（圓夢(mèng)高考數(shù)學(xué)）專題3.3 函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性（含答案及解析）

專題3.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性題型一判斷函數(shù)的奇偶性題型二利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值題型三利用奇偶性求解析式題型四函數(shù)周期性的應(yīng)用題型五函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用題型六單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題題型七對(duì)稱性、周期性與奇偶性的綜合問(wèn)題題型一 判斷函數(shù)的奇偶性例1．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（

）A． B．C． D．例2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．練習(xí)1．（2023春·北京·高三北京師大附中校考期中）下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．練習(xí)2．（2023·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)練習(xí)3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．練習(xí)4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┫铝泻瘮?shù)在其定義域內(nèi)既是嚴(yán)格增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．練習(xí)5．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．題型二 利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值例3．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┤魹槠婧瘮?shù)，則（

）A． B．2 C． D．例4．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）已知函數(shù)且，則的值為_(kāi)_________練習(xí)6．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且則（

）A．3 B．-1 C．1 D．-3練習(xí)7．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件練習(xí)8．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省通州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．練習(xí)9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）函數(shù)，若，則________．練習(xí)10．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.題型三 利用奇偶性求解析式例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)則__________．例6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_(kāi)________．練習(xí)11．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習(xí)12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為_(kāi)________．練習(xí)14．（2023秋·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，___________．練習(xí)15．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求的解析式；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．題型四 函數(shù)周期性的應(yīng)用例7．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3例8．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）定義在R上的奇函數(shù)滿足R，，且當(dāng)時(shí)，，則_________．練習(xí)16．（2023春·江西·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．－3 B．3 C．－1 D．1練習(xí)17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．－1 B． C．0 D．練習(xí)19．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)都滿足，又，則______．練習(xí)20．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎x在R上的奇函數(shù)滿足恒成立，且，則的值為_(kāi)_____．題型五 函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用例9．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，則圖象的對(duì)稱軸為（

）A． B．C． D．例10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：，且.請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的一個(gè)函數(shù)的解析式______.練習(xí)21．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱練習(xí)22．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．練習(xí)23．（2023秋·河北承德·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，若與圖象的交點(diǎn)為，則（

）A． B．0 C．4 D．8練習(xí)24．（2021春·陜西漢中·高三統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為_(kāi)_____．練習(xí)25．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出一個(gè)非常數(shù)函數(shù)同時(shí)滿足條件：①，②.則___________.題型六 單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題例11．（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第四中學(xué)校考期末）已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．例12．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為_(kāi)________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_(kāi)________練習(xí)26．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．練習(xí)27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．練習(xí)28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．練習(xí)29．（2023春·河北保定·高三保定一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．練習(xí)30．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值．(2)若時(shí)，是上的增函數(shù)，且，求的取值范圍．題型七 對(duì)稱性、周期性與奇偶性的綜合問(wèn)題例13．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足為奇函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．10例14．（山東省煙臺(tái)市2023屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．練習(xí)31．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．練習(xí)32．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知將函數(shù)的圖像向左平移1個(gè)單位后關(guān)于軸對(duì)稱，若，且，則（

）A．2 B． C．1 D．練習(xí)33．（2023春·安徽合肥·高三合肥市第八中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，且．則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①的一個(gè)周期為2；

②；③的一條對(duì)稱軸為；

④．A．1 B．2 C．3 D．4練習(xí)34．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，且對(duì)，恒成立，則（

）A．為奇函數(shù) B． C． D．練習(xí)35．（2023·重慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恒有成立，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在上是增函數(shù) B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)在處取得最小值 D．函數(shù)沒(méi)有最大值

專題3.3函數(shù)的奇偶性、周期性與對(duì)稱性題型一判斷函數(shù)的奇偶性題型二利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值題型三利用奇偶性求解析式題型四函數(shù)周期性的應(yīng)用題型五函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用題型六單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題題型七對(duì)稱性、周期性與奇偶性的綜合問(wèn)題題型一 判斷函數(shù)的奇偶性例1．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷二次函數(shù)的對(duì)稱軸，可得函數(shù)不是偶函數(shù)，判斷選項(xiàng)A，根據(jù)函數(shù)的定義域判斷選項(xiàng)B，判斷得，從而得函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷得該函數(shù)不具有最小值，從而判斷選項(xiàng)C，根據(jù)，得函數(shù)為偶函數(shù)，再利用基本不等式求解出最小值，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)A，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，不是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以不是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，定義域?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)易判斷函數(shù)無(wú)最小值，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，定義域?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)有最小值，故D正確.故選：D例2．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，，則大致圖象如圖的函數(shù)可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的奇偶性及選項(xiàng)逐項(xiàng)排除即可得到答案．【詳解】，的定義域均為，且,，所以為奇函數(shù)，為偶函數(shù).由圖易知其為奇函數(shù)，而與為非奇非偶函數(shù)，故排除AB.當(dāng)時(shí)，，排除C.故選:D．練習(xí)1．（2023春·北京·高三北京師大附中?？计谥校┫铝泻瘮?shù)是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用奇偶性定義判斷各項(xiàng)函數(shù)的奇偶性.【詳解】顯然各項(xiàng)函數(shù)的定義域均為R，，偶函數(shù)，A不符合；，奇函數(shù)，B符合；，非奇非偶函數(shù)，C不符合；，非奇非偶函數(shù)，D不符合.故選：B練習(xí)2．（2023·上海·高三專題練習(xí)）函數(shù)是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．奇函數(shù)也是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)【答案】B【分析】求出定義域，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷即可.【詳解】由函數(shù)可知，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故函數(shù)為內(nèi)的偶函數(shù).故選：B練習(xí)3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性以及單調(diào)性，結(jié)合基本初等函數(shù)的性質(zhì)，即可由選項(xiàng)逐一判斷.【詳解】對(duì)于A,的定義域?yàn)椋x域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，的定義域?yàn)椋x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以為奇函數(shù)，但在單調(diào)遞減，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，由正切函數(shù)的性質(zhì)可知為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，故D正確，故選：D練習(xí)4．（2023春·上海松江·高一上海市松江二中?？计谥校┫铝泻瘮?shù)在其定義域內(nèi)既是嚴(yán)格增函數(shù)，又是奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的判定方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)在定義域上不是嚴(yán)格的單調(diào)函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B中，函數(shù)的定義域?yàn)?，所以為非奇非偶函?shù)，不符合題意；對(duì)于C中，函數(shù)，可得，所以函數(shù)不是奇函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D中，函數(shù)，在定義域上嚴(yán)格的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，符合題意.故選：D.練習(xí)5．（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性證明函數(shù)為偶函數(shù)；分別求出，利用排除法，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除C；又，故排除AB，D符合題意.故選：D.題型二 利用奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值例3．（2023春·寧夏銀川·高二銀川一中?？计谥校┤魹槠婧瘮?shù)，則（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義，對(duì)分類討論即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若，則的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以的定義域?yàn)榍?，所以，解?所以，定義域?yàn)?令，得，故，此時(shí)經(jīng)檢驗(yàn)，為奇函數(shù).故選：C.例4．（2023春·河北保定·高三保定一中?？计谥校┮阎瘮?shù)且，則的值為_(kāi)_________【答案】【分析】由函數(shù)的解析式發(fā)現(xiàn)，它是由一個(gè)奇函數(shù)加一個(gè)常數(shù)的形式，再注意到已知的函數(shù)值和要求的函數(shù)值，它們的自變量互為相反數(shù)，所以可以直接代入利用奇函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?/p>

，故答案為：.練習(xí)6．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且則（

）A．3 B．-1 C．1 D．-3【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可知，解方程組即可求得.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，則所以兩式相加可得，即故選：A.練習(xí)7．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）“”是“函數(shù)是奇函數(shù)”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，解得，判斷與的互推關(guān)系，即可得到答案.【詳解】當(dāng)函數(shù)為奇函數(shù)，則，解得.所以“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.練習(xí)8．（2022秋·江蘇南通·高一江蘇省通州高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)是偶函數(shù)，則的最小值為（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)為偶函數(shù)求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由為偶函數(shù)可得，即，所以．因?yàn)?，且，，所以，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值4．故選：A練習(xí)9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考三模）函數(shù)，若，則________．【答案】3【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合計(jì)算即可求解.【詳解】由題得，∴，所以．故答案為：3.練習(xí)10．（2023·上海金山·統(tǒng)考二模）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則__________.【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，故答案為：.題型三 利用奇偶性求解析式例5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)則__________．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，先求當(dāng)時(shí)，，，再進(jìn)一步求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則．故答案為：.例6．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？计谥校┮阎嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為_(kāi)________．【答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)的定義求出時(shí)的解析式作答.【詳解】是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，的表達(dá)式為.故答案為：練習(xí)11．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考三模）函數(shù)的定義域?yàn)椋桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義可得，再利用基本不等式求最小值.【詳解】由題意可得，解得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.練習(xí)12．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．若，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合已知等式可得，聯(lián)立可得，即得答案.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，，故，即，將該式和相減可得，則，故選：C練習(xí)13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的解析式為_(kāi)________．【答案】【分析】利用函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，所以.綜上所述，.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式的步驟：（1）設(shè)：要求哪個(gè)區(qū)間的解析式，就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間；（2）代：利用已知區(qū)間的解析式代入進(jìn)行推導(dǎo)；（3）轉(zhuǎn)：根據(jù)的奇偶性，把寫(xiě)成或，從而解出.練習(xí)14．（2023秋·安徽蕪湖·高三統(tǒng)考期末）函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，___________．【答案】【分析】由偶函數(shù)的定義求解．【詳解】時(shí)，，是偶函數(shù)，∴，故答案為：．練習(xí)15．（2022秋·安徽馬鞍山·高三安徽省馬鞍山市第二十二中學(xué)?？计谥校┮阎嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求的解析式；(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，則，，然后由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)求解的解析式.（2）在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，根據(jù)方程有兩個(gè)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】（1）設(shè)，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以所以；（2）在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)解，所以函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象知：或，所以的取值范圍是.題型四 函數(shù)周期性的應(yīng)用例7．（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考三模）已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意推出函數(shù)的周期以及滿足等式，賦值求得，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，所以的周期?，又為奇函數(shù)，所以，所以，令，得，所以,所以，故選：C.例8．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考三模）定義在R上的奇函數(shù)滿足R，，且當(dāng)時(shí)，，則_________．【答案】1012【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，且，所以，故是周期為4的周期函數(shù)．所以，令,可得，所以，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)且周期為4，所以，則，則．故答案為:1012.練習(xí)16．（2023春·江西·高三江西師大附中?？茧A段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A．－3 B．3 C．－1 D．1【答案】D【分析】根據(jù)，可得，從而可得函數(shù)的周期，再根據(jù)函數(shù)的周期性計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，則.故選：D.練習(xí)17．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】通過(guò)，和的方程聯(lián)立，得到，根據(jù)函數(shù)的周期性賦值求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②聯(lián)立，可得,得③把①代入③可得，即，故，故選：C.練習(xí)18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【分析】先利用求出函數(shù)的周期，利用周期性轉(zhuǎn)化代入即可求解.【詳解】依題意，因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)的周期為4，所以.又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以.故選：B.練習(xí)19．（2023·廣東·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)都滿足，又，則______．【答案】/【分析】首先確定函數(shù)的周期，再根據(jù)條件和函數(shù)的周期，求函數(shù)值.【詳解】根據(jù)題意，，顯然，所以，

所以，所以函數(shù)的周期為8，所以.故答案為：練習(xí)20．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀┮阎x在R上的奇函數(shù)滿足恒成立，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】由函數(shù)的奇偶性得到，且，結(jié)合函數(shù)的周期和，求出，得到答案.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，故，且，又，所以，且，當(dāng)時(shí)，，故，解得：，種，當(dāng)時(shí)，，又，所以，故.故答案為：-1題型五 函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用例9．（2023·湖北·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，則圖象的對(duì)稱軸為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，故，整理得到，所以圖象的對(duì)稱軸為.故選：C.例10．（2023·浙江·高三專題練習(xí)）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：，且.請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的一個(gè)函數(shù)的解析式______.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)已知，且得出對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，確定一個(gè)具體函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?得出對(duì)稱中心，且得出對(duì)稱軸為軸，且周期為4的函數(shù)都可以.故答案為：練習(xí)21．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則的圖象（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于直線對(duì)稱 D．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱【答案】B【分析】利用函數(shù)的對(duì)稱性及奇偶性即可求解.【詳解】對(duì)于A，由，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．故B正確；對(duì)于C，由，所以不是偶函數(shù)，故的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，所以不是奇函數(shù)，故的圖象不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D錯(cuò)誤；故選：B.練習(xí)22．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，則（

）A． B．0 C．1 D．2．【答案】B【分析】由奇偶性及對(duì)稱性得函數(shù)的周期性，由周期性計(jì)算函數(shù)值，【詳解】由及是奇函數(shù)得，，所以，所以是周期函數(shù)，周期為4，，故選：B．練習(xí)23．（2023秋·河北承德·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，若與圖象的交點(diǎn)為，則（

）A． B．0 C．4 D．8【答案】D【分析】由和的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，利用對(duì)稱性求解.【詳解】由可知的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以.故選：D練習(xí)24．（2021春·陜西漢中·高三統(tǒng)考期中）已知二次函數(shù)，滿足，且，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性求得正確答案.【詳解】由于，所以二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，由于，所以開(kāi)口向上，在上遞減；在上遞增，由得，即，所以不等式的解集為.故答案為：練習(xí)25．（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）寫(xiě)出一個(gè)非常數(shù)函數(shù)同時(shí)滿足條件：①，②.則___________.【答案】（形如或或或）【分析】根據(jù)函數(shù)所滿足的周期性、對(duì)稱性寫(xiě)出滿足條件的函數(shù)即可.【詳解】因?yàn)?，，所以函?shù)周期，函數(shù)對(duì)稱軸為，故可取函數(shù)，故答案為：（答案不唯一，形如或或或都可以）題型六 單調(diào)性與奇偶性的綜合問(wèn)題例11．（2022秋·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市第四中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意先求出函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)且關(guān)于直線對(duì)稱，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱性即可求解.【詳解】∵當(dāng)時(shí)，恒成立，∴當(dāng)時(shí)，，即，∴函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∵函數(shù)是偶函數(shù)，即，∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，∴，又函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，∴，即，∴，故選：B.例12．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤艉瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為_(kāi)________；若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)．則不等式的解集為_(kāi)________【答案】【分析】第一空利用奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可，第二空利用單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.【詳解】令，即，則；由題意可得：.故答案為：；練習(xí)26．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在上是增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別對(duì)每個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)進(jìn)行奇偶性和增減性分析即可.【詳解】對(duì)于，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，又在上是增函數(shù)，所以正確；對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且定義域?yàn)?，所以錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，但在上為減函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，但在上是減函數(shù)，所以錯(cuò)誤.故選:A.練習(xí)27．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化不等式．再解不等式即可.【詳解】由得，即函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所以為上的偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減，又都是在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，可得，所以，且，解得或，所以不等式的解集為.故選：D練習(xí)28．（2023秋·浙江杭州·高三杭州市長(zhǎng)河高級(jí)中學(xué)?？计谀┤羰瞧婧瘮?shù)，且在上是增函數(shù)，又，則的解是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求得且在上是增函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)得出且或且，最后取并集．【詳解】解：函數(shù)為奇函數(shù)，，，函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，所以當(dāng)或時(shí)，當(dāng)或時(shí)，對(duì)于，則或，解得或的取值范圍是．故選：D．練習(xí)29．（2023春·河北保定·高三保定一中?？计谥校┮阎瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．(1)求函數(shù)的解析式．(2)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，利用，可得解析式；（2）利用函數(shù)的奇偶性，根據(jù)單調(diào)性可去掉符號(hào)“f”，再考慮到定義域即可求出a的范圍．【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，設(shè)，則，則,因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，則．（2）當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，由奇函數(shù)可知是定義在[﹣3，3]上的增函數(shù)，又∵，∴，故有：，則有，解得：所以實(shí)數(shù)a取值范圍是：練習(xí)30．（2023春·陜西咸陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值．(2)若時(shí)，是上的增函數(shù)，且，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求的值．（2）利用函數(shù)單調(diào)性和奇偶性解抽象不等式知識(shí)即可求的取值范圍．【詳解】（1）函數(shù)是奇函數(shù)．（2）若時(shí)，即時(shí)，是奇函數(shù)又是增函數(shù)，且，可得，，即的取值范圍是.題型七 對(duì)稱性、周期性與奇偶性的綜合問(wèn)題例13．（2023·新疆喀什·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足為奇函數(shù)且，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意推得，得到函數(shù)的周期為，利用函數(shù)的周期性和對(duì)稱，結(jié)合，代入即可求解.【詳解】由為奇函數(shù)，可得函數(shù)的對(duì)稱中心為，即又由，則的對(duì)稱軸為，即，所以，即，又由，所以，即函數(shù)的周期為，則.故選：D.例14．（山東省煙臺(tái)市2023屆高考適應(yīng)性練習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題）（多選）定義在上的函數(shù)滿足，是偶函數(shù)，，則（

）A．是奇函數(shù) B．C．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D．【答案】ABD【分析】利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性、周期性求解即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，∵是偶函數(shù)，∴，∴函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∵，∴，∴是奇函數(shù)，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，∵，∴，∴,∴的周期為，∴，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則，但是，，即，這與假設(shè)條件矛盾，則選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，將代入，得，將，代入，得，同理可知，又∵的周期為，∴正奇數(shù)項(xiàng)的周期為，∴，則正確.故選：ABD.練習(xí)31．（2023·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定的條件，探求函數(shù)的性質(zhì)，再逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】