（圓夢高考數(shù)學）專題10.4 二項式定理（含答案及解析）

專題10.4二項式定理題型一利用二項展開式求指定項題型二利用二項展開式求有理項題型三兩個多項式乘積的指定項題型四三項展開式的指定項題型五整除和余數(shù)問題題型六二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和題型七奇（偶）項系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和題型八二項式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值題型九二項式與導數(shù)的交匯題型一 利用二項展開式求指定項例1．二項式展開式中的含項的系數(shù)為_____．例2．已知多項式，則_____.練習1．已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的項的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560練習2．的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)的值為_____．練習3．已知多項式，則_____.練習4．若，則_____.練習5．已知二項式展開式中含有常數(shù)項，則滿足條件的一個n的值為_____．題型二 利用二項展開式求有理項例3．已知的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于16.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.例4．在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列．(1)證明展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中所有的有理項．練習6．的展開式中所有有理項系數(shù)之和為（）A． B． C． D．練習7．已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個有理項_____．練習8．（多選）二項式的展開式中的有理項為（

）A． B． C． D．練習9．（多選）展開式的有理項為（

）A． B．80 C． D．練習10．在的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.題型三 兩個多項式乘積的指定項例5．已知的所有項的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．例6．的展開式中的系數(shù)是_____.練習11．展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C．24 D．9練習12．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為_____.練習13．的展開式常數(shù)項是_____.（用數(shù)字作答）練習14．已知的展開式中x的系數(shù)為2，則實數(shù)a的值為_____．練習15．若的展開式中沒有常數(shù)項，則的可能取值是（

）A． B． C． D．題型四 三項展開式的指定項例7．展開式中含項的系數(shù)為_____．例8．的展開式中的系數(shù)為_____．練習16．展開式中的系數(shù)為_____（用數(shù)字作答）．練習17．的展開式的常數(shù)項為_____．練習18．在的展開式中，形如的所有項系數(shù)之和是_____．練習19．已知的展開式中各項系數(shù)和為1024，則展開式中不含的所有項系數(shù)和等于_____.練習20．已知常數(shù)，的二項展開式中項的系數(shù)是780，則m的值為_____．題型五 整除和余數(shù)問題例9．若，且（，且），則（

）A．1 B．2 C．15 D．16例10．若，則被5除所得的余數(shù)為_____．練習21．除以1000的余數(shù)是_____．練習22．除以所得的余數(shù)是_____.練習23．被4除的余數(shù)為_____.練習24．若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為_____．練習25．被除的余數(shù)是_____.題型六 二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和例11．已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32例12．在的展開式中，各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64，則的系數(shù)為_____.練習26．已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．36 B．30 C．15 D．10練習27．若，則_____．練習28．（多選）已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為256，則（

）A． B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中常數(shù)項為16 D．展開式中所有項的系數(shù)和為1練習29．（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128 B．展開式中所有項的系數(shù)和為C．展開式中含項的系數(shù)為 D．展開式中二項式系數(shù)的最大項為第四項練習30．的展開式中，各項的二項式系數(shù)和是_____，各項系數(shù)和是_____．題型七 奇（偶）項系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和例13．若，則_____.（用數(shù)字作答）例14．若，請分別求出下列的值(1)(2)(3)練習31．（多選）已知，則（

）A． B．C． D．練習32．（多選）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．練習33．（多選）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．練習34．若，則_____.練習35．設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．題型八 二項式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值例15．的展開式中二項式系數(shù)最大的為，則不可能為（

）A．10 B．11 C．12 D．13例16．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項．練習36．（多選）關(guān)于的說法正確的是（

）．A．展開式中二項式系數(shù)之和為1024 B．展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大C．展開式中只有第6項的系數(shù)最小 D．展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大練習37．（多選）已知為滿足能被9整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第7項系數(shù)最小 B．第6項二項式系數(shù)最大C．第7項二項式系數(shù)最大 D．第6項系數(shù)最小練習38．已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為.(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)和；(2)求展開式中的常數(shù)項；(3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.練習39．在的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和等于.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項為，試求展開式中系數(shù)最大的項.練習40．已知二項式．(1)求展開式中的有理項；(2)求展開式中系數(shù)最大的項．題型九 二項式與導數(shù)的交匯例17．若，且，則=（

）A．650 B．405 C．810 D．1620例18．（多選）已知，若，則有（

）A．B．C．D．練習41．設(shè)，則的值是（

）A．1008 B．1009 C．2016 D．2017練習42．已知，其中，則A．182 B． C． D．練習43．（多選）已知，則（

）A．B．C．D．練習44．若，若（），則_____.練習45．已知，且.(1)求的值(2)求展開式中的奇次項系數(shù)之和(3)求的值

專題10.4二項式定理題型一利用二項展開式求指定項題型二利用二項展開式求有理項題型三兩個多項式乘積的指定項題型四三項展開式的指定項題型五整除和余數(shù)問題題型六二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和題型七奇（偶）項系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和題型八二項式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值題型九二項式與導數(shù)的交匯題型一 利用二項展開式求指定項例1．二項式展開式中的含項的系數(shù)為．【答案】-40【分析】根據(jù)二項式定理寫出展開式通項，利用賦值法，可得答案.【詳解】二項式展開式的通項為，令，則.故答案為：.例2．已知多項式，則.【答案】16【分析】令，運用換元法將等式變成，結(jié)合二項展開式的通項公式、賦值即可求得結(jié)果.【詳解】令，則，因為的展開式的通項為，，所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數(shù)項為1，又因為的展開式的通項為，，所以令可得的展開式中一次項為，令可得的展開式的常數(shù)項為，所以.故答案為：16.練習1．已知的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，則展開式中的項的系數(shù)為（

）A．―4 B．84 C．―280 D．560【答案】B【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得，再根據(jù)二項式展開的通項即可求得指定項的系數(shù).【詳解】因為的展開式中第4項與第5項的二項式系數(shù)相等，所以．則又因為的展開式的通項公式為，令，所以展開式中的項的系數(shù)為．故選：B.練習2．的展開式中的系數(shù)為，則實數(shù)的值為．【答案】【分析】利用二項展開式的通項即可得出答案．【詳解】解：，令，得，故，由題意知，即，解得.故答案為：.練習3．已知多項式，則.【答案】74【分析】利用二項展開式的通項分別求得和的展開式的項，進而求得的值.【詳解】對于，其二項展開式的通項為，令，得，故，對于，其二項展開式的通項為，令，得，故，所以.故答案為：74.練習4．若，則.【答案】【分析】將化為，后由二項式定理可得答案.【詳解】，設(shè)展開式通項為，令，則.設(shè)展開式通項為，令，則.則.故答案為：練習5．已知二項式展開式中含有常數(shù)項，則滿足條件的一個n的值為．【答案】6（答案不唯一）【分析】寫出二項式的通項，根據(jù)已知列式，求解即可．【詳解】二項式展開式的通項為，∵展開式中含有常數(shù)項，∴有解，∴，當時，．故答案為：6（答案不唯一）．題型二 利用二項展開式求有理項例3．已知的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于16.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.【答案】(1)5(2)，，【分析】（1）根據(jù)題意得到，結(jié)合組合數(shù)的計算公式，即可求解的值；（2）求得展開式的通項，結(jié)合題意確定的值，即可求解.【詳解】（1）解：由的展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于，可得，即，解得或（舍）所以的值為.（2）解：由（1）知，二項式展開式的通項為，，當時，可得，此時展開式得到的為有理項，所以展開式中所有的有理項為，，.例4．在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列．(1)證明展開式中沒有常數(shù)項；(2)求展開式中所有的有理項．【答案】(1)證明見解析(2)和【分析】（1）先根據(jù)第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列列方程求出，再寫出展開式的通式，令的次數(shù)為計算即可；（2）求出使的次數(shù)為整數(shù)的，然后代入展開式的通式計算即可.【詳解】（1）由第2，3，4項的二項式系數(shù)依次成等差數(shù)列得解得（舍去）或的展開式的通式為令，得故展開式中沒有常數(shù)項；（2）令，則，，展開式中的有理項為和練習6．的展開式中所有有理項系數(shù)之和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的展開式的通項，要使為有理項，需，又因為的展開式的通項為，則兩個二項式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和，然后利用賦值法求解.【詳解】的展開式的通項為，要使為有理項，需，又因為的展開式的通項為，則兩個二項式的展開式的系數(shù)相等，所以問題可以轉(zhuǎn)化為求的展開式的所有偶數(shù)項的系數(shù)之和，令，令，則①，令，則②，則①+②可得：，則的展開式中所有有理項系數(shù)之和為.故選：C．練習7．已知的展開式中只有第5項的二項式系數(shù)最大，寫出展開式中的一個有理項．【答案】（或，或，寫出其中一個即可）【分析】由二項式定理求解【詳解】由題意知展開式中共有9項，所以，所以的展開式的通項為，，．若為有理項，則，所以，4，8，故展開式中所有的有理項為，，．故答案為：（或，或，寫出其中一個即可）練習8．（多選）二項式的展開式中的有理項為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先得到通項公式，當或或時為有理項，求出答案.【詳解】的通項公式，當或或時，為有理項，當時，，D正確；當時，，C正確；當時，，A正確.故選：ACD練習9．（多選）展開式的有理項為（

）A． B．80 C． D．【答案】AD【分析】先求出二項式展開式的通項公式，然后由的次數(shù)為整數(shù)可求出的值，從而可求出展開式中的有理項.【詳解】展開式的通項，由，∴或，當時，，當時，．故選：AD．練習10．在的展開式中，第4項的系數(shù)與倒數(shù)第4項的系數(shù)之比為.(1)求的值；(2)求展開式中所有的有理項.【答案】(1)(2)所有的有理項為，，，【分析】（1）寫出展開式的通項，求出其第4項系數(shù)和倒數(shù)第4項系數(shù)，列出方程即可求出n的值；（2）令的指數(shù)為整數(shù)，由此求出展開式的有理項．【詳解】（1）由題意知：，則第4項的系數(shù)為，倒數(shù)第4項的系數(shù)為，則有，即；（2）由（1）可得，當時，所有的有理項為，即，.題型三 兩個多項式乘積的指定項例5．已知的所有項的系數(shù)和為3，則的系數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意令中即可求得的值，進一步若要得到，由分類加法以及分步乘法計數(shù)原理再結(jié)合組合數(shù)即可求解.【詳解】由題意令中即可得到，解得，此時變?yōu)榱?，若要得到這一項分以下兩種情形：情形一：第一步若取中的,則第二步只能取1個中的，取3個中的，所以由分步乘法計數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形一所對應(yīng)的的系數(shù)為；情形二：第一步若取中的,則第二步能取2個中的，取2個中的，所以由分步乘法計數(shù)原理以及組合數(shù)可知情形二所對應(yīng)的的系數(shù)為.因此由分類加法計數(shù)原理可知的展開式中的系數(shù)為.故選：D.例6．的展開式中的系數(shù)是.【答案】【分析】寫出的展開式的通項，然后對分類求得答案．【詳解】展開式的通項為，，①令，則；②令，則；綜上可得：展開式中項的系數(shù)為．故答案為：．練習11．展開式中的系數(shù)是（

）A． B． C．24 D．9【答案】A【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】依題意，展開式中含的項為：，所以的系數(shù)是.故選：A練習12．已知的展開式中各項系數(shù)的和為，則該展開式中的系數(shù)為.【答案】【分析】令，求得a，再利用二項展開通項公式即可求得含項的系數(shù).【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)的和為，所以令，得，解得，所以，因為的二項展開通項公式為，，則展開式中含的項為，故該展開式中的系數(shù)為，故答案為：.練習13．的展開式常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）【答案】7【分析】根據(jù)乘法的運算法則，結(jié)合二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】展開式第項，所以展開式中常數(shù)項是：，所以的展開式常數(shù)項是7.故答案為：7練習14．已知的展開式中x的系數(shù)為2，則實數(shù)a的值為．【答案】10【分析】根據(jù)多項式乘法，展開式中含有x的一次項為，求其系數(shù)即可.【詳解】的展開式中含有x的一次項為，其系數(shù)為，解得.故答案為：10.練習15．若的展開式中沒有常數(shù)項，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】由于的展開式中沒有常數(shù)項，所以的展開式中沒有常數(shù)項，也沒有含的項，二項式展開式的通項公式為，所以且，所以且，即被除時，余數(shù)為，所以AD選項正確，BC選項錯誤.故答案為：AD題型四 三項展開式的指定項例7．展開式中含項的系數(shù)為．【答案】-160【分析】變形為，寫出通項公式，求出，得到答案.【詳解】變形為，故通項公式得，其中的通項公式為，故通項公式為，其中，，令，解得，故.故答案為：-160例8．的展開式中的系數(shù)為．【答案】92【分析】由于，根據(jù)二項式定理分別求得和的展開式的通項，從而分析可得的系數(shù).【詳解】，又展開式的通項，展開式的通項，所以含的項為則含的系數(shù)為.故答案為：.練習16．展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】【分析】根據(jù)多項式乘積的性質(zhì)即可求解．【詳解】由于表示5個因式的乘積，故其中有2個因式取，2個因式取，剩余的一個因式取，可得含的項，故展開式中的系數(shù)為，故答案為：．練習17．的展開式的常數(shù)項為．【答案】30【分析】根據(jù)多項式乘積的性質(zhì)分別進行討論求解即可．【詳解】每個括號內(nèi)有，，，若的5項式乘積中先選，顯然不會超過2項．①，顯然不可能出現(xiàn)的項；②再考慮，展開式中，唯有取會出現(xiàn)常數(shù)項，為．③而，不可能出現(xiàn)常數(shù)項．故答案為：30．練習18．在的展開式中，形如的所有項系數(shù)之和是．【答案】320【分析】由二項式定理求解三項展開式中的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項為．令，得．令，得所求系數(shù)之和為．故答案為：320練習19．已知的展開式中各項系數(shù)和為1024，則展開式中不含的所有項系數(shù)和等于.【答案】213【分析】直接利用二項式的展開式和項的系數(shù)及賦值法的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】因為的展開式中各項系數(shù)和為1024，令，整理得，解得；故的展開式滿足，令時，的展開式滿足，令，解得，故含的所有項系數(shù)為，由于的所有項的系數(shù)和滿足當，時，所有項的系數(shù)和為，故不含的所有項系數(shù)和等于．故答案為：213．練習20．已知常數(shù)，的二項展開式中項的系數(shù)是780，則m的值為．【答案】3【分析】轉(zhuǎn)化為，利用展開式的通項公式討論計算即可.【詳解】=，設(shè)其通項為，設(shè)的通項為，要求項的系數(shù)，只有為偶數(shù)，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，此時項的系數(shù)為，當，不合題意，故項的系數(shù)為.故答案為：3題型五 整除和余數(shù)問題例9．若，且（，且），則（

）A．1 B．2 C．15 D．16【答案】D【分析】根據(jù)題意，由二項式定理可得，然后結(jié)合條件可得可以被17整除，即可得到結(jié)果.【詳解】，因為能被17整除，所以可以被17整除，即能被17整除，因為且，所以.故選：D.例10．若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【分析】取，可以求得，進而根據(jù)二項式定理展開，判斷被5除得的余數(shù).【詳解】由題知時，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1練習21．除以1000的余數(shù)是．【答案】24【分析】由題意可得，展開，結(jié)合二項式定理即可得答案.【詳解】解：因為，所以除以1000的余數(shù)是：.故答案為：24練習22．除以所得的余數(shù)是.【答案】22【分析】由，利用二項式定理展開，注意有余數(shù)的項，即可得余數(shù).【詳解】法一：由，前9項可以被整除，而，故余數(shù)為.法二：由，而，故余數(shù)為.故答案為：練習23．被4除的余數(shù)為.【答案】1【分析】根據(jù)二項式定理，可得答案.【詳解】因為，且2024可以被4整除，所以余數(shù)為1.故答案為：1.練習24．若能被13整除，則m的最小正整數(shù)取值為．【答案】12【分析】由于，利用二項式定理展開可求得結(jié)果.【詳解】因為能被13整除，所以是13的倍數(shù)時，能被13整除，所以m的最小正整數(shù)取值為12，故答案為：12練習25．被除的余數(shù)是.【答案】【分析】依題意可得原式，再根據(jù)二項式的展開式計算可得.【詳解】.所以被除的余數(shù)是.故答案為：題型六 二項式系數(shù)之和及系數(shù)之和例11．已知，，若，則該展開式各項的二項式系數(shù)和為（

）A．81 B．64 C．27 D．32【答案】D【分析】根據(jù)二項式定理求出，，根據(jù)求出n的值，從而可求解.【詳解】，，∴，解得，∴該展開式各項的二項式系數(shù)和為.故選：D例12．在的展開式中，各項系數(shù)之和與二項式系數(shù)之和的比為64，則的系數(shù)為.【答案】135【分析】根據(jù)各項系數(shù)和和二項式系數(shù)和的關(guān)系建立方程求出的值，然后求出展開式的通項公式令的次數(shù)等于3進行求解即可．【詳解】令，得各項系數(shù)和為，二項式系數(shù)和為，則，得，展開式的通項公式為，由，得，則，則的系數(shù)為135，故答案為：135．練習26．已知，二項式的展開式中所有項的系數(shù)和為64，則展開式中的常數(shù)項為（

）A．36 B．30 C．15 D．10【答案】C【分析】先根據(jù)“所有項的系數(shù)和”求得，然后利用二項式展開式的通項公式求得正確答案.【詳解】令，則可得所有項的系數(shù)和為且，解得，∵的展開式中的通項，∴當時，展開式中的常數(shù)項為.故選：C練習27．若，則．【答案】64【分析】賦值令，即可求解．【詳解】令，則.故答案為：64．練習28．（多選）已知的展開式的各二項式系數(shù)的和為256，則（

）A． B．展開式中的系數(shù)為C．展開式中常數(shù)項為16 D．展開式中所有項的系數(shù)和為1【答案】ABD【分析】由二項式系數(shù)和求，利用展開式的通項求的系數(shù)和常數(shù)項，令求展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】由二項式系數(shù)之和為，可得，A選項正確；展開式的通項為，時，，展開式中的系數(shù)為，B選項正確；時，，展開式中常數(shù)項為，C選項錯誤；中，令，得展開式中所有項的系數(shù)和為，D選項正確.故選：ABD練習29．（多選）在的展開式中，下列說法正確的有（

）A．展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128 B．展開式中所有項的系數(shù)和為C．展開式中含項的系數(shù)為 D．展開式中二項式系數(shù)的最大項為第四項【答案】AC【分析】選項A：利用二項式系數(shù)和的性質(zhì)即可求解；選項B：令x＝1即可求解；選項C：根據(jù)二項式定理即可求解；選項D：根據(jù)n＝8以及二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】選項A：展開式中所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)和，故A正確；選項B：令，則展開式中所有項的系數(shù)和為，故B錯誤；選項C：展開式的通項為，則展開式中含的系數(shù)為，故C正確；選項D：因為n＝8，所以展開式中二項式系數(shù)的最大項為第5項，故D錯誤.故選：AC．練習30．的展開式中，各項的二項式系數(shù)和是，各項系數(shù)和是．【答案】1【分析】用二項式系數(shù)和公式可求二項式系數(shù)之和；用賦值法，令變量為1，可求得系數(shù)之和.【詳解】中,二項式系數(shù)之和為,中，令，可得各項系數(shù)之和為.故答案為：1024；1.題型七 奇（偶）項系數(shù)之和及絕對值型系數(shù)之和例13．若，則.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】利用賦值法求解即可.【詳解】因為，令，則，令，則，兩式相加得：，則.故答案：.例14．若，請分別求出下列的值(1)(2)(3)【答案】(1)1(2)(3)【分析】（1）令，即可求出答案；（2）把求和問題轉(zhuǎn)化為二項式的展開式的各個項的系數(shù)和，令即可求解；（3）利用導數(shù)及賦值法即可得解.【詳解】（1）由，令得，所以.（2）因為的和為二項式的展開式的各個項的系數(shù)和，令則；（3）令，則，且，令，則，且，所以.練習31．（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)二項式定理以及賦值法相關(guān)知識直接計算求解即可.【詳解】對于A，令，得到，故A正確；對于B，的通項公式為，令，得到，令，得到，所以，故B錯誤；對于C，令，得到，故C正確；對于D，令，則，又因為，兩式相減得，則，故D正確.故選：ACD練習32．（多選）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】令，可判定A正確；求得展開式的通項，令，可判定B錯誤；由，令，可判定C正確；兩邊求導數(shù)得到，令，進而可判定以D錯誤.【詳解】由，對于A中，令，可得，所以A正確；對于B中，由二項式展開式的通項為，令，可得，所以B錯誤；對于C中，由展開式的通項知：當時，可得展開式的系數(shù)為正值，當時，可得展開式的系數(shù)為負值；所以，令，可得，即，所以C正確；對于D中，由，兩邊求導數(shù)，可得，令，可得，又由，所以，所以D錯誤.故選：AC.練習33．（多選）設(shè)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由二項式展開式通項求得判斷A；賦值法令、且求部分項系數(shù)和判斷B、C；確定各項系數(shù)正負，去絕對值符號求判斷D.【詳解】由題設(shè)，二項式展開式通項為，所以，時，時，故，A對；又，即，令，即，則①，B錯；令，即，則②，由①②得：，則，C對；由知：展開式奇數(shù)項系數(shù)為負，偶數(shù)項系數(shù)為正，所以，而，故，即，D對.故選：ACD練習34．若，則.【答案】【分析】利用賦值法令、分別求出、，再解得即可.【詳解】因為，令可得，令可得，所以.故答案為：練習35．設(shè)．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由求出的值，求出的值，即可求出的值；（2）由求出的值，由求出的值，兩式相減即可求出的值；（3）根據(jù)展開式的通項公式知，結(jié)合展開式的各項系數(shù)，即可求出的值．【詳解】（1）由，令，得，則；令，得，則，所以；（2）令，得①，令，得②，①②得，，所以；（3）根據(jù)展開式的通項公式知，，為負，，為正；令，所以．題型八 二項式系數(shù)的最值及系數(shù)的最值例15．的展開式中二項式系數(shù)最大的為，則不可能為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的概念和組合數(shù)的運算公式求解.【詳解】根據(jù)二項式系數(shù)的對稱關(guān)系，當時，所有二項式系數(shù)中，最大；當時，所有二項式系數(shù)中，，且均為最大；當時，所有二項式系數(shù)中，最大；當時，所有二項式系數(shù)中，，且均為最大；故選:A.例16．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)最大的項；(2)系數(shù)絕對值最大的項．【答案】(1)(2)、【分析】（1）由二項式判斷二項式系數(shù)最大的項，利用展開式通項公式求對應(yīng)項；（2）利用不等式法求出系數(shù)絕對值最大的項，利用展開式通項公式求系數(shù)絕對值最大的項；【詳解】（1）由題設(shè)，二項式展開式共有項，故第5項二項式系數(shù)最大，又展開式通項為，，則.（2）系數(shù)絕對值最大，只需，且，所以，則，所以，可得，故或3時系數(shù)絕對值最大，即對應(yīng)展開式中的第3和4項，則，.練習36．（多選）關(guān)于的說法正確的是（

）．A．展開式中二項式系數(shù)之和為1024 B．展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大C．展開式中只有第6項的系數(shù)最小 D．展開式中第5項和第6項的二項式系數(shù)最大【答案】ABC【分析】由二項式直接求二項式系數(shù)之和及二項式系數(shù)最大的項，利用展開式通項分析并求出最小項，即可判斷各項的正誤.【詳解】A：展開式中二項式系數(shù)之和為，正確；由題設(shè)，展開式共有11項，故第6項的二項式系數(shù)最大，B對，D錯；C：由且，顯然奇數(shù)項系數(shù)為正，偶數(shù)項系數(shù)為負，所以，第6項系數(shù)最小為，正確.故選：ABC練習37．（多選）已知為滿足能被9整除的正整數(shù)的最小值，則的展開式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第7項系數(shù)最小 B．第6項二項式系數(shù)最大C．第7項二項式系數(shù)最大 D．第6項系數(shù)最小【答案】BD【分析】由已知可得，則可得，可求得，然后利用二項式的性質(zhì)可得結(jié)論.【詳解】因為因為，所以S能被9整除的正整數(shù)a的最小值是，得，所以，所以的展開式中，二項式系數(shù)最大的項為第6項，的展開式的通項公式為，因為第6項的系數(shù)為負數(shù)，所以第6項系數(shù)最小，故選：BD．練習38．已知展開式前三項的二項式系數(shù)和為.(1)求展開式中各項的二項式系數(shù)和；(2)求展開式中的常數(shù)項；(3)求展開式中二項式系數(shù)最大的項.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知求參數(shù)n，進而求二項式系數(shù)和.（2）利用二項式通項公式求常數(shù)項；（3）根據(jù)項數(shù)直接寫出二項式系數(shù)最大的項.【詳解】（1）由題意，展開式前三項的二項式系數(shù)和為.二項式定理展開前三項二項式系數(shù)和為：，解得：或（舍去），即的值為，故有展開式中，各項二項式系數(shù)之和為.（2）由通項公式，，令，可得：.展開式中的常數(shù)項為；（3）是偶數(shù)，展開式共有項，則第四項最大，展開式中二項式系數(shù)最大的項為.練習39．在的展開式中，前三項的二項式系數(shù)之和等于.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項為，試求展開式中系數(shù)最大的項.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)展開式中前三項的二項式系數(shù)和為，可得出關(guān)于的方程，結(jié)合可求得的值；（2）求出的通項為根據(jù)展開式中的常數(shù)項為解得，再列不等式組求解即可.【詳解】（1）解：由題意可知，展開式中前三項的二項式系數(shù)之和為，整理可得，因為，解得.