2025屆浙江教育綠色評價聯(lián)盟高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

2025屆浙江教育綠色評價聯(lián)盟高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學(xué)高一年級有200名學(xué)生，高二年級有260名學(xué)生，高三年級有340名學(xué)生，為了了解該校高中學(xué)生完成作業(yè)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，則高二年級抽取的人數(shù)為（）A.10 B.13C.17 D.262．已知直線方程為，則其傾斜角為（）A.30° B.60°C.120° D.150°3．已知正三棱柱的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1所成角的正弦值等于A. B.C. D.4．與向量平行，且經(jīng)過點的直線方程為（）A. B.C. D.5．記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.276．已知函數(shù)在處取得極值，則的極大值為（）A. B.C. D.7．已知m，n表示兩條不同直線，表示兩個不同平面.設(shè)有兩個命題：：若，則；：若，則.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．設(shè)，則有（）A. B.C. D.9．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.10．若復(fù)數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.11．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點唯一確定一個平面B.一條直線和一個點唯一確定一個平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)12．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以點為圓心，且與直線相切的圓的方程是__________14．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝________15．已知函數(shù)f（x）=ex-2x+a有零點，則a的取值范圍是___________16．已知，則正整數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，.（1）證明：平面平面；（2）若，為棱的中點，，，求二面角的余弦值18．（12分）公差不為0的等差數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為．若，求的取值范圍19．（12分）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，數(shù)列的前項和，求.20．（12分）如圖甲，在直角三角形中，已知，，，D，E分別是的中點.將沿折起，使點A到達點的位置，且，連接，得到如圖乙所示的四棱錐，M為線段上一點.（1）證明：平面平面；（2）過B，C，M三點的平面與線段A'E相交于點N，從下列三個條件中選擇一個作為已知條件，求直線DN與平面A'BC所成角的正弦值.①；②直線與所成角的大小為；③三棱錐的體積是三棱錐體積的注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓過點，且離心率.（1）求橢圓的方程；（2）直線的斜率為，直線l與橢圓交于兩點，求的面積的最大值.22．（10分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】計算出抽樣比可得答案.【詳解】該校高中學(xué)生共有名，所以高二年級抽取的人數(shù)名.故選：B.2、D【解析】由直線方程可得斜率，根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角大小.【詳解】由題設(shè)，直線斜率，若直線的傾斜角為，則，∵，∴.故選：D3、C【解析】過作，連接，由于，故平面，所以所求直線與平面所成的角為，設(shè)棱長為，則，故，.點睛：本題主要考查空間立體幾何直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面所成的角，考查線面垂直的證明方法和常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征.由于題目所給幾何體為直三棱柱，故側(cè)棱和底面垂直，這是一個重要的隱含條件，通過作交線的垂線，即可得到高，由此作出二面角的平面角.4、A【解析】利用點斜式求得直線方程.【詳解】依題意可知，所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C6、B【解析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出參數(shù)的值，從而得到函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，即可求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的極大值；【詳解】解：因為，所以，依題意可得，即，解得，所以定義域為，且，令，解得或，令解得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在處取得極大值，在處取得極小值，所以；故選：B7、B【解析】利用直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷2個命題的真假，再利用復(fù)合命題的真值表判斷選項的正誤即可【詳解】，表示兩條不同直線，，表示兩個不同平面：若，，則也可能，也可能與相交，所以是假命題，為真命題；：令直線的方向向量為，直線的方向向量為，若，則，則，所以是真命題，所以為假命題；所以為假命題，是真命題，為假命題，是真命題，所以為假命題故選：8、A【解析】利用作差法計算與比較大小即可求解.【詳解】因為，，所以，所以，故選：A.9、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當(dāng)時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.10、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復(fù)數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當(dāng)直線與圓相切時，取得最值，設(shè)切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A11、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對每一個選項進行判斷.【詳解】對A，如果三點在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；對B，如果這個點在這條直線上，就不能確定一個平面，故B錯誤；對C，兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤.故選：C12、D【解析】原不等式等價于，根據(jù)的圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得和的解集，再分情況或解不等式即可求解.【詳解】由函數(shù)的圖象可知：在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；由可得，所以或，即或，解得：或，所以原不等式的解集為：，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】根據(jù)相切可得圓心到直線距離即為圓的半徑,利用點到直線距離公式解出半徑,即可得到圓的方程【詳解】由題,設(shè)圓心到直線的距離為,所以,因為圓與直線相切,則,所以圓的方程為,故答案為：【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關(guān)系求圓的方程,考查點到直線距離公式的應(yīng)用14、【解析】f（x）=xlnx∴f'（x）=lnx+1則f′（x0）=lnx0+1=2解得：x0=e15、【解析】根據(jù)零點定義，分離出，構(gòu)造函數(shù)，通過研究的值域來確定的取值范圍【詳解】根據(jù)零點定義，則所以令則，令解得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增所以當(dāng)時取得最小值，最小值為所以由零點的條件為所以，即的取值范圍為【點睛】本題考查了函數(shù)零點的意義，通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，分離參數(shù)法的應(yīng)用，屬于中檔題16、6【解析】根據(jù)組合數(shù)和排列數(shù)的運算即可求得答案.【詳解】由題意，，得.故答案為：6.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）由四邊形為矩形，可得，再由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得平面，進一步得到，再由，利用線面垂直的判定定理可得面，即可證得平面；（2）取的中點，連接，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由題得，解得.進而求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.詳解：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥BC.∵平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，CD平面ABCD，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PB.∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD平面PCD，∴PB⊥平面PCD.∵PB平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.（2）設(shè)BC中點為,連接，，又面面，且面面，所以面.以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）知PB⊥平面PCD，故PB⊥，設(shè)，可得所以由題得，解得.所以設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.則，所以二面角的余弦值為.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.18、（1）（2）【解析】（1）利用等比數(shù)列的定義以及等差數(shù)列的性質(zhì)，列出方程即可得到答案；（2）先求出的通項，再利用的單調(diào)性即可得到的最小值，從而求得的取值范圍【小問1詳解】依題意，，，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以【小問2詳解】，則數(shù)列是遞增數(shù)列，，所以，若，則.19、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得的值，即可求解；（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項法”即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，若成等比數(shù)列，可得，解得，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）可得，所以.【點睛】關(guān)于數(shù)列的裂項法求和的基本策略：1、基本步驟：裂項：觀察數(shù)列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；累加：將數(shù)列裂項后的各項相加；消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數(shù)列的前項和.2、消項的規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數(shù)第幾項.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得證；（2）分別選①，②，③可求得為的中點，再以為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量求得所求的線面角.【小問1詳解】分別為的中點，.，，.，，平面.又平面，∴平面平面.【小問2詳解】（2）選①，；，，，，為的中點.選②，直線與所成角的大小為；，∴直線與所成角為.又直線與所成角的大小為，，，為的中點.選③，三棱錐的體積是三棱錐體積的，又，即，為的中點.∵過三點的平面與線段相交于點平面，平面.又平面平面，，為的中點.兩兩互相垂直，∴以為坐標(biāo)原點，向量的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則；.設(shè)平面的一個法向量為，直線與平面所成的角為.由，得.令，得.則.∴直線與平面所成角的正弦值為.21、（1）；（2）2.【解析】（1）由離心率，得到，再由點在橢圓上，得到，聯(lián)立求得，即可求得橢圓的方程.（2）設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，以及點到直線的距離公式，求得，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓的離心率，即，可得，又橢圓過點，可得，將代入，可得，故橢圓方程為.（2）設(shè)的方程為，設(shè)點，聯(lián)立方程組，消去y整理，得，所以，又直線與橢圓相交，所以，解得，則，點P到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，的面積取得最大值為2.【點睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等.22、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴