2025屆河北省滄州市滄縣鳳化店中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆河北省滄州市滄縣鳳化店中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線，，與分別交于，則直線過定點(diǎn)（）A. B.C. D.2．曲線的離心率為（）A. B.C. D.3．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓的方程為A B.C. D.4．用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)，從“k到”左邊需增乘的代數(shù)式是（）A. B.C. D.5．已知點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)在雙曲線的右分支上，是等邊三角形，則的面積是A. B.C. D.6．據(jù)記載，歐拉公式是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的，該公式被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”特別是當(dāng)時(shí)，得到一個(gè)令人著迷的優(yōu)美恒等式，將數(shù)學(xué)中五個(gè)重要的數(shù)（自然對(duì)數(shù)的底，圓周率，虛數(shù)單位，自然數(shù)的單位和零元）聯(lián)系到了一起，有些數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“最完美的數(shù)學(xué)公式”.根據(jù)歐拉公式，復(fù)數(shù)的虛部（）A. B.C. D.7．若拋物線x＝﹣my2的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±8．將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與重合，求折痕所在直線是（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M，N兩點(diǎn)分別在C的左、右兩支上，若四邊形OFMN為菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.10．已知直線的方向向量為，則直線l的傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°11．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.312．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A. B.1C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若數(shù)列滿足，則稱為“追夢(mèng)數(shù)列”.已知數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式__________.14．若直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)，則的取值范圍__________15．“直線和直線垂直”的充要條件是______16．橢圓的右焦點(diǎn)是，兩點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△是直角三角形，則橢圓的離心率是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）判斷的單調(diào)性.（2）證明：.18．（12分）兩人下棋，每局均無和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎(jiǎng)金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因?yàn)槠渌露K止比賽，間，怎么分獎(jiǎng)金才公平？19．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.20．（12分）已知圓.（1）若不過原點(diǎn)的直線與圓相切，且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.21．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程22．（10分）已知直線l過定點(diǎn)（1）若直線l與直線垂直，求直線l的方程；（2）若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓方程可求得坐標(biāo)，由此求得拋物線方程；設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，根據(jù)可得，由此構(gòu)造方程求得，根據(jù)直線過定點(diǎn)的求法可求得定點(diǎn).【詳解】由橢圓方程知其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線焦點(diǎn)，，解得：，則拋物線的方程為，由題意知：直線斜率不為，可設(shè)，由得：，則，即，設(shè)，，則，，，，，解得：或；又與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合，，，當(dāng)時(shí)，，直線恒過定點(diǎn).故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線綜合應(yīng)用中的直線過定點(diǎn)問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.2、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，，，∴離心率.故選：C.3、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，將代入橢圓方程，結(jié)合離心率為以及性質(zhì)列方程組求得與的值，從而可得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，以及橢圓離心率的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，屬于中檔題.4、C【解析】分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式，和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，比較可得“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式【詳解】當(dāng)n＝k時(shí)，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），當(dāng)n＝k+1時(shí)，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），∴左邊需增乘的代數(shù)式是故選：C【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，分別求出n＝k時(shí)左端的表達(dá)式和n＝k+1時(shí)左端的表達(dá)式，是解題的關(guān)鍵5、C【解析】設(shè)點(diǎn)在軸上方，由是等邊三角形得直線斜率.又直線過點(diǎn)，故方程為.代入雙曲線方程，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.故的面積為,選C.6、D【解析】由歐拉公式的定義和復(fù)數(shù)的概念進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，則復(fù)數(shù)的虛部為.故選：D.7、D【解析】把拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，即可得到結(jié)果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】設(shè)，，則折痕所在直線是線段AB的垂直平分線，故求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，折痕與直線AB垂直，進(jìn)而求出斜率，用點(diǎn)斜式求出折痕所在直線方程.【詳解】，，所以與的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以折痕所在直線的斜率為1，故折痕所在直線是，即.故選：D9、C【解析】由題意可得且，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程中，即可得出離心率.【詳解】由題意，四邊形為菱形，如圖，則且，分別為的左，右支上的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在第二象限，在第一象限.由雙曲線的對(duì)稱性，可得，過點(diǎn)作軸交軸于點(diǎn)，則，所以,則，所以，所以，則，即，解得，或，由雙曲線的離心率，所以取，則故選：C10、B【解析】利用直線的方向向量求出其斜率，進(jìn)而求出傾斜角作答.【詳解】因直線的方向向量為，則直線l的斜率，直線l的傾斜角，于是得，解得，所以直線l的傾斜角為.故選：B11、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡(jiǎn)得，兩邊同除以，得.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關(guān)鍵是利用定義以及焦點(diǎn)三角形的關(guān)系列出齊次方程式進(jìn)行求解.12、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題意，由“追夢(mèng)數(shù)列”的定義可得“追夢(mèng)數(shù)列”是公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則為公比為3的等比數(shù)列，進(jìn)而由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案【詳解】根據(jù)題意，“追夢(mèng)數(shù)列”滿足，即，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.若數(shù)列為“追夢(mèng)數(shù)列”，則.故答案為：.14、【解析】聯(lián)立直線與雙曲線方程，可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零、判別式大于零、兩根之和與兩根之積均大于零，據(jù)此構(gòu)造不等式組，解不等式組求得結(jié)果.詳解】將代入雙曲線方程整理可得：設(shè)直線與雙曲線右支交于兩點(diǎn)，解得：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與雙曲線位置關(guān)系求解參數(shù)范圍的問題，屬于基礎(chǔ)題.15、或【解析】利用直線一般式方程表示垂直的方法求解.【詳解】因?yàn)橹本€和直線垂直，所以，解得或；故答案為：或.16、【解析】由題設(shè)易知，應(yīng)用斜率的兩點(diǎn)式及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而求橢圓離心率.【詳解】由題設(shè)，，，，又△是直角三角形，顯然，所以，可得，則，解得，又，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在R上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間；（2）證明見解析.【解析】（1）對(duì)求導(dǎo)，令并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求最值，確定的符號(hào)，即可知的單調(diào)性.（2）利用作差法轉(zhuǎn)化證明的結(jié)論，令結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，最后討論的大小關(guān)系判斷的符號(hào)即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)，.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增故，即，則在R上單調(diào)遞增，無單調(diào)遞減區(qū)間.【小問2詳解】.令，則.令，則，顯然在R上單調(diào)遞增，且，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.故，即，在R上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，.綜上，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，應(yīng)用作差法有，構(gòu)造中間函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，最后討論的大小證結(jié)論.18、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是；（2）分給分別元，元.【解析】（1）以獲勝、以獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；（2）求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時(shí)，的勝率，按照勝率分獎(jiǎng)金.【小問1詳解】設(shè)以獲勝、以獲勝的事件分別為，依題意要想獲勝，必須從第一局開始連勝局，；要想獲勝，則前局只能勝局，且第局勝利，故概率;【小問2詳解】設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成后勝，勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局，或者局只勝場(chǎng)，第局勝，故概率；由于兩人比賽沒有和局，獲勝的概率為，則獲勝的概率為，若勝,則可能連勝局，或者局只勝場(chǎng)，第局勝，故概率.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給元，分給元.19、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.20、（1）或；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線的方程，然后根據(jù)直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據(jù)題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設(shè)出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問1詳解】因?yàn)橹本€不過原點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問2詳解】因?yàn)椋灾本€與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設(shè)最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.21、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計(jì)算可得b的值,討論橢圓焦點(diǎn)的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點(diǎn)為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲