湖南長沙市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

湖南長沙市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知為等比數(shù)列的前n項和，，，則（）A.30 B.C. D.30或2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“，”是“為遞減數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．為比較甲、乙兩地某月時的氣溫狀況，隨機選取該月中的天，將這天中時的氣溫數(shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數(shù)字為莖，個位數(shù)字為葉）.考慮以下結(jié)論：①甲地該月時的平均氣溫低于乙地該月時的平均氣溫；②甲地該月時的平均氣溫高于乙地該月時的平均氣溫；③甲地該月時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計結(jié)論的編號為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④4．正三棱柱各棱長均為為棱的中點，則點到平面的距離為（）A. B.C. D.15．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.6．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，直線BF與橢圓C的另一個交點為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.7．已知點、為橢圓的左、右焦點，若點為橢圓上一動點，則使得的點的個數(shù)為（）A. B.C. D.不能確定8．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1179．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.110．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則A. B.2C.3 D.11．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.12．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長為（）A.16 B.8C.2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請寫出一個符合條件的數(shù)列的通項公式__________.14．已知曲線，則以下結(jié)論正確的是______.①曲線C關(guān)于點對稱；②曲線C關(guān)于y軸對稱；③曲線C被x軸所截得的弦長為2；④曲線C上的點到原點距離都不超過2.15．已知、是橢圓（）長軸的兩個端點，、是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，直線，的斜率分別為，（）．若橢圓的離心率為，則的最小值為______16．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為.（Ⅰ）求實數(shù)，的值；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點到右焦點的距離是3，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓相交于，兩點．已知點，求的值19．（12分）某企業(yè)搜集了某產(chǎn)品的投人成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）的六組數(shù)據(jù)，并將其繪制成如圖所示的散點圖.根據(jù)散點圖可以看出，y與x之間是線性相關(guān)的.（1）試用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若投入成本不高于10萬元，則可以根據(jù)（1）中的回歸方程估計產(chǎn)品銷售收入；若投入成本高于10萬元，投入成本x（單位：萬元）與銷售收入y（單位：萬元）之間的關(guān)系式為.若該企業(yè)要追求更高的毛利率（毛利率），試問該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人7萬元更好，還是選擇12萬元更好？說明你的理由.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）如圖，矩形ABCD，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知圓C經(jīng)過、兩點，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與圓C相切，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A2、A【解析】本題可依次判斷“，”是否是“為遞減數(shù)列”的充分條件以及必要條件，即可得出結(jié)果.【詳解】若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故“，”是“為遞減數(shù)列”的充分條件，因為若等比數(shù)列滿足、，則數(shù)列也是遞減數(shù)列，所以“，”不是“為遞減數(shù)列”的必要條件，綜上所述，“，”是“為遞減數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查充分條件以及必要條件的判定，考查等比數(shù)列以及遞減數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性和綜合性，考查推理能力，是簡單題.3、B【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)求出平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為由莖葉圖知乙地該月時的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為則甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的標(biāo)準(zhǔn)差，故④正確，故正確的是①④，故選：B4、C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用點面距公式求得正確答案.【詳解】設(shè)分別是的中點，根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)可知兩兩垂直，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，.設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，所以點到平面的距離為.故選：C5、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時，的最小值為.故選D.6、A【解析】設(shè)，根據(jù)得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設(shè)橢圓方程，所以，設(shè)，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A7、B【解析】利用余弦定理結(jié)合橢圓的定義可求得、，即可得出結(jié)論.【詳解】在橢圓中，，，，則，，可得，所以，，解得，此時點位于橢圓短軸的頂點.因此，滿足條件的點的個數(shù)為.故選：B.8、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C9、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B10、A【解析】利用正弦定理，可直接求出的值.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，故選A.【點睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題11、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.12、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點，結(jié)合虛軸長的定義進行求解即可.【詳解】因為雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長為，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫出一個符合題意的數(shù)列的通項公式即可.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個數(shù)列的通項公式為.故答案為：（答案不唯一）14、②④【解析】將x換成,將y換成,若方程不變則關(guān)于原點對稱；將x換成，曲線的方程不變則關(guān)于y軸對稱；令通過解方程即可求得被x軸所截得的弦長；利用基本不等式即可判斷出曲線C上y軸右側(cè)的點到原點距離是否不超過2，根據(jù)曲線C關(guān)于y軸對稱，即可判斷出曲線C上的點到原點距離是否都不超過2.【詳解】對于①，將x換成,將y換成,方程改變，則曲線C關(guān)于點不對稱，故①錯誤；對于②，將x換成，曲線的方程不變，則曲線C關(guān)于y軸對稱，故②正確；對于③，令得，，解得，即曲線C與x軸的交點為和，則曲線C被x軸所截得的弦長為，故③錯誤；對于④，當(dāng)時，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即，則，即曲線C上y軸右側(cè)的點到原點的距離都不超過2，此曲線關(guān)于y軸對稱，即曲線C上y軸左側(cè)的點到原點的距離也不超過2，故④正確；故答案為：②④.15、【解析】設(shè)出點，，，的坐標(biāo)，表示出直線，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得與的關(guān)系，則答案可求詳解】解：設(shè)，，，，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，是橢圓長軸的兩個端點，，是橢圓上關(guān)于軸對稱的兩點，，，即，的最小值為，橢圓的離心率為，，即，得，的最小值為故答案為：16、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質(zhì)即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關(guān)于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關(guān)于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）最大值為，最小值為.（Ⅱ）最大值為，最小值為.【解析】（Ⅰ）切點在函數(shù)上，也在切線方程為上，得到一個式子，切線的斜率等于曲線在的導(dǎo)數(shù)，得到另外一個式子，聯(lián)立可求實數(shù)，的值；（Ⅱ）函數(shù)在閉區(qū)間的最值在極值點或者端點處取得，通過比較大小可得最大值和最小值.【詳解】解：（Ⅰ），∵曲線在處的切線方程為，∴解得，.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，則，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，∴在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【點睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與切線方程的關(guān)系以及利用導(dǎo)函數(shù)求最值的問題.18、（1）;（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，解之即可求出結(jié)果;（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達定理以及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為橢圓的左頂點到右焦點的距離是3，所以又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【小問2詳解】因為直線的斜率為，且過右焦點，所以直線的方程為聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中設(shè)，，則，因為，所以因此的值是19、（1）（2）該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)公式計算出和，求出線性回歸方程；（2）分別求出投入成本7萬和12萬時的毛利率，比較出大小即可得到答案.【小問1詳解】，，，所以y關(guān)于x的線性回歸方程為；【小問2詳解】該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好，理由如下：當(dāng)時，，此時毛利率為×100％≈34％；當(dāng)時，，此時毛利率為=40％，因為40％>34％，所以該企業(yè)對該產(chǎn)品的投入成本選擇收人12萬元更好.20、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標(biāo)原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直，即可證明線面垂直；（2）根據(jù)（1）中所求平面的法向量，利用向量法，即可容易求得結(jié)果.【小問1詳解】矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點，∴，∴翻折后∵平面平面，且面，面，故可得面，又面，∴，故兩兩垂直，∴分別以，，為，，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：∵，則，，，，，，∵，，∴，∴，，又面，∴平面.【小問2詳解】由（1）知，平面的法向量為，又向量，則向量與法向量為所成角的余角即是直線與平面所成角，設(shè)直線與平面所成角為，向量與法向量為所成角為，則.故直線與平面所成角正弦值為.22、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂