C4

C2C1二、應(yīng)力分析危險點為C1

和C2

最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力

發(fā)生在截面周邊上的各點處。

C2C1危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力

發(fā)生在C1

、C2

處C1C2C3C4TMA截面

C3C4

C2C1C1C2C3C4T對于許用拉、壓應(yīng)力相等的塑性材料制成的桿這兩點的危險程度是相同的。可取任一點C1

來研究。C1點處于平面應(yīng)力狀態(tài)C1

三、強度分析1.主應(yīng)力計算C1

第三強度理論,計算相當(dāng)力2.相當(dāng)應(yīng)力計算

第四強度理論,計算相當(dāng)應(yīng)力3.強度計算

C1

1該公式適用于圖示的平面應(yīng)力狀態(tài)。

是危險點的正應(yīng)力，

是危險點的剪應(yīng)力。且橫截面不限于圓形截面。C1

討論

可以是彎扭組合變形中由彎曲產(chǎn)生的正應(yīng)力；

是由扭轉(zhuǎn)變形引起的切應(yīng)力。C1

還可以是彎曲，拉（壓）與扭轉(zhuǎn)組合變形中由彎曲與拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力。

也可以是拉（壓）與扭轉(zhuǎn)組合變形中由拉（壓）產(chǎn)生的正應(yīng)力；C1

該公式適用于彎，扭

組合變形；拉（壓）與扭轉(zhuǎn)

的組合變形；以及拉（壓），扭轉(zhuǎn)與彎曲

的組合變形。彎、扭組合變形時，相應(yīng)的相當(dāng)應(yīng)力表達式可改寫為對于圓形截面桿有2上兩式只適用于

彎，扭組合變形下的圓截面桿。式中W為桿的抗彎截面系數(shù)。M，T分別為危險截面的彎矩和扭矩。例題1

：圖示一鋼制實心圓軸，軸上的齒輪C上作用有鉛垂切向力5kN,徑向力1.82kN;齒輪D上作用有水平切向力10kN,徑向力3.64kN

。齒輪C的節(jié)圓直徑dc=400mm,齒輪D的節(jié)圓直徑dD=200mm。設(shè)許用應(yīng)力

=100MPa

,試按第四強度理論求軸的直徑。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：1.外力的簡化xyzACBD5kN1kN.m1.82kN3.64kN10kN1kN.m將每個齒輪上的外力向該軸的截面形心簡化，BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN1kN.m

使軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)5kN

，3.64kN

使軸在

xz

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

1.82kN

，10kN使軸在

xy

縱對稱面內(nèi)產(chǎn)生彎曲。

2.軸的變形分析xyzACBD5kN3.64kN1.82kN10kN1kN.m1kN.mxyzACBD5kN3.64kN3.繪制軸的內(nèi)力圖MyC=0.57kN.mMyB=0.36kN.m0.57kN.m0.36kN.mCBMy圖xyzACBD1.82kN10kN0.2271CBMz圖MZC=0.227kN.mMZB=1kN.m(kN.m)xyzACBDT=1kN.m1kN.m1kN.m1kN.mCT圖-圓桿發(fā)生的是斜彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)軸在xz和xy兩平面

內(nèi)彎曲的合成結(jié)果仍為平面彎曲。xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖通過圓軸軸線的任一平面都是縱向?qū)ΨQ平面，可用總彎矩來計算該截面正應(yīng)力。(kN.m)B截面是危險截面MyC=0.57kN.mMZC=0.227kN.mMyB=0.36kN.mMZB=1kN.m4.危險截面上的內(nèi)力計算xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)xzyyzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)B

截面的總彎矩為yzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖(kN.m)B截面的扭矩值為xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy圖1.82kN10kN0.2271CBMz圖

1CT圖(kN.m)5.由強度條件求軸的直徑軸需要的直徑為例題：傳動軸如圖所示。在A處作用一個外力偶矩m=1KN.m，皮帶輪直徑D=300mm，皮帶輪緊邊拉力為N1，松邊拉力為N2。且N1=2N2，L=200mm，軸的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強度理論設(shè)計軸的直徑ZN1N2dxyABcL/2L/2mm解：將力向軸的形心簡化mP=3N2軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)和垂直縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面彎曲ZN1N2dxyABcL/2L/2m畫內(nèi)力圖+T=1kN.m+1kN.m中間截面為危險截面T=1kN.mMmax=1kN.mZN1N2dxyABcL/2L/2m例題：空心圓桿AB和CD桿焊接成整體結(jié)構(gòu)。受力如圖。AB桿的外徑D=140mm，內(nèi)，外徑之比d/D=0.8，材料的許用應(yīng)力[]=160MPa。試用第三強度理論校核AB桿的強度。ABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABCD1.4m0.6m15kN10kN0.8mABPm解：將力向B截面形心簡化得P=25kNAB為扭轉(zhuǎn)和平面彎曲的組合變形。ABPmP=25kN+15kN.m-20kN.m畫扭矩圖和彎矩圖固定端截面為危險截面T=15kN.m例題：P1=0.5kN，P2=1kN，[]=160MPa。（1）用第三強度理論計算AB的直徑（2）若AB桿的直徑d=40mm，并在B端加一水平力

P3=20kN，校核的強度。P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m將P2向C

簡化得AB為彎扭組合變形P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400m固定端截面是危險截面P1P2ABCD400400400P1P2ABC400400mP3AB為彎、扭與拉伸組合變形固定端截面是危險截面P1P2ABCD400400400(2)在B端加拉力P3P3P1P2ABC400400mP3P1P2ABCD400400400P3固定端截面最大的正應(yīng)力為最大的切應(yīng)力為滿足強度要求例題6：直徑d=40mm的實心鋼圓軸，在某一橫截面上的內(nèi)力分量為FN=100kN，Mx=0.5kN.m，My=0.3kN.m。已知此軸的許用應(yīng)力[]=150MPa。試按第四強度理論校核軸的強度。xzyFNMyMxxzyFNMxFN

產(chǎn)生軸向拉伸My產(chǎn)生xz

平面彎曲Mx產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)由FN

引起拉伸正應(yīng)力為由My引起最大彎曲正應(yīng)力為MyAA

點為危險點由Mx

引起最大切應(yīng)力為xzyFNMx由FN

引起拉伸正應(yīng)力為由My

引起最大彎曲正應(yīng)力為MyA最大正應(yīng)力為xzyFNMxMyA由第四強度條件

彎扭拉組合變形§8-5連接件的實用計算工程實例：橋梁桁架結(jié)點的鉚釘（或高強度螺栓）在構(gòu)件連接處起連接作用的部分，如鉚釘，螺栓，鍵等，統(tǒng)稱為連接件。一、概述南京機場Pmmnn鍵的受力如圖b所示。機械中的軸與齒輪間的鍵連接鍵鋼結(jié)構(gòu)中的焊縫連接1鉚釘在m—m和n—n截面被剪斷鉚釘和鋼板在接觸面上因擠壓使連接松動2鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處被拉斷3PmmnndabcFF受力特征：受一對大小相等，指向相反，作用線相距佷近的橫向外力的作用。abFcdFmm剪切面二、剪切的近似計算變形特征：橫截面沿外力作用方向發(fā)生錯動。剪力Fs=P假設(shè)受剪面上各點的切應(yīng)力相等，則受剪面上的名義為切應(yīng)力為PPmmmmP剪切面FsPPmmPPmmmmP剪切面Fs式中，F(xiàn)s

為受剪面上的剪力AS

為受剪面的面積。剪切的強度條件為[]

為材料的許用切應(yīng)力。且極限切應(yīng)力安全因數(shù)PPmmmmP剪切面Fs

鉚釘剪切

鉚釘雙剪切例題：圖示的銷釘連接中,構(gòu)件A

通過安全銷C

將力偶矩傳遞到構(gòu)件B,已知荷載P=2kN,加力臂長l=1.2m,構(gòu)件B的直徑D=65mm,銷釘?shù)臉O限切應(yīng)力

u=200MPa。求安全銷所需的直徑d。PPCBADdDoFsFsPPCBADd解:取構(gòu)件B

和安全銷為研究對象DoFsFsPPCBADd剪斷條件為DoFsFsPPCBADd螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上，發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象，稱為擠壓。三、擠壓的實用計算PPPP擠壓面受剪面PPPP擠壓面受剪面在接觸面上的壓力，稱為擠壓力，并記為

Fbs

。（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓皺擠壓破壞的兩種形式在擠壓近似計算中，假設(shè)名義擠壓應(yīng)力的計算式為AbS為計算擠壓面的面積FbS為接觸面上的擠壓力dh擠壓現(xiàn)象的實際受力如圖所示。擠壓面積AbS為實際接觸面在直徑平面上的投影面積實際接觸面直徑投影面1.擠壓面為半圓柱面2.當(dāng)擠壓面為平面時,AbS為實際接觸面面積。擠壓的強度條件為[bS]為許用擠壓應(yīng)力。

鉚釘擠壓應(yīng)力PPABt例題：一銷釘連接如圖所示,已知外力P=18kN,被連接的構(gòu)件A和B的厚度分別為

t=8mm

和t1=5mm,銷釘直徑d=15mm,銷釘材料的許用切應(yīng)力為[]=60MPa,許用擠壓應(yīng)力為[bS]=200MPa,試校核銷釘?shù)膹姸?。dP(b)d解:銷釘受力如圖所示剪切面擠壓面PPABtd(b)PPFsFsFsFs（1）剪切強度校核受剪面為m—m和n—n面由截面法得兩個面上的剪力受剪面的面積為受剪面上的名義切應(yīng)力為mmnn（2）校核擠壓強度

這兩部分的擠壓力相等，故應(yīng)取長度為t的中間段進行擠壓強度校核.P擠壓面PPABtd故銷釘是安全的。tdP擠壓面

沖壓剪切

螺栓與套筒

聯(lián)軸結(jié)安全銷剪切PPPP§8-6鉚釘連接的計算鉚釘連接的主要方式搭接一個受剪面單蓋板對接雙蓋板對接一、鉚釘組承受橫向荷載

在鉚釘組連接中,為了簡化計算,設(shè):每個鉚釘受力為不論鉚接的方式如何,均不考慮彎曲的影響。若外力的作用線通過鉚釘組橫截面的形心,且同一組內(nèi)各鉚釘?shù)闹睆较嗤?則每個鉚釘?shù)氖芰σ蚕嗟?。例題：一鉚釘接頭用四個鉚釘連接兩快鋼板。鋼板與鉚釘材料相同。鉚釘直徑d=16mm，鋼板的尺寸為b=100mm，

t=10mm，P=90kN，鉚釘?shù)脑S用應(yīng)力是[]=120MPa，

[bS]=120MPa，鋼板的許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鉚釘接頭的強度。PPttPPttPPb(1)鉚釘?shù)募羟袕姸仁芗裘婷總€鉚釘受力為P/4每個鉚釘受剪面上的剪力為PPb(2)鉚釘?shù)臄D壓強度每個鉚釘受擠壓力為受剪面擠壓面面積為