數(shù)學(xué)學(xué)案：本講小結(jié)第一講相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精整合提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)典例精講【例1】如圖1—1已知△ABC中，AD是∠BAC的平分線,求證：=。圖1—1思路分析：比例線段常由平行線而產(chǎn)生，在沒有平行時(shí)，可通過添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生。證法一：過C作CE∥AD交BA的延長(zhǎng)線于E.∵AD∥CE，∴=。又∵∠1=∠3，∠2=∠4,AD平分∠BAC，∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.∴AC=AE.∴=.溫馨提示這里使用了平行線分線段成比例定理推論，通過等線代換方法使問題得證.證法二：過D作DE∥AC交AB于E,則∠2=∠3。圖1-2又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3.∴EA=ED.又=，==.∴=。溫馨提示本題利用平行線及等比代換，使問題得證.證法三:過D作DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F.易證四邊形AEDF是菱形。圖1—3∴DE=DF.由于△BDE∽△DFC，∴==。又=，∴=。溫馨提示這種方法使用了相似三角形的邊對(duì)應(yīng)成比例。圖1—4證法四:設(shè)△ABC中BC邊上的高為h,則S△ABD=BD·h,S△ACD=CD·h。過D分別作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F,則S△ABD=AB·DE，S△ACD=AC·DF。于是=。又∵∠1=∠2,∴DE=DF.∴=。溫馨提示利用三角形面積也是一種常用方法.面積方法常有事半功倍之效.【例2】如圖1—5，梯形ABCD中，BA∥CD,對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)E，過E作FG∥AB,交AD、BC于G、F點(diǎn).(1）求證：EF=EG.(2)求證：+=。（3)若直線l平行于底邊但不過E，與BC、AC、BD、AD分別交于F′、M、N、G′，試問：F′M與G′N有何關(guān)?并說明理由.圖1-5證明:(1）∵AB∥FG∥CD,∴===。∴EF=EG。(2)∵EF∥AB=AB=.同理，CD=.由（1)知EF=EG?！?=.(3）∵FG∥F′G′,∴.而EF=GE.∴F′M=G′N.溫馨提示(1)中利用比例式證明線段相等，=,則a=b。（2)利用比例法證明形如線段關(guān)系式，常采用思路是設(shè)法證明，且m1+m2=d,則=1.從而。(3)利用運(yùn)動(dòng)變化思想以及從特殊到一般的思考方法，是我們研究數(shù)學(xué)問題的一般規(guī)律。【例3】如圖1—6-，△ABC中∠BAC=90°,AD⊥BC，DE⊥AB,D、E為垂足.求證:=.圖1-6思路分析:左邊是平方,需設(shè)法將左邊降冪或?qū)⒂疫吷齼缁蛘呃孟嗨迫切蚊娣e比等于相似比的平方。證法一:由射影定理得AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,∴==.∵DE⊥AB,∴CA⊥AB.∴DE∥AC?！??！?.溫馨提示降冪法是欲證，先證a2=be,則，再證或先證a2=ef,b2=eg,則,再證.證法二:∵DE∥AC,∴△BED∽△BAC?！?。∴=。由射影定理DE2=AE·BE。∴==。溫馨提示升冪法是欲證，先證(x為待定線段),則，再證x2=cd，則.證法三:易證△ABD∽△CAD.∴=（)2=。又==。∵DE∥AC，∴=?！?。溫馨提示利用相似三角形面積比等于相似比也是此類題的常用作法。證法四:∵△ABD∽△CBA，∴=。①∵△ACD∽△BCA，∴=。②∴①×②，=·=。而∵DE∥AC,∴=.∴=。溫馨提示將分解為和，這稱為湊比法.【例4】如圖1-7,已知△ABC中DE∥BC，且AD2=AF·AB。求證：EF∥CD.圖1—7思路分析:要證EF∥CD，需證=,而由AD2=AF·AB，則=。證明:∵DE∥BC,∴=?！逜D2=AF·AB,∴=.∴=?！郋F∥CD?！纠?】如圖1-8，已知在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，且AD=AC,DE⊥BC，DE與AB相交于點(diǎn)E，EC與AD相交于點(diǎn)F.（1）求證：△ABC∽△FCD。（2)若S△FCD=5，BC=10，求DE的長(zhǎng).圖1—8（1)證明：∵AD=AC，∴∠ACD=∠ADC.∵DE⊥BC，BD=DC,∴BE=CE。∴∠B=∠DCF?！唷鰽BC∽△FCD。（2)解：過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為M.由△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴=（）2=4.∴S△ABC=20.∴20=×10×AM.∴AM=4。又∵DE∥AM，∴=?！逥M=DC=,BM=B