2025屆貴州省銅仁市碧江區(qū)銅仁一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆貴州省銅仁市碧江區(qū)銅仁一中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓上一點(diǎn)到一個焦點(diǎn)的距離為，則到另一個焦點(diǎn)的距離是（）A. B.C. D.2．傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子研究數(shù)，他們根據(jù)沙粒和石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，若：三角形數(shù)、、、、，正方形數(shù)、、、、等等.如圖所示為正五邊形數(shù)，將五邊形數(shù)按從小到大的順序排列成數(shù)列，則此數(shù)列的第4項為（）A. B.C. D.3．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.4．等差數(shù)列中，已知，，則的前項和的最小值為（）A. B.C. D.5．在等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.46．若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，7．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.108．如圖，正三棱柱中，，則與平面所成角的正弦值等于（）A. B.C. D.9．已知，,2成等差數(shù)列，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)M(x，y)的軌跡為()A. B.C. D.10．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，若是等腰三角形，且，則的周長為（）A. B.C. D.11．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數(shù)為（）A.14 B.20C.18 D.1612．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經(jīng)歷發(fā)射入軌、地月轉(zhuǎn)移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉(zhuǎn)移、環(huán)月等待、月地轉(zhuǎn)移、再入回收等11個關(guān)鍵階段.在經(jīng)過交會對接與樣品轉(zhuǎn)移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點(diǎn)（離月面最近的點(diǎn)）約為200公里，遠(yuǎn)月點(diǎn)（離月面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）約為8600公里，以月球中心為一個焦點(diǎn)的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進(jìn)行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.82二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，其漸近線方程為，焦距為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________14．已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________15．直線與圓相交于兩點(diǎn)M，N，若滿足，則________16．設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．若是該橢圓上的一個動點(diǎn)，則的最大值為_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.18．（12分）近年來，我國電子商務(wù)蓬勃發(fā)展.2016年“618”期間，某網(wǎng)購平臺的銷售業(yè)績高達(dá)516億元人民幣，與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對該網(wǎng)購平臺的商品和服務(wù)的評價系統(tǒng).從該評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進(jìn)行統(tǒng)計，網(wǎng)購者對商品的滿意率為0.6，對服務(wù)的滿意率為0.75，其中對商品和服務(wù)都滿意的交易為80次.（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”?對服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意80對商品不滿意10合計200（2）若將頻率視為概率，某人在該網(wǎng)購平臺上進(jìn)行的3次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)都滿意的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.89710.828的觀測值：（其中）.19．（12分）已知橢圓，斜率為的動直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且直線與圓相切.（1）若，求直線的方程；（2）求三角形的面積的取值范圍.20．（12分）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線l交拋物線C于M、N兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2（1）求直線l的方程；（2）設(shè)x軸上關(guān)于y軸對稱的兩點(diǎn)P、Q，（其中P在Q的右側(cè)），過P的任意一條直線交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，求證：始終被x軸平分21．（12分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）如圖，在長方體中，，，，M為上一點(diǎn)，且（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用橢圓的定義可得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，由橢圓的定義可知，到另一個焦點(diǎn)的距離是.故選：B.2、D【解析】根據(jù)前三個五邊形數(shù)可推斷出第四個五邊形數(shù).【詳解】第一個五邊形數(shù)為，第二個五邊形數(shù)為，第三個五邊形數(shù)為，故第四個五邊形數(shù)為.故選：D.3、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.4、B【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為，而，可知數(shù)列是遞增數(shù)，從而可求得結(jié)果【詳解】∵等差數(shù)列中，，∴，即．又，∴的前項和的最小值為故選：B5、B【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d，由，，得，解得.故選：B6、C【解析】根據(jù)空間向量共面的條件即可解答.【詳解】對于A，由，所以，，共面；對于B，由，所以，，共面；對于D，，所以，，共面，故選：C.7、D【解析】根據(jù)給定條件利用組合數(shù)的性質(zhì)計算作答【詳解】因為，則由組合數(shù)性質(zhì)有，即，所以n的值為10.故選：D8、C【解析】取中點(diǎn)，連接，，證明平面，從而可得為與平面所成角，再利用三角函數(shù)計算的正弦值.【詳解】取中點(diǎn)，連接，，在正三棱柱中，底面是正三角形，∴，又∵底面，∴，又，∴平面，∴為與平面所成角，由題意，，，在中，.故選：C9、A【解析】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到【詳解】已知，,2成等差數(shù)列,得到，化簡得到可知是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線的一支.故答案為A.【點(diǎn)睛】這個題目考查的是對數(shù)的運(yùn)算以及化簡公式的應(yīng)用，也涉及到了軌跡的問題，求點(diǎn)的軌跡，通常是求誰設(shè)誰，再根據(jù)題干將等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，從而列出方程，化簡即可.10、A【解析】設(shè)，．根據(jù)雙曲線的定義和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，從而可得的周長.【詳解】由雙曲線可得設(shè)，．則，，所以，因為是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周長故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)雙曲線的定義求解是解題關(guān)鍵.11、D【解析】根據(jù)題意，建立等差數(shù)列模型，結(jié)合等差數(shù)列公式求解即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)每人所出錢數(shù)成等差數(shù)列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數(shù)為.故選：D.12、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)漸近線方程、焦距可得，，再根據(jù)雙曲線參數(shù)關(guān)系、焦點(diǎn)的位置寫出雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.詳解】由題設(shè)，可知：，，∴由，可得，，又焦點(diǎn)在軸上，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點(diǎn)在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去）故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.15、【解析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合已知可得圓心到直線的距離，再由圓的弦長公式可得,然后可解.【詳解】因為，所以，所以，圓心到直線的距離因為，所以，所以故答案為：16、4【解析】設(shè)，寫出、的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有，根據(jù)橢圓的有界性即可求的最大值.【詳解】由題意知：，，若，∴，，∴，而，則，而，∴當(dāng)時，.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及橢圓的有界性求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢圓E的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量數(shù)量積運(yùn)算，推理計算作答.【小問1詳解】依題意，，半焦距為c，則離心率，即，有，所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由消去y并整理得：，設(shè)，則，，，，，，要使為定值，必有，解得，此時，當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨令，，，當(dāng)時，，即當(dāng)時，過點(diǎn)的任意直線l與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)，恒有，所以存在滿足條件.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值18、（1）列聯(lián)表見解析，能有；（2）分布列見解析，.【解析】（1）利用數(shù)據(jù)直接填寫聯(lián)列表即可，求出，即可回答是否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系；（2）由題意可得的可能值為0，1，2，3，分別可求其概率，可得分布列，進(jìn)而可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）服務(wù)滿意對服務(wù)不滿意合計對商品滿意8040120對商品不滿意701080合計15050200，因為，所以能有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對商品滿意與對服務(wù)滿意之間有關(guān)系”（2）每次購物時，對商品和服務(wù)都滿意的概率為，且的取值可以是0，1，2，3.；；；.的分布列為：0123所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立檢驗以及離散性隨機(jī)變量的分布列以及期望的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題.19、（1）或（2）【解析】（1）設(shè)直線，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可得到方程，求出，即可得解；（2）設(shè)，，，利用圓心到直線的距離等于半徑，得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，利用弦長公式表示出，再根據(jù)及基本不等式求出，最后再計算直線斜率不存在時三角形的面積，即可得解；【小問1詳解】解：圓，圓心為，半徑；設(shè)直線，即，則，解得，所以或；【小問2詳解】解：因為直線的斜率存在，設(shè)，，，即，則，所以，即，聯(lián)立，消元整理得，所以，，所以所以因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，當(dāng)軸時，取，，則，此時，所以；20、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果；（2）設(shè)，借助韋達(dá)定理表示，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由已知可設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立方程組可得，設(shè)，則又因為，得，故直線l的方程為：即為；（2）由題意可設(shè)，可設(shè)過P的直線為聯(lián)立方程組可得，顯然設(shè)，則所以所以始終被x軸平分21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直，即可證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線與平面所成角，設(shè)直線與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線與平面所成角