（圓夢高考數(shù)學）專題10.6離散型隨機變量及其分布列、數(shù)學期望與方差（含答案及解析）

專題10.6離散型隨機變量及其分布列、數(shù)學期望與方差題型一離散隨機變量題型二求分布列題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用題型四求離散隨機變量的均值與方差題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用題型六決策問題題型一 離散隨機變量例1．下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性例2．（多選）下面給出四個隨機變量，其中是離散型隨機變量的為（）A．高速公路某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)XB．一個沿直線進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置YC．某景點7月份每天接待的游客數(shù)量D．某人一生中的身高X練習1．下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個沿軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4練習2．(多選題)下列變量：①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為；②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為；③某水電站觀察到一天中長江的水位為；④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為.其中是離散型隨機變量的是（

）A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的練習3．(多選)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局平兩局練習4．下列隨機變量中是離散型隨機變量的是_____，是連續(xù)型隨機變量的是_____（填序號）．①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；②某水文站觀察到一天中江水的水位X；③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X；④某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.練習5．盒中有9個正品和3個次品零件，每次從中取一個零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為.(1)寫出的所有可能取值;(2)寫出所表示的事件.題型二 求分布列例3．（多選）已知隨機變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10例4．不透明的盒子中有個球，其中個綠球，個紅球，這個小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個球，取出紅球即停.記為此過程中取到的綠球的個數(shù).(1)求；(2)寫出隨機變量的分布列，并求.練習6．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，則等于_____．練習7．擲兩顆骰子，用X表示兩點數(shù)差的絕對值.求X的分布.練習8．同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)．設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點數(shù)分別為，記．(1)求X的概率分布；(2)求.練習9．同學甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學在每次進入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行．(1)同學甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；(2)同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為，求的分布列．練習10．某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎機會.在一個不透明的盒子中放有四個大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標有1，2，3，5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個小球上的數(shù)字分別為，，若為奇數(shù)即為中獎.(1)求某顧客甲獲獎的概率；(2)求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.題型三 分布列的性質(zhì)應(yīng)用例5．（多選）隨機變量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且，X246Pabc則（）A．a(chǎn)＋b＋c＝1 B．C． D．例6．設(shè)，隨機變量的分布列為012Pb則當在內(nèi)增大時（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小練習11．已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．練習12．下列表中能稱為隨機變量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4練習13．已知隨機變量的分布列為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．練習14．設(shè)隨機變量的分布列如下：12345678910P且數(shù)列滿足，則_____．練習15．設(shè)隨機變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則_____．題型四 求離散隨機變量的均值與方差例7．甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是，隨機變量表示最終的比賽局數(shù)，則（

）A． B．C． D．例8．甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為_____．練習16．（多選）設(shè)，隨機變量的分布列如下：ξ012P0.50.5－xx則當x在內(nèi)增大時（

）A．減小 B．增大C．減小 D．增大練習17．隨機變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量的期望，則其方差＝_____．練習18．第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級才能進入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級與否互不影響．(1)試比較甲、乙、丙三人進入決賽的可能性大?。?2)若甲、乙、丙三人都進入決賽的概率為，求三人中進入決賽的人數(shù)的分布列和期望．練習19．甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局數(shù)的數(shù)學期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計算這場比賽甲所勝局數(shù)的方差.練習20．喜迎新學期，高三一班、二班舉行數(shù)學知識競賽，賽制規(guī)定：共進行5輪比賽，每輪比賽每個班可以從兩個題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，題庫每題20分，題庫每題30分，一班能正確回答題庫每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．(1)若一班前兩輪選題庫，后三輪選題庫，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫，二班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個班贏下這場比賽？題型五 均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用例9．設(shè)隨機變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當從0增大到1時（

）012A．增大 B．減小C．先減后增 D．先增后減例10．（多選）已知隨機變量的分布列為若隨機變量，，，則下列選項正確的為（

）A． B． C． D．練習21．（多選）已知離散型隨機變量的分布列為若離散型隨機變量滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．0 C． D．練習22．（多選）若隨機變量X服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．練習23．（多選）已知隨機變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項正確的是（

）02A． B． C． D．練習24．（多選）設(shè)某項試驗成功率是失敗率的2倍，若用隨變量描述一次試驗的成功次數(shù)，，分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．練習25．已知隨機變量的分布列為012(1)求的值；(2)求；(3)若，求.題型六 決策問題例11．從2023年起，云南省高考數(shù)學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學生獨立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.例12．核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗，預(yù)備份試驗用血液標本，從標本中隨機取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數(shù)），記檢測的總費用為元.(1)當時，求的分布列和數(shù)學期望.(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個？練習26．王師傅用甲、乙兩臺不同型號的車床加工某種零件，已知用甲車床加工的零件合格的概率為，用乙車床加工的零件合格的概率為，且每次加工的零件是否合格相互獨立．(1)若王師傅用甲、乙車床各加工2個零件，求他加工的零件恰好有3個合格的概率；(2)若王師傅加工3個零件，有以下兩種加工方案：方案一：用甲車床加工2個零件，用乙車床加工1個零件；方案二：每次用一臺車床加工1個零件，若加工的零件合格，則下次繼續(xù)用這臺車床加工，否則下次換另一臺車床加工，且第一次用甲車床加工．若以加工的合格零件數(shù)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該選用哪種方案？練習27．2022年5月14日6時52分，編號為B-001J的C919大飛機從上海浦東機場第4跑道起飛，于9時54分安全降落，標志著中國商飛公司即將交付首家用戶的首架C919大飛機首次飛行試驗圓滿完成．C919大飛機某型號的精密零件由甲、乙制造廠生產(chǎn)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為，，三個等級，其中，等級的產(chǎn)品為合格品，等級的產(chǎn)品為不合格品．質(zhì)監(jiān)部門隨機抽取了甲、乙制造廠的產(chǎn)品各400件，檢測結(jié)果為：甲制造廠的合格品為380件，甲、乙制造廠的級產(chǎn)品分別為80件、100件，兩制造廠的不合格品共60件．(1)補全下面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)？合格品不合格品合計甲制造廠400乙制造廠400合計800(2)若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為200元，每件，等級的產(chǎn)品出廠銷售價格分別為400元、320元，等級的產(chǎn)品必須銷毀，且銷毀費用為每件20元．用樣本的頻率代替概率，試比較甲、乙制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利的大小．附：0.10.050.012.7063.8416.635練習28．某公司對新生產(chǎn)出來的300輛新能源汽車進行質(zhì)量檢測，每輛汽車要由甲、乙、丙三名質(zhì)檢員各進行一次質(zhì)量檢測，三名質(zhì)檢員中有兩名或兩名以上檢測不合格的將被列為不合格汽車，有且只有一名質(zhì)檢員檢測不合格的汽車需要重新由甲、乙兩人各進行一次質(zhì)量檢測，重新檢測后，如果甲、乙兩名質(zhì)檢員中還有一人或兩人檢測不合格，也會被列為不合格汽車．假設(shè)甲、乙、丙三名質(zhì)檢員的檢測相互獨立，每一次檢測不合格的概率為(1)求每輛汽車被列為不合格汽車的概率p；(2)每輛汽車不需要重新檢測的費用為60元，需要重新檢測的前后兩輪檢測的總費用為100元，求每輛汽車需要檢測的費用X的分布列及數(shù)學期望．(3)公司對本次質(zhì)量檢測的預(yù)算支出是4萬元，若300輛汽車全部參與質(zhì)量檢測，實際費用是否會超出預(yù)算?練習29．某水果店的草莓每盒進價20元，售價30元，草莓保鮮度為兩天，若兩天之內(nèi)未售出，以每盒10元的價格全部處理完.店長為了決策每兩天的進貨量，統(tǒng)計了本店過去40天草莓的日銷售量（單位：十盒），獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量/十盒78910天數(shù)812164假設(shè)草莓每日銷量相互獨立，且銷售量的分布規(guī)律保持不變，將頻率視為概率.(1)記每兩天中銷售草莓的總盒數(shù)為X（單位：十盒），求X的分布列和數(shù)學期望；(2)以兩天內(nèi)銷售草莓獲得利潤較大為決策依據(jù)，在每兩天進16十盒，17十盒兩種方案中應(yīng)選擇哪種？練習30．某學校組織“中亞峰會”知識競賽，有兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答.若回答錯誤，則該同學比賽結(jié)束；若回答正確，則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束.類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分；類問題中的每個問題回答正確得分，否則得0分.已知學生甲能正確回答類問題的概率為，能正確回答類問題的概率為，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).(1)若學生甲先回答類問題，，記為學生甲的累計得分，求的分布列和數(shù)學期望.(2)若，則學生甲應(yīng)選擇先回答哪類問題，使得累計得分的數(shù)學期望最大？并說明理由.

專題10.6離散型隨機變量及其分布列、數(shù)學期望與方差題型一離散隨機變量題型二求分布列題型三分布列的性質(zhì)應(yīng)用題型四求離散隨機變量的均值與方差題型五均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用題型六決策問題題型一 離散隨機變量例1．下列敘述中，是離散型隨機變量的為（）A．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和B．某人早晨在車站等出租車的時間C．連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)D．袋中有個黑球個紅球，任取個，取得一個紅球的可能性【答案】C【分析】根據(jù)離散型隨機變量定義依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，擲硬幣只有正面向上和反面向上兩種結(jié)果，則擲五次，出現(xiàn)正面和反面向上的次數(shù)之和為，是常量，A錯誤；對于B，等出租車的事件是隨機變量，但無法一一列出，不是離散型隨機變量，B錯誤；對于C，連續(xù)不斷地射擊，首次命中目標所需要的次數(shù)是有限個或可列舉的無限多個，是離散型隨機變量，C正確；對于D，事件發(fā)生的可能性不是隨機變量，D錯誤.故選：C.例2．（多選）下面給出四個隨機變量，其中是離散型隨機變量的為（）A．高速公路某收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)XB．一個沿直線進行隨機運動的質(zhì)點，它在該直線上的位置YC．某景點7月份每天接待的游客數(shù)量D．某人一生中的身高X【答案】AC【分析】根據(jù)離散型隨機變量的概念逐項分析判斷.【詳解】對于選項A：收費站在未來1小時內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)X有限，且可一一列出，是離散型隨機變量，故A正確對于選項C：某景點7月份每天接待的游客數(shù)量有限，且可一一列出，是離散型隨機變量，故C正確；對于選項B、D，都是某一范圍內(nèi)的任意實數(shù)，無法一一列出，不符合離散型隨機變量的定義，故B、D錯誤．故選：AC.練習1．下面給出四個隨機變量：①一高速公路上某收費站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個沿軸進行隨機運動的質(zhì)點，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)；④某同學上學路上離開家的距離．其中是離散型隨機變量的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)離散型隨機變量的定義判斷即可.【詳解】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機變量；對于②，沿軸進行隨機運動的質(zhì)點，質(zhì)點在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機變量；對于③，一天內(nèi)接到的報警電話次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機變量；對于④，某同學上學路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機變量，所以給定的隨機變量是離散型隨機變量的有①③．故選：B．練習2．(多選題)下列變量：①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為；②某尋呼臺一天內(nèi)收到的尋呼次數(shù)為；③某水電站觀察到一天中長江的水位為；④某立交橋一天內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)為.其中是離散型隨機變量的是（

）A．①中的 B．②中的C．③中的 D．④中的【答案】ABD【分析】利用離散型隨機變量的概念，對選項逐一分析判斷即可得解.【詳解】因為所有取值可以一一列出的隨機變量為離散型隨機變量，而①②④中的隨機變量的可能取值，我們都可以按一定的次序一一列出，因此它們都是離散型隨機變量；而③中的可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，無法按一定次序一一列出，因此它不是離散型隨機變量.故選：ABD.練習3．(多選)甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示的可能結(jié)果為（

）A．甲贏三局B．甲贏一局輸兩局C．甲、乙平局三次D．甲贏一局平兩局【答案】BC【分析】列舉出的所有可能的情況，由此得解.【詳解】甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，所以有兩種情況，即甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次．故選：BC．練習4．下列隨機變量中是離散型隨機變量的是，是連續(xù)型隨機變量的是（填序號）．①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量X；②某水文站觀察到一天中江水的水位X；③某景區(qū)一日接待游客的數(shù)量X；④某大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)X.【答案】①③④②【分析】利用離散型隨機變量的定義與連續(xù)型隨機變量的定義判斷求解．【詳解】①③④中的隨機變量的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它們是離散型隨機變量；②中的隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，故是連續(xù)型隨機變量．故答案為：①③④，②練習5．盒中有9個正品和3個次品零件，每次從中取一個零件，如果取出的是次品，則不再放回，直到取出正品為止，設(shè)取得正品前已取出的次品數(shù)為.(1)寫出的所有可能取值;(2)寫出所表示的事件.【答案】(1)的所有可能取值為(2)表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”【分析】（1）（2）利用離散型隨機變量的定義即可求解.【詳解】（1）因為一共有9個正品，3個次品零件，所以取得正品前已取出的次品數(shù)可能為，即的所有可能取值為.（2）依題意，可知表示“第一次取得1件次品，第二次取得正品”.題型二 求分布列例3．（多選）已知隨機變量ξ的分布列為：ξ－2－10123P若，則實數(shù)的值可以是（

）A．5 B．7C．9 D．10【答案】ABC【分析】根據(jù)隨機變量ξ的分布列，求出隨機變量的分布列，再找出滿足的即可.【詳解】由隨機變量的分布列，知：的可能取值為，且，，，，則，.若，則實數(shù)的取值范圍是.故選：ABC.例4．不透明的盒子中有個球，其中個綠球，個紅球，這個小球除顏色外完全相同，每次不放回的從中取出個球，取出紅球即停.記為此過程中取到的綠球的個數(shù).(1)求；(2)寫出隨機變量的分布列，并求.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，結(jié)合獨立事件的概率乘法公式可求得的值；（2）分析可知，的可能取值有、、、、，求出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【詳解】（1）解：表示第一、二次抽取的都是綠球，第三次抽取紅球，所以，.（2）解：由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、，，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，練習6．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4，0.5，0.6，且此人是否游覽哪個景點互不影響，設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值，則等于．【答案】1.48【分析】ξ的取值有1，3，計算出其分布列，再利用期望公式即可得到答案.【詳解】隨機變量ξ的取值有1，3兩種情況，表示三個景點都游覽了或都沒有游覽，所以，，所以隨機變量的分布列為：130.760.24．故答案為：1.48.練習7．擲兩顆骰子，用X表示兩點數(shù)差的絕對值.求X的分布.【答案】答案見詳解.【分析】通過列舉法求概率，然后可得分布列.【詳解】記擲兩顆骰子所得點數(shù)分別為m，n，則樣本空間，X的取值為.當時，包含樣本點，所以；當時，包含樣本點，所以；當時，包含樣本點，所以；當時，包含樣本點，所以；當時，包含樣本點，所以；當時，包含樣本點，所以.所以，X的分布列為：X012345P練習8．同時拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)．設(shè)兩顆骰子中出現(xiàn)的點數(shù)分別為，記．(1)求X的概率分布；(2)求.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意分析可知：X的可能取值為1，2，3，4，5，6，結(jié)合古典概型求分布列；（2）根據(jù)題意可知，結(jié)合（1）中數(shù)據(jù)運算求解.【詳解】（1）依題意易知拋擲兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況：．因而X的可能取值為1，2，3，4，5，6，詳見下表：X的值出現(xiàn)的點樣本點個數(shù)1123354759611由古典概型可知X的概率分布如下表所示．X123456P（2）由題意可知：.練習9．同學甲進行一種闖關(guān)游戲，該游戲共設(shè)兩個關(guān)卡，闖關(guān)規(guī)則如下：每個關(guān)卡前需先投擲一枚硬幣，若正面朝上，則順利進入闖關(guān)界面，可以開始闖關(guān)游戲；若反面朝上，游戲直接終止，甲同學在每次進入闖關(guān)界面后能夠成功通過關(guān)卡的概率均為，且第一關(guān)是否成功通過都不影響第二關(guān)的進行．(1)同學甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率；(2)同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)為，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【分析】（1）在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡，即各關(guān)前投幣均正面向上，且兩關(guān)卡都成功通過；（2）按求解離散型隨機變量的數(shù)學期望的一般步驟進行，同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)的值為0，1，2，明確各取值所表示的意義，再求概率取值，最后寫出分布列即可.【詳解】（1）同學甲在游戲終止時成功通過兩個關(guān)卡的概率．（2）同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)的值為0，1，2，，，，所以同學甲成功通過關(guān)卡的個數(shù)的分布列為：012P練習10．某廠家為增加銷售量特舉行有獎銷售活動，即每位顧客購買該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品后均有一次抽獎機會.在一個不透明的盒子中放有四個大小、質(zhì)地完全相同的小球分別標有1，2，3，5四個數(shù)字，抽獎規(guī)則為：每位顧客從盒中一次性抽取兩個小球，記下小球上的數(shù)字后放回，記兩個小球上的數(shù)字分別為，，若為奇數(shù)即為中獎.(1)求某顧客甲獲獎的概率；(2)求隨機變量的分布列與數(shù)學期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，【分析】（1）根據(jù)題意可知，和必為一奇一偶才能中獎，所以共有種中獎情況，即可求得概率；（2）的可能取值為1，2，3，4，分別求得各取值的概率即可列出分布列并求期望值.【詳解】（1）設(shè)事件：某顧客甲獲獎，即為奇數(shù)，所以，必為一個奇數(shù)一個偶數(shù)，則，所以某顧客甲獲獎的概率為.（2）由題意，的可能取值為1，2，3，4.所以，，，.所以隨機變量的分布列為：1234所以題型三 分布列的性質(zhì)應(yīng)用例5．（多選）隨機變量X的概率分布如表，其中2b＝a＋c，且，X246Pabc則（）A．a(chǎn)＋b＋c＝1 B．C． D．【答案】ABD【分析】由概率的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件求出的值可求解.【詳解】由概率的性質(zhì)可得，由得，故選：ABD.例6．設(shè)，隨機變量的分布列為012Pb則當在內(nèi)增大時（

）A．增大B．減小C．先減小后增大D．先增大后減小【答案】A【分析】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)，結(jié)合方差的公式、二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】根據(jù)隨機變量分布列的性質(zhì)可知，所以，所以，所以，因為，所以單調(diào)遞增，故選：A練習11．已知隨機變量的分布列為，2，3，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由隨機變量的分布列的性質(zhì)即概率和等于1，可求得的值，又由，計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，隨機變量的分布列為，由分布列的性質(zhì)，則有，解得，故..故選：C.練習12．下列表中能稱為隨機變量X的分布列的是（

）A．X－101P0.30.40.4B．X123P0.40.7C．X01P0.30.40.3D．X123P0.30.40.4【答案】C【分析】由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知，概率非負且和為1，可得答案.【詳解】對于A，由，故A錯誤；對于B，由，故B錯誤；對于C，由，故C正確；對于D，由，故D錯誤.答案：C練習13．已知隨機變量的分布列為，設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)，求得參數(shù)值，結(jié)合互斥事件的概率公式，可得答案.【詳解】由題意，則，解得，.故選：A.練習14．設(shè)隨機變量的分布列如下：12345678910P且數(shù)列滿足，則．【答案】5.5/【分析】令，即可得到，再根據(jù)分布列的性質(zhì)得到，從而求出數(shù)學期望；【詳解】解：令，2，3，，，則，即，，2，3，，，又，所以，所以故答案為：練習15．設(shè)隨機變量的概率分布為，為常數(shù)，，，，，則．【答案】【分析】由概率之和為1以及數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】由題意知：隨機變量的所有可能取值的概率和為1，即，則，由等比數(shù)列的求和公式，得，所以，得.故答案為：題型四 求離散隨機變量的均值與方差例7．甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝制，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是，隨機變量表示最終的比賽局數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】求出隨機變量的所有取值，求出對應(yīng)概率，再根據(jù)期望與方差公式計算即可.【詳解】由題意，可取，，，則，.故選：D.例8．甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃．已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為，.在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為ξ，則ξ的方差為．【答案】【分析】首先根據(jù)題意得到的取值為0，1，2，列出分布列，求出數(shù)學期望，再計算方差即可.【詳解】由題意可知：乙投籃的次數(shù)ξ的取值為0，1，2.則，，.故的分布列為012P則，所以.故答案為：練習16．（多選）設(shè)，隨機變量的分布列如下：ξ012P0.50.5－xx則當x在內(nèi)增大時（

）A．減小 B．增大C．減小 D．增大【答案】BD【分析】根據(jù)分布列，利用公式得到和的算式，由函數(shù)思想判斷變化情況.【詳解】，由隨機變量的分布列，得：，，當x在內(nèi)增大時，增大，增大．故選：BD.練習17．隨機變量的概率分布列如下：－101其中，，成等差數(shù)列，若隨機變量的期望，則其方差＝．【答案】【分析】利用等差中項的性質(zhì)，分布列中概率和為1以及均值的計算公式構(gòu)建方程求得，，，再由方差的計算公式求得答案.【詳解】因為，，成等差數(shù)列，則，又由分布列的性質(zhì)，則，所以得，又因為隨機變量的均值且,故解得，，所以.故答案為：.練習18．第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級才能進入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級與否互不影響．(1)試比較甲、乙、丙三人進入決賽的可能性大?。?2)若甲、乙、丙三人都進入決賽的概率為，求三人中進入決賽的人數(shù)的分布列和期望．【答案】(1)，即進入決賽的可能性甲丙乙.(2)分布列見解析；【分析】（1）根據(jù)題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；（2）根據(jù)題意先求出與所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列，并計算出期望即可求解.【詳解】（1）甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，因為，所以，所以，即甲進入決賽的可能性最大.（2）設(shè)甲、乙、丙都進入決賽的概率為，則，且，解得，所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為，進入決賽的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為0123所以.練習19．甲乙兩人進行一場乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場比賽甲獲勝的概率；(2)這場比賽甲所勝局數(shù)的數(shù)學期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計算這場比賽甲所勝局數(shù)的方差.【答案】(1)0.648(2)1.5(3)0.57【分析】（1）寫出甲勝利的情況，結(jié)合組合公式和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）設(shè)甲所勝的局數(shù)為，計算分布列，再利用期望公式即可得到答案；（3）利用方差公式即可得到答案.【詳解】（1）甲勝利的情況有：勝勝；敗勝勝；勝敗勝.甲勝概率為：.則甲勝利的概率為.（2）設(shè)甲所勝的局數(shù)為，.，，，則分布列為：0120.160.1920.648所以.（3）.練習20．喜迎新學期，高三一班、二班舉行數(shù)學知識競賽，賽制規(guī)定：共進行5輪比賽，每輪比賽每個班可以從兩個題庫中任選1題作答，在前兩輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，后三輪比賽中每個班的題目必須來自同一題庫，題庫每題20分，題庫每題30分，一班能正確回答題庫每題的概率分別為、，二班能正確回答題庫每題的概率均為，且每輪答題結(jié)果互不影響．(1)若一班前兩輪選題庫，后三輪選題庫，求其總分不少于100分的概率；(2)若一班和二班在前兩輪比賽中均選了題庫，而且一班兩輪得分60分，二班兩輪得分30分，一班后三輪換成題庫，二班后三輪不更換題庫，設(shè)一班最后的總分為，求的分布列，并從每班總分的均值來判斷，哪個班贏下這場比賽？【答案】(1)(2)分布列見解析，一班贏下這場比賽.【分析】（1）由概率的乘法公式與加法公式求解；（2）由題意求出兩個班的總分可能取值，然后求出對應(yīng)的概率，進而列出分布列，并根據(jù)期望的概念求出期望，比較大小即可判斷.【詳解】（1）由條件知，若一班在前兩輪得20分，后三輪得90分，總分為110分，其概率為，若一班在前兩輪得40分，后三輪得60分或90分，總分為100或130分，其概率為，于是一班總分不少于100分的概率為.（2）由條件知，隨機變量X可能取值為60，80，100，120，，，，．所以X的分布列為：X6080100120P，

設(shè)二班最后的總分為Y，Y可能取值為30，60，90，120，，，，，的分布列：，

因為，所以從總分的均值來判斷，一班贏下這場比賽.題型五 均值和方差的性質(zhì)應(yīng)用例9．設(shè)隨機變量的分布列如下（其中），表示的方差，則當從0增大到1時（

）012A．增大 B．減小C．先減后增 D．先增后減【答案】D【分析】首先根據(jù)期望公式得，再根據(jù)方差計算公式得的表達式，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由分布列可得,則，因為，所以先增后減，故選：D.例10．（多選）已知隨機變量的分布列為若隨機變量，，，則下列選項正確的為（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先利用分布列的性質(zhì)求出，再利用均值和方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】依題意，由分布列可得，解得，A正確；，，因為，所以，，解得，，B錯誤，C正確；所以隨機變量的分布列為：由分布列可知D正確；故選：ACD練習21．（多選）已知離散型隨機變量的分布列為若離散型隨機變量滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．0 C． D．【答案】AB【分析】先求得，然后根據(jù)概率、期望、方差的知識求得正確答案.【詳解】由，所以，所以A選項正確.，所以，對應(yīng)概率為0，所以D選項錯誤.，所以，所以B選項正確.，C選項錯誤.故選：AB練習22．（多選）若隨機變量X服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量X的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)兩點分布可得期望與方差，再結(jié)合期望、方差的性質(zhì)運維求解.【詳解】由題意可知：，隨機變量X的分布列為X01P由兩點分布可知：，故A正確，D錯誤；所以，，故B正確，C錯誤；故選：AB.練習23．（多選）已知隨機變量的分布列如下表所示，且滿足，則下列選項正確的是（

）02A． B． C． D．【答案】AC【分析】依題意根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式求出，即可求出，再根據(jù)方差的性質(zhì)得到，再求出分布列，即可求出與.【詳解】依題意，解得，所以的分布列為：－102P則，故A正確；則，故C正確；所以的分布列為：02P則，，故B錯誤；所以，故D錯誤.故選：AC.練習24．（多選）設(shè)某項試驗成功率是失敗率的2倍，若用隨變量描述一次試驗的成功次數(shù)，，分別為隨機變量的均值和方差，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求出試驗成功的概率，然后一次試驗中成功的次數(shù)為X概率，最后求出隨機變量X的數(shù)學期望、方差，逐個選項分析即可；【詳解】設(shè)試驗成功的概率為，解得：；記一次試驗中成功的次數(shù)為X，則的取值有0,1，,選項A正確；X01則隨機變量X的數(shù)學期望,選項B正確；選項C正確；選項D錯誤；故選：ABC.練習25．已知隨機變量的分布列為012(1)求的值；(2)求；(3)若，求.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用分布列的性質(zhì)即可得解；（2）利用隨機變量的期望公式可得答案；（3）法一：利用即可得解；法二：利用隨機變量的期望公式可得答案.【詳解】（1）依題意，由分布列得，解得，所以的值為.（2）由（1）得.（3）法一：因為，所以.法二：因為，所以的分布列如下：所以.題型六 決策問題例11．從2023年起，云南省高考數(shù)學試卷中增加了多項選擇題（第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）.在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的概率為，正確答案是三個選項的概率為（其中）.現(xiàn)甲乙兩名學生獨立解題.(1)假設(shè)每道題甲全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為；乙全部選對的概率為，部分選對的概率為，有選錯的概率為，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選項是不符合題意的，作答時，應(yīng)選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇幫助一人做出決策即可）.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.（2）分別求出選擇1,2,3個選項三個情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯，即甲得20分，乙得7分.：甲三道全對，一道部分選對；乙兩道部分選對，兩道選錯，即甲得17分，乙得4分.：甲三道全對，一道選錯；乙一道部分選對，三道選錯，即甲得15分，乙得2分.....（2）若為甲出方案.則甲可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，則期望為.記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，，，此時期望為.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，，此時期望為.∵，.∴甲應(yīng)選擇1個選項才有希望得到更理想的成績.若為乙出方案.則乙可能的選項個數(shù)為：1，2，3.記表示選1個選項的得分，類比甲的情況，則記表示選2個選項的得分，則得分可能為0，2，5，此時.記表示選3個選項的得分，則得分可能為0，5，此時.∵.∴當時，乙應(yīng)選擇2個選項才有希望得到更理想的成績.當時，乙應(yīng)選擇3個選項才有希望得到更理想的成績，當時，乙應(yīng)選擇2或3個選項都有希望得到更理想的成績.例12．核酸檢測也就是病毒和的檢測，是目前病毒檢測最先進的檢驗方法，在臨床上主要用于新型冠狀乙肝?丙肝和艾滋病的病毒檢測.通過核酸檢測，可以檢測血液中是否存在病毒核酸，以診斷機體有無病原體感染.某研究機構(gòu)為了提高檢測效率降低檢測成本，設(shè)計了如下試驗，預(yù)備份試驗用血液標本，從標本中隨機取出份分為一組，將樣本分成若干組，從每一組的標本中各取部分，混合后檢測，若結(jié)果為陰性，則判定該組標本均為陰性，不再逐一檢測；若結(jié)果為陽性，需對該組標本逐一檢測.以此類推，直到確定所有樣本的結(jié)果：份陽性，份陰性.若每次檢測費用為元（為常數(shù)），記檢測的總費用為元.(1)當時，求的分布列和數(shù)學期望.(2)以檢測成本的期望值為依據(jù)，在與中選其一，應(yīng)選哪個？【答案】(1)分布列答案見解析，數(shù)學期望：(2)時的方案更好一些【分析】（1）分成份陽性在一組和份陽性各在一組兩種情況，由此可確定檢測次數(shù)及所有可能的取值，計算出每個取值對應(yīng)的概率即可得到分布列，由數(shù)學期望公式可求得；（2）與（1）的方法相同，計算出時檢測費用的取值和對應(yīng)概率，由此可得分布列，由數(shù)學期望公式可求得，根據(jù)可得結(jié)論.【詳解】（1）當時，共分組，當份陽性在一組時，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，若份陽性各在一組，第一輪檢測次，第二輪檢測次，共檢測次，檢測的總費用的所有可能值為，，任意檢測有種等可能結(jié)果，份陽性在一組有種等可能結(jié)果，，，檢測的總費用的分布列為：數(shù)學期望.（2）當時，共分組，當份陽性在一組，共檢測次，若份陽性各在一組，共檢測次，檢測的總費用的所有可能值為，，任意檢測有種等可能結(jié)果，份陽性在一組有種等可能結(jié)果，，，檢測的總費用的分布列為：數(shù)學期望，，時的方案更好一些.練習26．王師傅用甲、乙兩臺不同型號的車床加工某種零件，已知用甲車床加工的零件合格的概率為，用乙車床加工的零件合格的概率為，且每次加工的零件是否合格相互獨立．(1)若王師傅用甲、乙車床各加工2個零件，求他加工的零件恰好有3個合格的概率；(2)若王師傅加工3個零件，有以下兩種加工方案：方案一：用甲車床加工2個零件，用乙車床加工1個零件；方案二：每次用一臺車床加工1個零件，若加工的零件合格，則下次繼續(xù)用這臺車床加工，否則下次換另一臺車床加工，且第一次用甲車床加工．若以加工的合格零件數(shù)的期望值為決策依據(jù)，應(yīng)該選用哪種方案？【答案】(1)(2)應(yīng)該選方案二．【分析】（1）利用相互獨立事件的概率公式即可求概率;（2）利用二項分布及數(shù)學期望公式求離散型隨機變量的期望，進而進行決策．【詳解】（1）設(shè)“加工的零件恰好有3個合格”為事件A，則．（2）記王師傅用方案一加工的合格零件數(shù)為X，由題意知用甲車床和乙車床加工的合格零件數(shù)分別服從二項分布和，故．記王師傅用方案二加工的合格零件數(shù)為Y，Y的所有可能取值為0，1，2，3．，，，．所以．因為，所以應(yīng)該選方案二．練習27．2022年5月14日6時52分，編號為B-001J的C919大飛機從上海浦東機場第4跑道起飛，于9時54分安全降落，標志著中國商飛公司即將交付首家用戶的首架C919大飛機首次飛行試驗圓滿完成．C919大飛機某型號的精密零件由甲、乙制造廠生產(chǎn)，產(chǎn)品按質(zhì)量分為，，三個等級，其中，等級的產(chǎn)品為合格品，等級的產(chǎn)品為不合格品．質(zhì)監(jiān)部門隨機抽取了甲、乙制造廠的產(chǎn)品各400件，檢測結(jié)果為：甲制造廠的合格品為380件，甲、乙制造廠的級產(chǎn)品分別為80件、100件，兩制造廠的不合格品共60件．(1)補全下面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)？合格品不合格品合計甲制造廠400乙制造廠400合計800(2)若每件產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為200元，每件，等級的產(chǎn)品出廠銷售價格分別為400元、320元，等級的產(chǎn)品必須銷毀，且銷毀費用為每件20元．用樣本的頻率代替概率，試比較甲、乙制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利的大?。剑?.10.050.012.7063.8416.635【答案】(1)表格見解析，認為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．(2)甲制造廠生產(chǎn)1件這種產(chǎn)品的平均盈利比乙制造廠大．【分析】（1）卡方計算求解，然后比對做出判斷即可；（2）列出、的分布列，然后求解期望值比較；【詳解】（1）列聯(lián)表如下合格品不合格品合計甲制造廠38020400乙制造廠36040400合計74060800零假設(shè)為：產(chǎn)品的合格率與制造廠無關(guān)，因為，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為產(chǎn)品的合格率與制造廠有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.01．（2）對于甲制造廠，抽到的400件產(chǎn)品中有等級產(chǎn)品80件，等級產(chǎn)品300件，等級產(chǎn)品20件，設(shè)生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為元，則可能取得的值為200，120，．，的分布列為2001200.20.