數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量共線的坐標(biāo)表示

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練,可用于課前）1.下列各向量組中，不能作為表示平面內(nèi)所有向量的基底的一組是(）A.a=(-1，2)，b=（0，5)B.a=（1,2),b=（2,1）C。a=（2，-1），b=(3,4）D.a=(—2,1)，b=（4，-2)解析：我們把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，而D中兩個向量共線,故不能作為一組基底。答案:D2。以下命題錯誤的是（）A.若i、j分別是與x軸、y軸同向的單位向量,則｜i+j｜=｜i—j|B。若a∥b,a=（x1，y1),b=（x2,y2），則必有C。零向量的坐標(biāo)表示為(0，0)D.一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點坐標(biāo)解析:對B選項，兩個向量中，若有與坐標(biāo)軸共線的或有零向量，則坐標(biāo)不應(yīng)寫成比例式。答案：B3.與a=（12,5)平行的單位向量為（）A.（，）B。（，)C.(，)或(，)D.(±,±)解析:設(shè)與a平行的單位向量為e=（x,y),則x2+y2=1.∵e∥a,∴設(shè)e=λa,即（x，y）=λ（12，5)。x=12λ，y=5λ，代入x2+y2=1，得λ=±13。答案：C10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1。已知a=（-1，3),b=（x,-1),且a∥b,則x等于()A。3B.—C。D。-3解析:因為a∥b，所以(—1）·（—1）—3x=0，解得x=.答案：C2。已知｜a｜=10,b=(3,4)，a∥b，則向量a=__________________________。解析:設(shè)a=（x,y）,然后利用|a|=10,a∥b，列出含x，y的兩個等式，解出x，y.答案：（6,8)或(-6,-8）3。如果向量=i—2j,=i+mj,其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數(shù)m的值使A、B、C三點共線。解法一：∵A、B、C三點共線，即、共線，∴存在實數(shù)λ使得=λBC，即i—2j=λ(i+mj).∴∴m=—2,即m=—2時,A、B、C三點共線.解法二：依題意知i=（1，0)，j=(0，1），則=（1，0）-2（0，1)=(1,—2)，=（1，0）+m（0,1）=（1，m）,而，共線，∴1×m+2=0.故當(dāng)m=—2時，A、B、C三點共線.4。如圖2—圖2-3解法一：設(shè)=t(4，4）=(4t，4t),∴=（4t—4,4t),=(2，6）—（4，0）=（—2,6）.∵與共線，∴(4t—4)×6—4t×（-2）=0，得t=.∴=(4t，4t)=(3，3）,即P(3，3)。解法二：設(shè)P（x,y),則=(x，y），=(4，4）?！吲c共線，∴4x-4y=0.①又=（x—2,y—6),=(2，-6）且與共線，∴—6（x-2)+2（6-y)=0。②由①②解方程組可得x=3,y=3，即P（3，3）。5。平面內(nèi)給定三個向量：a=（3，2)，b=(—1，2),c=(4，1)。（1）求3a+b—2(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)m和n;（3）若(a+kc)∥(2b-a)，求實數(shù)k；(4）設(shè)d=（x，y)滿足(d—c)∥(a+b）且｜d-c|=1，求d。解：(1)3a+b—2c=3(3,2)+（—1,2）—2（4,1）=(9,6）+(-1，2）-(8，2)=（(2)∵a=mb+nc，m、n∈R，∴(3,2）=m(—1，2)+n(4,1)=（—m+4n,2m+n)?！嘟獾?3)∵(a+kc)∥(2b-a)且a+kc=(3+4k,2+k)2b—a=(—5,2），∴(3+4k)×2—（-5）×（2+k）=0?！鄈=。（4）∵d-c=(x-4，y—1),a+b=(2,4),且（d—c)∥（a+b)且｜d-c｜=1，∴解得或∴d=（)或d=(）.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1。已知A，B，C三點共線，且A(3，-6），B(-5，2），若C點橫坐標(biāo)為6，則C點的縱坐標(biāo)為（）A.—13B。9C解析：設(shè)C（6，y），則∥.又=(-8，8)，=(3,y+6），∴—8（y+6)-3×8=0?！鄖=—9。答案:C2.與a=(-5,4）平行的向量是()A。（-5k，4k)B。()C.（-10，2）D.(5k，—4k）解析：∵-5×4k-（-5k)×4=0,∴a與（-5k,4k）平行。答案：A3。若a=(3，4），b∥a且b的起點為(1，2)，終點為(x，3x），則b=________________.解析：∵b=(x,3x）-（1，2）=(x—1，3x—2)，且b∥a,∴3（3x—2）—4（x-1)=0.∴x=.∴b=（—,)。答案：（—，）4。已知點M（x，y）在向量=(1，2)所在的直線上,則x,y所滿足的條件為__________。解析:∵M(jìn)在所在的直線上，∴∥.又=(x，y），=（1，2），∴2x-y=0,即y=2x.答案:y=2x5.已知向量a、b不共線，實數(shù)x，y滿足向量等式3xa+(10—y）b=2xb+（4y+7）a，則x=___________，y=____________________.解析：由解得答案：6.已知向量=(6，1),=(x，y），=(-2，-3)，當(dāng)∥時，求實數(shù)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系。解:=—［(6，1）+（x，y)+（-2,—3)］=（-x-4，-y+2），=(x，y).當(dāng)∥時，x(-y+2）—y（—x-4)=0，化簡得y=x。所以當(dāng)∥時，x、y應(yīng)滿足y=x.7.已知a=（2,-1），b=(x，2）,c=(—3，y），且a∥b∥c,求x、y的值。解：由a∥b，得4+x=0?！鄕=—4。由a∥c,得2y—3=0.∴y=.∴x=—4，y=.8.已知a=(1,2)，b=（-3，2），當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行？平行時它們是同向還是反向?解法一：ka+b=k（1，2）+（-3，2)=(k—3，2k+2），a—3b=（1，2）-3(-3，2)=（10，-4)。當(dāng)ka+b與a-3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，使ka+b=λ(a-3b)。由（k-3，2k+2）=λ（10，—4),∴解得k=—，λ=-.當(dāng)k=—時，ka+b與a—3b平行，這時ka+b=—a+b.∵λ=—＜0,∴—a+b與a—3b反向。解法二:由解法一知ka+b=(k-3，2k+2），a—3b=（10,—4)，因(ka+b）∥(a-3b），∴（k-3）×（—4）-10×（2k+2）=0.解得k=-，此時ka+b=(-—3，+2)=（）=—（10，—4）=—（a—3b）?！喈?dāng)k=—時,ka+b與a—3b平行并且反向。9.已知a=（3，2），b=(2，—1），若λa+b與a+λb(λ∈R)平行，求λ的值.解：λa+b=λ(3，2)+（2，-1)=(3λ+2，2λ-1)，a+λb=（3，2）+λ(2，—1)=(3+2λ,2—λ)。由題意知(3λ+2)（2-λ）—（3+2λ)（2λ—1）=0,化簡得λ2=1，即λ=±1。10。已知A、B、C三點坐標(biāo)分別為（-1,0）、（3，-1）、(1，2)，=，=,求證：∥.證明：設(shè)E、F兩點坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2，y2).∵=（2，2)，=(