高考數(shù)學(xué)評(píng)分細(xì)則參考

高考評(píng)分細(xì)則參考

一'數(shù)學(xué)閱卷流程

二'閱卷基本準(zhǔn)則

高考數(shù)學(xué)閱卷對(duì)知識(shí)點(diǎn)和步驟的把握，公正客觀(guān)，本著給分有理扣分有據(jù)的原則,尋找得

分點(diǎn)，否則寫(xiě)再多也是徒勞的.但是也并非完全無(wú)情，比如有少數(shù)考生答題錯(cuò)位，會(huì)被要求作為

異常試卷提交，由專(zhuān)家組特殊處理，而不是直接判了零分等.為此，總結(jié)如下解題中需要把握的

準(zhǔn)則：

L閱卷速度以秒計(jì)，規(guī)范答題少丟分

高考閱卷評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)非常細(xì)，按步驟、得分點(diǎn)給分,評(píng)閱分步驟、采“點(diǎn)”給分.關(guān)鍵步驟，有則

給分，無(wú)則沒(méi)分.所以考場(chǎng)答題應(yīng)盡量按得分點(diǎn)、步驟規(guī)范書(shū)寫(xiě).閱卷中強(qiáng)調(diào)關(guān)注結(jié)果，過(guò)程可采

用不同的方法闡述.

2.不求巧妙用通法，通性通法要強(qiáng)化

高考評(píng)分細(xì)則只對(duì)主要解題方法，也是最基本的方法，給出詳細(xì)得分標(biāo)準(zhǔn)，所以用常規(guī)方

法往往與參考答案一致，比較容易抓住得分點(diǎn).閱卷中把握見(jiàn)點(diǎn)得分，踩點(diǎn)得分,上下不牽連的

原則.

3.干凈整潔保得分，簡(jiǎn)明扼要是關(guān)鍵

若書(shū)寫(xiě)整潔，表達(dá)清楚，一定會(huì)得到合理或偏高的分?jǐn)?shù)，若不規(guī)范可能就會(huì)吃虧.若寫(xiě)錯(cuò)需

改正，只需劃去，不要亂涂亂劃,否則易丟分.

4.狠抓基礎(chǔ)保成績(jī)，分步解決克難題

(1)基礎(chǔ)題爭(zhēng)取得滿(mǎn)分.涉及的定理、公式要準(zhǔn)確，數(shù)學(xué)語(yǔ)言要規(guī)范，仔細(xì)計(jì)算,爭(zhēng)取前3個(gè)

解答題及選考不丟分.

(2)壓軸題爭(zhēng)取多得分.第(1)問(wèn)一般難度不大，要保證得分，第(2)問(wèn)若不會(huì)，也要根據(jù)條件或

第(1)問(wèn)的結(jié)論推出一些結(jié)論，可能就是得分點(diǎn).

三'題目類(lèi)型展示

題型一三角形解答題

（2017全國(guó)1,理17）（本小題滿(mǎn)分12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知△

ABC的面積為生.

3sinA

⑴求sin8sinC;

（2）若6cosBcosC=l,a=3,求△ABC的周長(zhǎng).

（一）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示——看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

給出三角形面積公式即可得1分，

解法一⑴由題設(shè)得夕csin8=已水1

分體現(xiàn)選擇哪個(gè)面積公式的重要性!學(xué)會(huì)“瞻前顧后”！

即:csin

23sinA

由正弦定理:白=號(hào)代入整理得

sinCsinA

給出正弦定理的內(nèi)容可得1分

-sinCsinB=1分

23sinA

體現(xiàn)“邊化角”的解題裝略！

故sinBsinC=^.2分

整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果.

(2)由題設(shè)及(1)得

cosBcosC-sinBsinC=-^,1分

學(xué)會(huì)觀(guān)察條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，進(jìn)而

即cos(^+Q=-j.1分

拼湊成兩角和的余弦公式

所以B+C號(hào)，故1分

公式的準(zhǔn)確性很重要！

由題設(shè)得工/心inA=a即bc=8.2分

23stnA此處公式若寫(xiě)成cos（B-C）后面就沒(méi)有分?jǐn)?shù)了.

由余弦定理*=按+/-2bccosA,1分“給值求角”問(wèn)題要注意角的范圍

得b2+c2-bc=9,求得角A后再次選擇面積公式，進(jìn)而找到兒，公式正確，計(jì)算錯(cuò)誤扣1分.

即(/?+c)2-30c=9,得b+c=V33.1分寫(xiě)出余弦定理給1分

故△ABC的周長(zhǎng)為3+聞.1分公式正確，計(jì)算錯(cuò)誤扣1分.

利用完全平方式過(guò)渡，才有整體思想求解b+c-,

最后下結(jié)論,不寫(xiě)扣1分.

(二)一題多解鑒賞——擴(kuò)思路

(1)解法一由S^ABC=^cicsin3,得々zcsin■1即：csin

ZZ3Sin^lZ3S1F1/1

2

0

根據(jù)正弦定理，得/c.京=a(R為△ABC外接圓的半徑)，即/?c=-^-.

ZZK3t2—J

7

再由正弦定理，得sinBsinC=1.

2ii

(2)解法二由(1)得sinBsinC=-,cosBcosC=y,cos(B+Q=cosBcosC-sinBsinC=--,

5oZ

又0<B+C<TT,所以B+C=^A=］由余弦定理得9=爐+洛尻\①

由cosBcosC=3結(jié)合余弦定理得、廬?=；化簡(jiǎn)得81-3+c)2(>c)2=6機(jī)?.②

6FZa-ce?lab：-c26

由。f口②式得81-(30c+9)(-bc+9)=6bc.

即氏2-昉c=0,解得bc=S.

所以/?2+C2=17,(^+C)2=/?2+C2+2Z?C=33.

所以。+c=同，故△ABC的周長(zhǎng)為3+V33.

解法三由已知易得cos(B+Q=cosBcosC-sinBsinC=g所以3+。=學(xué)4=々.

1i

而cos2Bcos2C=—,(l-sin2B)(l-sin2C)=—,

DODO

也即l-si/B-si/C+si/Bsin2c=±.

36

由(1)得sinBsinC=|,所以l-sin2B-sin2C+(|)2=表.所以sin?B+sin2c考.即(sinB+sin

Q2-2sinBsinC=!|.所以sinB+sinC=^-.

由正弦定理得fe+c=-^-(sin8+sinQ=—X乎=聞.故△ABC的周長(zhǎng)為3+V33.

sinA'/sin602

(三)閱卷老師提醒——明原因

三角函數(shù)題目屬于高考題中的低中檔題，但每年考生的得分情況都不理想，如公式記憶不

清、解題方法不明、解題方法選擇不當(dāng)?shù)葐?wèn)題屢屢出現(xiàn)，不能保證作答“會(huì)而對(duì),對(duì)而全，全而

美''.下面就以2017年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷/理科第17題為例進(jìn)行分析說(shuō)明.

1.知識(shí)性錯(cuò)誤

數(shù)學(xué)需要記憶，許多學(xué)生因?yàn)椴荒苷_記憶公式導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，如在第(1)問(wèn)中把SA

A8c=；acsin8,寫(xiě)成SA*8c=；HsinA或5AABC=|acsinA等;正弦定理為=-r-^=2R(R為

zLLsin/ismDsine

△ABC外接圓的半徑)，而在應(yīng)用時(shí)寫(xiě)成a=sinA,b=sinB,c=sinC,在第⑴問(wèn)的解答中所得答案

和正確答案相同,但在第(2)問(wèn)中,sinBsinC=|化為兒=|,答案出現(xiàn)錯(cuò)誤;又如在第(2)問(wèn)中，由于

對(duì)誘導(dǎo)公式記憶不請(qǐng)，不少的學(xué)生出現(xiàn)cosA=cosm-B-O=cos(B+C)W的錯(cuò)誤，不管最后答案

正確與否,都屬于知識(shí)性錯(cuò)誤.

2.策略性錯(cuò)誤

在前面，第(1)(2)問(wèn)都展示了多種解法，兩問(wèn)的解法二顯然比解法一麻煩，問(wèn)題在于學(xué)生不

能正確把握解題方向.如在第(1)問(wèn)中,在得到〈csin■三后，求sinBsinC的值,沒(méi)有將c,a用

sinC.sinA表示,而是將sinB,sinA用邊b,a表示，可謂是跟著感覺(jué)走，解題目標(biāo)不明確;在第(2)

問(wèn)中,在解得/A后,直接由題設(shè)得/csin4=邑，然后解得加=8非常方便簡(jiǎn)捷，而解法二運(yùn)用

zosin/i

第(1)問(wèn)的結(jié)論,sinBsinC=|,再借助正弦定理將式子用邊b,c表示，顯然走了彎路,運(yùn)算量增大.

在第(2)問(wèn)中，出現(xiàn)的問(wèn)題是:不少的學(xué)生能求得兒=8,往下就無(wú)從入手了;也有的學(xué)生用余

弦定理將6cosBcosC=1用邊b,c表示，得6cosBcos"’=1.因?yàn)槭阶颖容^冗長(zhǎng),

接下來(lái)不知該怎么做，導(dǎo)致解題失敗(參考解法三的過(guò)程).

(四)新題好題演練——成習(xí)慣

(2018貴州適應(yīng)性考試)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a力,c,已知acos

C=(2/7-c)cosA.

(1)求角A的大小;

(2)若a=2,D為BC的中點(diǎn)40=2,求aABC的面積.

解(1)*acosC=(2Z?-c)cosA,

?：sinAcosC=2sinBcosA-sinCeosA.

?:sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosA.

?：sin(A+C)=2sinBcosA.

又A+8+C=TI,?：sinB=2sinBcosA,

1IT

又sin3>0./cosA=2,4￡(0,7t)..：A=§.

1+4-廬i+4-r2.c

⑵VZADB+ZADC=it,/.cosZADC+cosZADB=O..：〃+/=10.

44

又Z?2+C,2-2/?CCOSA=a1,b1+c2-bc=4,/.bc=6.

.1...1V33V3

..cS=2力scinA=-x6rx—=

題型二數(shù)列解答題

（2016全國(guó)，文17）（本小題滿(mǎn)分12分）已知｛斯｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足

加=1,歷~^,anbn+1+bn+i-nbn.

（1）求｛斯｝的通項(xiàng)公式;（2）求｛兒｝的前n項(xiàng)和.

（一）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示一看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

解法一（1）由已

知,。也+岳=",加=1,岳=：,得&|=2,2分

必須展示代入的過(guò)程，僅說(shuō)明由題意可得，塊乏的岳+岳二歷的不予給分.

所以數(shù)列｛““｝是首項(xiàng)為2,公差為3的等差數(shù)

此處說(shuō)明了數(shù)列為等差數(shù)列以及首項(xiàng)，公差.揣摩如何讓我們的答題語(yǔ)言更簡(jiǎn)

列，2分

潔.

通項(xiàng)公式為an=at+（n-\）d

此處寫(xiě)出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式給1分.原始公式很重要!寫(xiě)為｛m｝=3小1不給

=3n-l.2分分！

（2）由（1）和。"瓦+i+b”+i="瓦，1分此處化簡(jiǎn)需要借助第（1）問(wèn)的結(jié)論,如果第（1）問(wèn)猜出｛〃〃｝的通項(xiàng)公式,也給全

分,應(yīng)用跳步解答的應(yīng)試技巧.

得b”+i=g.1分

此處說(shuō)明了數(shù)列為等比數(shù)列以及首項(xiàng),公比.

因此｛5｝是首項(xiàng)為1,公比為［的等比數(shù)列.1

數(shù)列求和公式也可以寫(xiě)成:&=皿吧或^尸23只要寫(xiě)對(duì)求和公式，不管前面

分1-q1-q

是否做對(duì)均可得2分.彰顯公式的重要性.

記｛兒｝的前n項(xiàng)和為Sn,

答案不能出現(xiàn)整個(gè)大分式,否則扣1分.化簡(jiǎn)后格式不要求，只要能和最后答案

S,”,2分

互化都是對(duì)的.

13

則S,弓一才?1分

(二)一題多解鑒賞一擴(kuò)思路

解法二

nb,b

(1)由〃滴"+1+/?"+1=應(yīng)?“,則arl-''--,Sn-\時(shí)，"=1/2=，|=與”,.：4|=2.

bn+i3b2

:是公差為3的等差數(shù)列

(2):,卬=3〃J和a,tbn+1+bn+1=nbth.3nbn+1=nbn.

.:鏟=；..：｛辦｝是首項(xiàng)為1,公比(?=:的等比數(shù)列.

Dji3<5

設(shè)｛d｝前〃項(xiàng)和為S",則S"=l+；+()+…+(§="，①

劍w+$+...+(曠+削②

由④②^|s,=i-G)ra,

?TOH"熱

(三)閱卷老師提醒——明原因

1.牢記等差、等比數(shù)列的定義:在判斷數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí),應(yīng)根據(jù)定義進(jìn)行判斷，所

以熟練掌握定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，如本題第(2)問(wèn)，要根據(jù)定義判斷鈔=i

2.注意利用第(1)問(wèn)的結(jié)果:在題設(shè)條件下,如果第(1)問(wèn)的結(jié)果第(2)問(wèn)能用得上，可以直接

用，有些題目不用第(1)問(wèn)的結(jié)果甚至無(wú)法解決，如本題即是在第(1)問(wèn)的基礎(chǔ)上求得為+1與兒

的關(guān)系.

3.寫(xiě)全得分關(guān)鍵:寫(xiě)清解題過(guò)程的關(guān)鍵點(diǎn)，有則給分，無(wú)則沒(méi)有分，同時(shí)解題過(guò)程中計(jì)算準(zhǔn)

確，是得分的根本保證.如本題第(1)問(wèn)要寫(xiě)出。也+加=加步產(chǎn)1傷言,才能得出以并指出數(shù)列

｛”“｝的性質(zhì)，否則不能得全分.第(2)問(wèn)中一定要寫(xiě)出求心+i=號(hào)的步驟并要指明｛兒｝的性質(zhì)；

求S,時(shí)，必須代入求和公式而不能直接寫(xiě)出結(jié)果，否則要扣分.

(四)新題好題演練——成習(xí)慣

(2018河北石家莊一模)已知等比數(shù)列｛斯｝的前n項(xiàng)和為S”,且滿(mǎn)足2s“=2田+皿〃[GR).

(1)求數(shù)列｛如｝的通項(xiàng)公式；

⑵若數(shù)列｛為｝滿(mǎn)足仁=/=)、]二,"〃、，求數(shù)列｛仇｝的前〃項(xiàng)和Tn.

1r,

解(1)方法一:由2s〃=2"eR),得2Sn.]=2+m(meR),〃22.所以2%=2S〃-2S〃-]=2",

即m=2"“(〃22),所以az=2,q=2.

n]

又。]=51=2+當(dāng)又｛斯｝是等比數(shù)列，所以。皿二。2,解得機(jī)=-2,所以通項(xiàng)公式為an=2'.

%=2+會(huì)

方法二:由2s尸2"」機(jī)（“金R）,得34+5，

S3=8+y(mGR).

從而有a2=S2-S\=2,?3=S3-S2=4,

所以等比數(shù)列公比令="=2,首項(xiàng)0=1,因此通項(xiàng)公式為a,,=2n-'.

a2

(2)由⑴可得log2(斯S+i)=log2(2/ll-2/I)=2n-l,

"〃=(2n+l)(2n?l)=2(詬T，2九+1)

?：刀尸。1+岳+??,+/?〃

n

YW+聶+…+總焉)2n+「

題型三概率與統(tǒng)計(jì)解答題

(2017全國(guó)2,文19)(本小題滿(mǎn)分12分)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法

的產(chǎn)量對(duì)比,收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直

方圖如下：

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”,估計(jì)4的概率;

(2)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);

箱產(chǎn)量＜50kg箱產(chǎn)量350kg

舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較.

」解三尢)0.0500.0100.001

2

k3.8416.63510.8282_n(ad-bc)

附：,K=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，

（一）評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示——看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

此處要注意把原始數(shù)據(jù)代入公式要充分完

整展示，否則一旦最后結(jié)果錯(cuò)誤，全部沒(méi)分.公式

正確，計(jì)算錯(cuò)扣1分.

解（1）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg的頻率為

(0.012+0.014+0.024+0.0344-0.040)x5=0.62.3分

因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62.

（2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖列聯(lián)表

獨(dú)立性檢驗(yàn)要先列由2x2列聯(lián)表，數(shù)據(jù)錯(cuò)一個(gè)

扣分，直到扣完為止.

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量250kg1

日養(yǎng)殖法6238

此處計(jì)算要準(zhǔn)確，掌握化簡(jiǎn)技巧,需運(yùn)算兩遍進(jìn)

新養(yǎng)殖法3466

行復(fù)查，注意保留小數(shù)點(diǎn)后三位.計(jì)算依的值與

2分

結(jié)論各給1分.

0_2OOX(62X66-34X38)2

i\—~1J./UJ.2分

100X100X96X104

由于15.705>6.635,故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).1分

（3）箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：

新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值（或中位數(shù)）在50kg到55kg之間,舊養(yǎng)殖法的箱

產(chǎn)量平均值（或中位數(shù)）在45kg到50kg之間，1分

且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度高,1

分

因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法.

2分

根據(jù)平均數(shù)（中位數(shù)）和方差進(jìn)行判斷，需要準(zhǔn)確

說(shuō)明產(chǎn)量較高且穩(wěn)定兩個(gè)角度,缺少一個(gè)角度

扣1分.

(二)閱卷老師提醒—明原因

1.正確閱讀理解，弄清題意:與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)常以實(shí)際生活為背景，且?？汲?/p>

新，而解決問(wèn)題的關(guān)鍵是理解題意，弄清本質(zhì),將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題求解.

2.對(duì)互斥事件要把握住不能同時(shí)發(fā)生，而對(duì)于對(duì)立事件除不能同時(shí)發(fā)生外,其并事件應(yīng)為

必然事件，這些也可類(lèi)比集合進(jìn)行理解，具體應(yīng)用時(shí)，可把所有試驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出來(lái),看所求事件包

含哪幾個(gè)試驗(yàn)結(jié)果,從而斷定所給事件的關(guān)系.

3.用頻率分布直方圖解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)正確理解圖表中各個(gè)量的意義，識(shí)圖掌握信息是

解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵.

4.某些數(shù)據(jù)的變動(dòng)對(duì)中位數(shù)可能沒(méi)有影響.中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中,也可能不在所

給數(shù)據(jù)中.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個(gè)別數(shù)據(jù)變動(dòng)較大時(shí)，可用中位數(shù)描述其集中趨勢(shì).平均數(shù)與方差

都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的描述,它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，

平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述其波動(dòng)大小.

5.獨(dú)立性檢驗(yàn)的注意事項(xiàng)

⑴在列聯(lián)表中注意事件的對(duì)應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆.心的觀(guān)測(cè)值火的計(jì)算公式很復(fù)

雜，在解題中易混淆一些數(shù)據(jù)的意義，代入公式時(shí)出錯(cuò),而導(dǎo)致整個(gè)計(jì)算結(jié)果出錯(cuò).

(2)對(duì)判斷結(jié)果進(jìn)行描述時(shí),注意對(duì)象的選取要準(zhǔn)確無(wú)誤，應(yīng)是對(duì)假設(shè)結(jié)論進(jìn)行的含概率

的判斷，而非其他.

(三)新題好題演練—成習(xí)慣

(2018四川涼山診斷性檢測(cè))為了解男性家長(zhǎng)和女性家長(zhǎng)對(duì)高中學(xué)生成人禮儀式的接受

程度，某中學(xué)團(tuán)委以問(wèn)卷形式調(diào)查了50位家長(zhǎng)，得到如下統(tǒng)計(jì)表：

男性家長(zhǎng)女性家長(zhǎng)合計(jì)

贊成121426

無(wú)所謂18624

合計(jì)302050

(1)據(jù)此樣本,能否有99%的把握認(rèn)為“接受程度”與家長(zhǎng)性別有關(guān)?說(shuō)明理由；

(2)學(xué)校決定從男性家長(zhǎng)中按分層抽樣方法選出5人參加今年的高中學(xué)生成人禮儀式，并

從中選2人交流發(fā)言，求發(fā)言人中至多一人持“贊成”態(tài)度的概率.

參考數(shù)據(jù)

P(K2..--k)0.05().010

k3.8416.635

______，(一/加產(chǎn)______

參考公式心=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解⑴由題:〃=12力=14,c=18,d=6,

50(12x6-14x18)2

，片二u4.327v6.635,所以，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“接受程度”與家長(zhǎng)性別有

26x24x30x20

關(guān).

（2）選出的5人中持“贊成”態(tài)度的人數(shù)為12x?=2.持“無(wú)所謂”態(tài)度的人數(shù)為3.設(shè)持“贊成”

態(tài)度的人分別為41/2,持“無(wú)所謂''態(tài)度的人分別為6力2/3.基本事件總數(shù)為

（。1,。2）,（〃1,仇）,（〃1/2）,3/3）,（。2力1）,（。2/2）,（。2力3）,（瓦,歷）,（加力3）,（歷力3）共10種.其中至多一人持

“贊成”態(tài)度的有9種，.:p*（或:其中兩人持“贊同”態(tài)度的人有1種,故至多一人持“贅成”態(tài)

度的事件概率片喘=4）

題型四立體幾何解答題

(2017全國(guó)3,文19)(本小題滿(mǎn)分12分)如圖,四面體A8CZ)中,△A8C是正三角形45=CD

(1)證明:4(?，8。；

(2)已知△ACD是直角三角形,48=8。.若E為棱BD上與D不重合的點(diǎn)，且AEJ_￡C,求四

(一)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示——看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

必須展示作輔助線(xiàn)的過(guò)程,僅在圖中體現(xiàn)輔助線(xiàn)但過(guò)程

D中無(wú)體現(xiàn)的減1分.

此處說(shuō)明了線(xiàn)面垂直的判定的條件.要注意強(qiáng)調(diào)

“0008。=?！?否則減1分.

⑴證明取AC的中點(diǎn)O,連接DO.BO.

因?yàn)锳D=CD,所以ACJ_D。.2分

又由于△4BC是正三角形，

必須展示作輔助線(xiàn)的過(guò)程，僅在圖中體現(xiàn)輔助線(xiàn)但過(guò)程中無(wú)

所以ACJ_BQ

過(guò)程的減1分.

又因?yàn)镈OHBO=O.

所以ACJ■平面DOB,故AC_LBD2分

D

此處寫(xiě)出直角三角形的勾股定理及其逆定理的應(yīng)用.要注意

等量關(guān)系的轉(zhuǎn)化！

(2)解法一連接EO,由⑴及題設(shè)知44DC=90°,

所以。0=40.2分

在RtAAOB中.BgAgAB?,

又AB=BD,所以BO2+DO1=BO2+AO2=AB2=BE>1,itZ

008=90°.1分

由題設(shè)知AAEC為直角三角形，所以EO=\AC.此處寫(xiě)出點(diǎn)到平面的距離的合理轉(zhuǎn)化,不寫(xiě)清點(diǎn)的位置關(guān)系

和轉(zhuǎn)化過(guò)程要減2分.

又△ABC是正三南形，且AB=BD,所以E。帶BD1分

故E為BQ的中點(diǎn)，則E到平面ABC的距離為￡＞到平面ABC

的距離的g.1分

四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的去1分

即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為12分

(二)一題多解鑒賞——擴(kuò)思路

(2)解法二可證OO_LOB,EO=；B。,所以E為BD的中點(diǎn)，四面體ABCE與四面體ACDE

的體積比為1；1.

解法三設(shè)AB=BO=2,DE=蒼可證△ACE為等腰直角三角形，則AD=AE=^2.

在△AB。與△4BE中,cosNDB//=沁=。崩=襲密=

所以x=l或x=0(舍).

故E是B。的中點(diǎn)，四面體A8CE與四面體ACDE的體積比為1：1.

(三)閱卷老師提醒——明原因

1.證明線(xiàn)面垂直時(shí)，不要忽視“面內(nèi)兩條直線(xiàn)為相交直線(xiàn)”這一條件，如第(1)問(wèn)中,學(xué)生易

忽視“。。。80=0”,導(dǎo)致條件不全而減分；

2.求四面體的體積時(shí)，要注意“等體積法”的應(yīng)用，即合理轉(zhuǎn)化四面體的頂點(diǎn)和底面，目的是

底面積和頂點(diǎn)到底面的距離容易求得；

3.注意利用第(1)問(wèn)的結(jié)果:在題設(shè)條件下,如果第(1)間的結(jié)果第(2)問(wèn)能用得上，可以直接

用,有些題目不用第⑴問(wèn)的結(jié)果甚至無(wú)法解決，如本題中，由⑴及題設(shè)知乙4OC=90°.

4.要注意書(shū)寫(xiě)過(guò)程規(guī)范，計(jì)算結(jié)果正確.書(shū)寫(xiě)規(guī)范是計(jì)算正確的前提,在高考這一特定的環(huán)

境下，學(xué)生更要保持規(guī)范書(shū)寫(xiě),力爭(zhēng)一次成功，但部分學(xué)生因平時(shí)習(xí)慣,解答過(guò)程中書(shū)寫(xiě)混亂，導(dǎo)

致失誤過(guò)多.

（四）新題好題演練——成習(xí)慣

（2018江西新余二模）如圖,三棱柱ABC-ABiG中，平面AAiSBL平面ABC,D是AC的中

點(diǎn).

（1）求證〃平面48。；

（2）若NA|AB=/ACB=60°,48=8Bi4C=2,BC=l,求三棱錐Ci-ABD的體積.

⑴證法一連接ABi交Ai8于點(diǎn)。，則。為A8i的中點(diǎn),

：7）是AC的中點(diǎn),.：。。〃81c.

又ODu平面平面A\BD,

.：BC〃平面A\BD.

(2)解法一：NC=2,BC=l,NAC8=60°,

.,.AB2^AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=3.

；.AB增.

取AB中點(diǎn)連接Ai",

：NB=BBi=AAi,N4AB=60°,

二△4B4為等邊三角形.

?:AiM_LA仇且AM與

又丁平面A4]8]8_L平面ABC,平面AAiSBC平面A8C=4B,A|Mu平面A4]8|8,?：4|MJ_平

面ABC.

?_l

?^^ABD—c—4,

.1V3

?:%「480二匕1-ABO=-jS^ABD'A]M=—.

⑴證法二取4cl中點(diǎn)。i,連接B0i,CDi,DDi,

VAyDy=^AICi,CD=^ACA1ClAC,.：AQiCD.

.：四邊形A\DCD\為平行四邊形..：CA〃4D

又AiOu平面A|BO,CZ)iU平面A\BD,

，C￡)i〃平面ABD

\'BBXA4,DDt,

.：四邊形DiDBBi為平行四邊形.

；.B\D\〃BD.

又BDu平面Ai3￡)B￡)iC平面A\BD,

.：BQi〃平面A\BD.

又CDin8i￡)i=Di,

.：平面BC￡>i〃平面A\BD.

又SCu平面BiCDi,?:平C〃平面A\BD.

(2)解法二：?AC=2,BC=l,NACB=60°,

/.AB2=AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=3.

r.AB=^3.,".AC2=AB2+BC2.

/.BCLAB.

又：?平面AAiBBJ"平面ABC,平面A4由iBC平面ABC=AB,

平面AA\B\B.

：'ZAiAB=60°,AB=BBi=AAi,

.,.AA?=V3.

i3V3

?:=8?MrsinN4AB=丁?

「。是AC中點(diǎn)，

=X

?',^Ci-ABD=^Ai-ABD=^D-A^AB=^C-AXAB2§$&遇8，/=百.

題型五解析幾何解答題

(2017全國(guó)1,文20)(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)AJ3為曲線(xiàn)C:y=9上兩點(diǎn)/與B的橫坐標(biāo)之和

為4.

(1)求直線(xiàn)A8的斜率；

(2)設(shè)M為曲線(xiàn)C上一點(diǎn),C在M處的切線(xiàn)與直線(xiàn)AB平行，且求直線(xiàn)AB的方

程.

(一)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示——看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

⑴解設(shè)A(xi,yi),B(X2,j2),則

x\^x2,yi4y二%"+及=4,2分

于是直線(xiàn)AB的斜率旌上位=上墳=1.2分

Xi*4此處根據(jù)條件進(jìn)行翻譯，需要設(shè)出48的坐標(biāo)以及它們之間的關(guān)系，缺少

其中條件都會(huì)扣1分.

(2)解法一由)=*得y胃1分

此處需要寫(xiě)出斜率的公式,體現(xiàn)原始公式重要性，沒(méi)有斜率公式扣1分，

設(shè)M(X3J3),由題設(shè)知￡=1,解得X3=2,代入前面條件進(jìn)行化簡(jiǎn),得值.

此處需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，具體位置不做要求，沒(méi)有則扣1分.

于是M(2,l).1分

設(shè)直線(xiàn)的方程為y=x+m,此處設(shè)出M點(diǎn)，并求出坐標(biāo)，若沒(méi)有過(guò)程不給分.

此處設(shè)出直線(xiàn)方程，寫(xiě)出的長(zhǎng)度，需要過(guò)程，如若沒(méi)有不給分.

故線(xiàn)段48的中點(diǎn)為N(2,2+m),|MN|二|m+1|.1分

將y=x+m代入y言得x2-4.r-4wz=0.

X的一元二次方程的形式不唯一，只要沒(méi)有錯(cuò)誤均給分.

當(dāng)/=16(機(jī)+1)>0,即m>-l時(shí)，2分

xi,2=2±2Vm+1.

此處表示出AB的長(zhǎng)度，要有弦長(zhǎng)公式，沒(méi)有公式不給分.

從而|AB|二近|u2|=4j2(m+1).1分

此處代入|AB|=2|MN|等式中，求得加的值，若沒(méi)有不得分.

由題設(shè)知|AB|二2|MN|,

最后一步要寫(xiě)出直線(xiàn)方程，一般式或斜截式均給分.

即4j2(m+1)=2(帆+1),解得m=7.1分

所以直線(xiàn)AB的方程為產(chǎn)x+7.1分

(二)一題多解鑒賞——擴(kuò)思路

(2)解法二設(shè)切線(xiàn)方程為,y=x+bo,與曲線(xiàn)。:/二外，聯(lián)立，得f-4x-4/?o=O.則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)

為A,B的橫坐標(biāo)的平均數(shù)，進(jìn)而M(2,l).

將坐標(biāo)系按向量(2,1)平移，則拋物線(xiàn)方程變?yōu)镃':(x'+2)2=4(y+l),即―+4V-4)/=0.

設(shè)新坐標(biāo)系下直線(xiàn)A'8的方程為m(x'-y)=1,

則化齊次聯(lián)立可得x'2+(4x'-4y>〃?(x'-y)=0.

由于此時(shí)因此1+4，"+4〃?=0.

解得直線(xiàn)A'8'：x'-y'+8=0.

回到原坐標(biāo)系，直線(xiàn)AB方程為(x-2)-(y-l)+8=0.則x-y+7=0.

解法三設(shè)碓0,苧)，由)，4的導(dǎo)函數(shù)y'g知C在何處的切線(xiàn)斜率為二=|,所以羽=2,

故"(2,1).

因?yàn)锳A7_L8M,易知的斜率存在且不為0,因此k8M=-1,即'?上~^=

X\-2.%2-z-

1I

W(X1+2)(X2+2)=—[X1X2+2(X]+X2)+4]=-1.(*)

設(shè)直線(xiàn)AB的方程為y=x+〃,與拋物線(xiàn)聯(lián)立得&^-/尸。，

所以/=1+/?0,故人>-1,由根與系數(shù)的關(guān)系知產(chǎn)1

I---

1

代入(*)式得外(-48+12)=-1,解得力=7,符合題意，因此直線(xiàn)AB的方程為y=x+7.

16

(三)閱卷老師提醒——明原因

(1)審題忙中出錯(cuò)丟分.有的考生對(duì)審題重視不夠，匆匆一看便急于下筆，以至于題目的條

丫2

件和要求沒(méi)有看清.如將條件C:)，=^?看成焦點(diǎn)在X軸上從而計(jì)算出錯(cuò).

(2)書(shū)寫(xiě)不規(guī)范、筆誤丟分.考生字跡偏小、不清、書(shū)寫(xiě)不工整、版面布局不合理,會(huì)導(dǎo)致

閱卷教師不好辨認(rèn)從而極可能導(dǎo)致考生得分點(diǎn)被遺漏，造成丟分.甚至有的考生出現(xiàn)嚴(yán)重的筆

誤，如第(1)問(wèn)中，將XI+X2=4誤寫(xiě)成“+)2=4,雖然后面的過(guò)程正確，也會(huì)扣掉1分.

(3)“會(huì)而不對(duì)”丟分.許多考生忽視將解題策略轉(zhuǎn)化為得分點(diǎn)，因此，卷面上大量出現(xiàn)“會(huì)而

不對(duì)”“對(duì)而不全”的情況.由于第(2)問(wèn)的解答步驟較多，很多考生分不清主要步驟和次要步驟,

一些必不可少的步驟是不能省略的，導(dǎo)致該寫(xiě)的得分點(diǎn)沒(méi)有寫(xiě)上,閱卷中得不到相應(yīng)的分?jǐn)?shù).

(4)策略性錯(cuò)誤丟分.許多考生解題方向上出現(xiàn)偏差，造成思路受阻或解題長(zhǎng)度過(guò)大.如第

(2)問(wèn)中，直接設(shè)出C在M處的切線(xiàn)方程，思路過(guò)于曲折、存在多余的思維回路，最終只能猜出

答案或者復(fù)雜計(jì)算得出答案，費(fèi)時(shí)費(fèi)事.

(5)思維嚴(yán)謹(jǐn)性不夠丟分.第(2)問(wèn)中表現(xiàn)突出，如設(shè)直線(xiàn)沒(méi)有對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論或說(shuō)明;做出

結(jié)果的考生，只關(guān)注于結(jié)果而忽略了結(jié)果的完整性，缺少"當(dāng)/=16(m+1)>0,即,">-1

時(shí)㈤.2=2±27m+1.”這一條件的說(shuō)明等.

(6)計(jì)算技能不過(guò)關(guān)丟分.圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題的解答過(guò)程一般來(lái)說(shuō)對(duì)考生的計(jì)算能力要求都比

較高，閱卷中發(fā)現(xiàn)考生計(jì)算能力差處處都有表現(xiàn),如聯(lián)立方程、韋達(dá)定理的代入化簡(jiǎn)等環(huán)節(jié)出

錯(cuò),導(dǎo)致最終半途而廢.

(四)新題好題演練——成習(xí)慣

(2018湖南益陽(yáng)調(diào)研)已知拋物線(xiàn)Ci的方程為『=20。>0),過(guò)點(diǎn)M(a,-2p)(a為常數(shù))作拋

物線(xiàn)G的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為48.

(1)過(guò)焦點(diǎn)且在x軸上截距為2的直線(xiàn)I與拋物線(xiàn)G交于Q,N兩點(diǎn),兩點(diǎn)在x軸上的

射影分別為且|QN，|=2遙，求拋物線(xiàn)G的方程；

(2)設(shè)直線(xiàn)AM,BM的斜率分別為k,匕求證:h上為定值.

⑴解因?yàn)閽佄锞€(xiàn)G的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0啰，

所以過(guò)焦點(diǎn)且在X軸上極距為2的直線(xiàn)方程是3+古=1，即方+型=1?聯(lián)立x,2y,消去

222P傷+5=1,

22

設(shè)點(diǎn)Q(X0,yo),MxN,)W),則XQ+XN=-^-JCQXN=-P.!0'J10W'|=|.re-A-,v|=J(XQ+xN)-4xQxN

-4x(-p2)=Jj+4p2=2V5,

解得p=2.所以?huà)佄锞€(xiàn)G的方程為x2=4.y.

(2)證明設(shè)點(diǎn)A(xi?ji),B(X2,y2)(xi>0^2<0).

2

依題意，由『二2〃y(p>0),得)=言,則y'=^.

所以切線(xiàn)MA的方程是y-y\=y(x-xi),

2

即y=-x-y-.

)P2P

2

又點(diǎn)M(a,-2p)在直線(xiàn)MA上,于是有-2p=&xa-f,

p/p

即%卜24笛-4〃2=0.同理，有慰-2以2-4〃2=0,

因此41K2是方程/-2以-4P2=0的兩根，

則xi+x2=2aRM=?4p2.所以上「22=端,-=學(xué)-=-4.故kvki為定值得證.

題型六函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題

(2017全國(guó)2,文21)(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)函數(shù)於)=(1-x2)-

(1)討論兀0的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x20時(shí)1/0)?如+1,求a的取值范圍.

(一)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)展示——看細(xì)節(jié)

規(guī)范解答評(píng)分細(xì)則和解答指導(dǎo)

(1)解/,(x)=(l-Zv-x2)et.1分求導(dǎo)結(jié)果必須化簡(jiǎn)正確，否則后面的運(yùn)算全為無(wú)

用功.

令f(x)=0,得x=-1-魚(yú)或,r=-l+V2.

當(dāng)xG(-8,-l-企)時(shí)/(x)<0;

當(dāng)xG(-1-a,-1+四)時(shí)/(x)>0;2分

當(dāng)*6(-1+近,+8)時(shí)J(x)<0.

所以於)在(-8,-1-&),(-1+V2,+8)上單調(diào)遞減，在(-1-應(yīng)1+夜)上單調(diào)

遞增.1分

(2)解法一財(cái)=(1+x)(1-x)-

當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)/!(x)=(l-x)ev,此處由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,一定要

注意單調(diào)區(qū)間之間不能用“U”連接，否則減1分.

則/T(x)=*ey()(x>0),因此力(X)在[0,+8)上單調(diào)遞減，而川0)=1,故

2分

所以y(x)=(x+1)〃(x)Wx+lWox+1.

當(dāng)0<a<l時(shí),設(shè)函數(shù)g(x)=e，-x-l,則g'(x)=eJ]>0(x>0),所以g(x)在此處利用不等式的特點(diǎn),合理構(gòu)造函數(shù)，這是解決此

[0,+8)上單調(diào)遞增，而g(0)=0,故d/x+L2分題的關(guān)鍵步驟.

當(dāng)0cx<1時(shí)次x)>(l-x)(l+x)2,

(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-rx2),取xo='"；"L’則xoW(0,1),2分

(1■油)(l+xo)2-oxo-l=0,故/(xo)>avo+1.1分

當(dāng)aWO時(shí)，取回二與\則xo￡(0,1)^(xo)>(1-%?)-(1+xo)2=l2or()+1.

綜上所述,a的取值范圍是”,+8).1分

利用分類(lèi)討論思想解決問(wèn)題時(shí),要首先明確分類(lèi)的依

據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)，且討論不重不漏.

此處要結(jié)合前面討論的過(guò)程，給出”的取值范圍，否則

減1分.

(二)一題多解鑒賞一擴(kuò)思路

解法二設(shè)gaAC^-DeX+or+lKeO,

則g(x)N0恒成立.

^,(X)=(X2+2X-1)ev+rz.

g〃(無(wú))=(7+n+1)七2>0出3在區(qū)間［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí),g'(x)2g'(0)=-l+〃>0,此時(shí)g(x)在區(qū)間［0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,g(x)2g(x)=0,符合題

意.

當(dāng)a<\時(shí),g'(0)=-l+a<0,

當(dāng)時(shí)爐+2%-122,

取xi=ln(e+a)