高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)練習(xí)第05講 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）含答案及解析

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)唯一問題 1題型二：重點(diǎn)考查討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題 9題型三：重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合法討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題 15題型四：重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（選填） 20題型五：重點(diǎn)考查重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（解答題） 26題型六：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的隱零點(diǎn)問題 33題型七：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的極限問題 39題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)唯一問題典型例題例題1．（2022下·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)在上存在唯一零點(diǎn)x，則實(shí)數(shù)k的值為．例題2．（2023上·北京西城·高三北京十五中校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，當(dāng)時(shí)，求證：.(3)若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；例題4．（2022上·陜西安康·高二校考期末）設(shè)函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．精練核心考點(diǎn)1．（2022上·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)=2．（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.3．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).4．（2023上·廣東珠?！じ呷？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；題型二：重點(diǎn)考查討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值．(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．例題3．（2023下·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則：(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)討論方程的解的個(gè)數(shù)精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程是.(1)求，的值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).2．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知（）.(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值；(2)試討論關(guān)于的方程（）的根的個(gè)數(shù)，并說明理由.3．（2024上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).題型三：重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合法討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題典型例題例題1．（2023上·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例題2．（多選）（2023上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)可能有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例題3．（2023下·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)在給定的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖像；(3)討論關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．精練核心考點(diǎn)1．（2023下·江蘇南京·高二江蘇省溧水高級中學(xué)校考期中）已知關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．3．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．題型四：重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（選填）典型例題例題1．（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．例題2．（2023上·河南許昌·高三禹州市高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2023上·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，有，則；若函數(shù)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.例題4．（2023上·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．精練核心考點(diǎn)1．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù)，若關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.2．（2023上·河南濮陽·高三濮陽一高?？计谥校┮阎瘮?shù)，若在存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是.3．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．4．（2023上·遼寧大連·高三大連市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．

題型五：重點(diǎn)考查重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（解答題）典型例題例題1．（2023上·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.例題2．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.例題3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.例題4．（2023下·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值7.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)性及極值；(3)若關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.精練核心考點(diǎn)1．（2023上·湖南衡陽·高三湖南省衡南縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)．(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的根，求m的取值范圍．2．（2023上·全國·高二期末）已知函數(shù)在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．3．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若是的極值點(diǎn)，且方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求在上的最值；(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型六：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的隱零點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（a為大于零的常數(shù)），已知有唯一零點(diǎn)，求的最小值．例題2．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn).例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．精練核心考點(diǎn)1．（2023下·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（其中），求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2023下·湖北·高二武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2023上·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．題型七：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的極限問題典型例題例題1．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).例題2．（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例題3．（2023下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)圖象在處的切線方程:(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的值.例題4．（2023下·河南鄭州·高二河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)若時(shí)，恒成立，求的取值范圍；(2)記，討論函數(shù)與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．精練核心考點(diǎn)1．（2023下·福建泉州·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)求證：．2．（2023下·貴州遵義·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在處取得極值．(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．3．（2023·北京西城·北京師大附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求在處切線方程；(2)求的極大值與極小值；(3)證明：存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn).4．（2023·內(nèi)蒙古包頭·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，，求a的取值范圍．

第05講利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)（方程的根）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)唯一問題 1題型二：重點(diǎn)考查討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題 9題型三：重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合法討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題 15題型四：重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（選填） 20題型五：重點(diǎn)考查重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（解答題） 26題型六：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的隱零點(diǎn)問題 33題型七：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的極限問題 39題型一：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)唯一問題典型例題例題1．（2022下·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)在上存在唯一零點(diǎn)x，則實(shí)數(shù)k的值為．【答案】e【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上存在唯一零點(diǎn)x，所以方程有唯一正實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，由，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一的公共點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)的圖象如下圖所示：所以當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有唯一交點(diǎn)，符合題意，故答案為：e例題2．（2023上·北京西城·高三北京十五中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，當(dāng)時(shí)，求證：.(3)若函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)【詳解】（1）時(shí)，，，故，故，故在點(diǎn)的切線方程為，即；（2），，故，令，，則在上單調(diào)遞增，故，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，故當(dāng)時(shí)，；（3），，則，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在單調(diào)遞增，又，故在恒成立，在區(qū)間上無零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，，令，顯然在上單調(diào)遞增，故，當(dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞減，又，故在恒成立，在區(qū)間上無零點(diǎn)，舍去；當(dāng)時(shí)，存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，又，要想在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，只需，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，顯然不滿足題意，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)根，因?yàn)?不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，即直線與函數(shù)（且）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).，令，得，在和上，，在上，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.在時(shí)有極小值，圖象如圖所示：由圖可知：若要使直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則或，綜上.例題4．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性(2)當(dāng)時(shí)，證明：若存在零點(diǎn)，則在區(qū)間上僅有一個(gè)零點(diǎn)．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【詳解】（1）由得，函數(shù)的定義域是，；①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當(dāng)時(shí)，由得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上的最小值為．因?yàn)榇嬖诹泓c(diǎn)，所以，解得．當(dāng)時(shí)，在上遞減，且，所以是在,上的唯一零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間,上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，若存在零點(diǎn)，則在,僅有一個(gè)零點(diǎn).精練核心考點(diǎn)1．（2022上·廣東廣州·高三廣州市從化區(qū)從化中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)=【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，恒成立，在上無零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，即有在上有且僅有一個(gè)解．則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得極大值，又，∴若方程在上有且僅有一個(gè)解，則故答案為：2．（2024上·遼寧葫蘆島·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，若只有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)詳見解析；(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，則，則在上單調(diào)遞增，又，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），又，則的定義域?yàn)閯t，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，①當(dāng)時(shí)，，則在恒成立，則即在恒成立，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故只有一個(gè)零點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，，而，設(shè)，，則，又，則，故在為減函數(shù)，故，故，則，故在上有兩個(gè)零點(diǎn)且，且當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)即，在上單調(diào)遞減；而，令，則，，令，，則，，又，則在上恒成立，在上單調(diào)遞減，則，即，則，而，且即，其中，故，故設(shè)，，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，則在上恒成立，故，故在上為減函數(shù)，故，故，又，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故此時(shí)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，故舍去.綜上，.3．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).證明：函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】證明見解析【詳解】證明：由，得，令，，求導(dǎo)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，，則，由零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn).4．（2023上·廣東珠海·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．(1)求曲線在處的切線方程：(2)證明：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)；【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】（1），所以切點(diǎn)為，又，所以，所以切線方程為，即；（2）由（1）知，令則，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞增，令，解得，此時(shí)單調(diào)遞減，所以，又，所以在區(qū)間上恒成立，，所以存在使得，所以在上存在唯一的零點(diǎn)，即在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)，得證.題型二：重點(diǎn)考查討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題典型例題例題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最小值；(2)若，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】(1)1(2)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，易知單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以．（2）由題，，又，所以單調(diào)遞增，因?yàn)椋源嬖谖ㄒ坏?，使，且?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．又，所以在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．令，則，令，則．所以單調(diào)遞增，，所以單調(diào)遞增，，即，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．例題2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求實(shí)數(shù)的值．(2)在（1）的條件下，若，試探究在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)只有1個(gè)零點(diǎn)【詳解】（1）解：由，得，則有所以切線方程為．又因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以．（2）由（1）知，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以．所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上存在零點(diǎn)，且只有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，，，所以存在，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減．而，所以在上無零點(diǎn)．綜上，在上只有1個(gè)零點(diǎn)．例題3．（2023下·浙江嘉興·高二平湖市當(dāng)湖高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則：(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)討論方程的解的個(gè)數(shù)【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）,因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，令，則或，令，則，所以函數(shù)在上遞增，在上遞增，所以的極小值點(diǎn)為，極大值點(diǎn)為，符合題意，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以無極值點(diǎn)，綜上所述；（2）由（1）可得，函數(shù)在上遞增，在上遞增，則，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程有個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)解.精練核心考點(diǎn)1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，在點(diǎn)處的切線方程是.(1)求，的值；(2)設(shè)函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線斜率為，又，求得：.（2）由（1）知，，令，則，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，，令，解得：；令，解得：或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，的圖象如下：

當(dāng)或，與圖象有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)或，與圖象有2個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)，與圖象有3個(gè)交點(diǎn).2．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）已知（）.(1)求導(dǎo)函數(shù)的最值；(2)試討論關(guān)于的方程（）的根的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】(1)最大值等于(2)答案見解析【詳解】（1）∵，記∴，解得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值等于.（2）方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，且所以：當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解.方法3：由，即，兩邊取對數(shù)得：，即.令，所以由，解得當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以當(dāng)，即時(shí)，方程無解；當(dāng)，即時(shí)，方程有1個(gè)解；當(dāng)，即時(shí)，方程有2個(gè)解.3．（2024上·重慶·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為.(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)，求關(guān)于的方程的解的個(gè)數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由題設(shè)，即求解的個(gè)數(shù)，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即遞增，又，即此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則在上遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上遞增；則，令，則，所以，，故遞增；，，故遞減；則，即，而趨向于或時(shí)都趨向，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，或，僅有一個(gè)解；且，有兩個(gè)解.題型三：重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合法討論函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)問題典型例題例題1．（2023上·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】由得，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，且，及時(shí)，的圖像如圖，得到有3個(gè)解.

故選：D.例題2．（多選）（2023上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)可能有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】ABC【詳解】設(shè)，關(guān)于的方程，即，兩根，.函數(shù)當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等號），，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，在處取得極大值.當(dāng)時(shí)，，，即在上為減函數(shù)，作出函數(shù)的圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解，所以當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于x的方程的實(shí)根有1個(gè)；當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于x的方程的實(shí)根有2個(gè)；當(dāng)，即時(shí)，關(guān)于x的方程的實(shí)根有3個(gè).故選：ABC.例題3．（2023下·北京石景山·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；(2)在給定的直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的大致圖像；(3)討論關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為，無極大值(2)圖象見解析(3)答案見解析【詳解】（1），即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為極小值為，無極大值.（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，且結(jié)合單調(diào)性，可畫出函數(shù)的大致圖像，如下圖所示（3）畫出函數(shù)與函數(shù)的簡圖，如下圖所示由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根；當(dāng)或時(shí)，方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；精練核心考點(diǎn)1．（2023下·江蘇南京·高二江蘇省溧水高級中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【詳解】關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)，即為關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)，令，，則，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.又，，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出與在上的圖像，兩圖像有1個(gè)交點(diǎn)則關(guān)于的方程在上解的個(gè)數(shù)為1.故選：A.2．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】答案見解析【詳解】令＝0，得，當(dāng)時(shí)，無解，∴無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，令，，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又時(shí)，；時(shí)，，∴的大致圖象如圖所示．當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)．3．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)，(2)答案見解析【詳解】（1）定義域?yàn)椋?由題意可得．由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，．（2）由（1）可知在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，．的圖象如下圖所示：

令，得．當(dāng)或時(shí)，方程有且僅有1個(gè)實(shí)根，即有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，方程有2個(gè)實(shí)根，即有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)實(shí)根，即有3個(gè)零點(diǎn)．題型四：重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（選填）典型例題例題1．（2023上·遼寧大連·高三大連市金州高級中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】定義域?yàn)镽，且，令，則恒成立，故在R上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，單調(diào)遞減，故在處取得極小值，也是最小值，故要想滿足有且只有一個(gè)零點(diǎn)，只需，即，解得.故選：A例題2．（2023上·河南許昌·高三禹州市高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，且，所以在上存在零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以有最小值，又，則，兩邊取對數(shù)得，所以，又時(shí)，，時(shí)，，所以要使與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則，故答案為：例題3．（2023上·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，有，則；若函數(shù)恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】0或【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，令，，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，故在恒成立，無解，當(dāng)時(shí)，，即，故或，解得或或，但舍去，其余兩個(gè)滿足要求，當(dāng)時(shí)，，故0為的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在時(shí)取得極大值，也是最大值，且，且當(dāng)時(shí)，恒成立，畫出其圖象如下，要想有3個(gè)不同的零點(diǎn)，只需；故答案為：0或；例題4．（2023上·海南·高三海南中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.若在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】由于，即在區(qū)間上沒有零點(diǎn)．因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，，符合題意；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，時(shí)，，符合題意；③當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，只需即可，所以，綜上，的取值范圍是.故答案為：精練核心考點(diǎn)1．（2023上·黑龍江雞西·高三雞西市第一中學(xué)校校考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，關(guān)于的方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根，令，令，則在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根據(jù)，則滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.

2．（2023上·河南濮陽·高三濮陽一高?？计谥校┮阎瘮?shù)，若在存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的最小值是.【答案】1【詳解】令，即，令，，而，令，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，即，所以存在唯一的，使得，即，即，，所以?dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，又時(shí)，，所以要使在存在零點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)a的最小值為1.故答案為：13．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)．作出函數(shù)的圖像，如圖：

當(dāng)時(shí)，，則，所以，故曲線在處的切線方程為，則．當(dāng)時(shí)，，則，所以，故曲線在處的切線方程為，則．綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：.4．（2023上·遼寧大連·高三大連市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是．【答案】【詳解】由得，設(shè)，令，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)，，由此畫出的大致圖象如圖所示，由于函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以的取值范圍是.

故答案為：.題型五：重點(diǎn)考查重點(diǎn)考查已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)求參數(shù)（解答題）典型例題例題1．（2023上·北京·高三景山學(xué)校?？计谥校┮阎瘮?shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求參數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)答案見解析；(3).【詳解】（1）由題設(shè)，則，故，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）由，當(dāng)，定義域?yàn)?，此時(shí)，故，即在上遞減；當(dāng)，定義域?yàn)?，若，則，在上遞增；若，則，在上遞減；（3）由題設(shè)，，故在有兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以在在有兩個(gè)不同根，令，則，在，則，在上遞減，在，則，在上遞增，且，趨向于0或時(shí)都趨向于，故只需，滿足題設(shè).例題2．（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，且.(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【詳解】（1）解：由函數(shù)，可得，因?yàn)?，可得，解得，所以且，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，函數(shù)取得極大值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為.（2）解：由函數(shù)和，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，即有三個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)，函數(shù)取得極小值；當(dāng)，函數(shù)取得極小值，又由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，要使得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.例題3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實(shí)根，求的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1），令，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，得，，得.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，，方程在上有實(shí)根等價(jià)于方程在上有實(shí)根.令，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，不合題意；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不合題意；當(dāng)時(shí)，，得，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，所以，所以綜上所述，的取值范圍為例題4．（2023下·天津西青·高二天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在處取得極值7.(1)求的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)性及極值；(3)若關(guān)于的方程在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.【答案】(1)(2)答案見詳解(3)【詳解】（1）∵，則，由題意可得，解得，故，令，解得或；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為極大值點(diǎn)，則符合題意，∴.（2）由（1）可得：，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，極小值為.（3）若，則，原題意等價(jià)于在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∵，由（1）可得：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的圖象如圖所示：若在上恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則，故的取值范圍為.精練核心考點(diǎn)1．（2023上·湖南衡陽·高三湖南省衡南縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)．(1)求在上的最大值；(2)設(shè)函數(shù)，關(guān)于x的方程有3個(gè)不同的根，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）因?yàn)椋裕?，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．所以在上的最大值為．（2），它的定義域是，且，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋?，且?dāng)x趨于0時(shí)，趨于，當(dāng)x趨于時(shí)，趨于.所以可得的草圖如圖所示：由圖可知，要使方程有3個(gè)不同的根，只需滿足，解得，即m的取值范圍為．2．（2023上·全國·高二期末）已知函數(shù)在及處取得極值．(1)求a，b的值；(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求c的取值范圍．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）∵，∴，由已知得，是的兩個(gè)根，故，解得，；此時(shí)，則，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.可知和均為極值點(diǎn)，符合題意，，.（2）由（1）得，，結(jié)合（1）可知，該函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴的極小值為，極大值為，若方程有三個(gè)不同的實(shí)根，只需，解得，∴a的范圍是.3．（2023下·廣東東莞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若是的極值點(diǎn)，且方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，故函?shù)在處的切線方程為，即（2）由于是的極值點(diǎn)，故，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減即為函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故，故，故方程有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，即的圖象由3個(gè)不同交點(diǎn)，而，，結(jié)合的圖象，當(dāng)時(shí)，可取負(fù)無窮小，當(dāng)時(shí)，可取正無窮大，

可得到.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）.(1)求在上的最值；(2)若函數(shù)沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小值為，最大值為.(2)【詳解】（1）解：，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，，，所以，函?shù)在上的最小值為，最大值為.（2）解：因?yàn)楹瘮?shù)沒有零點(diǎn)，所以方程無實(shí)數(shù)根，即方程沒有實(shí)數(shù)根，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)在處取得最大值因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根，，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型六：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的隱零點(diǎn)問題典型例題例題1．（2023上·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)（a為大于零的常數(shù)），已知有唯一零點(diǎn)，求的最小值．【答案】【詳解】的定義域?yàn)?，．?dāng)時(shí)，設(shè)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．設(shè)在上的唯一零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，＜0；當(dāng)時(shí)，＞0.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．由，可得，兩邊取對數(shù)整理得，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立）故當(dāng)時(shí)，.故的最小值為.例題2．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有個(gè)零點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1），，在處的切線方程為.（2）由（1）令，則，①當(dāng)時(shí)，，即.②當(dāng)時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.，存在唯一，使得.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，存在唯一，使得，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn).④當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn).例題3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】【詳解】，，，令，則，令，則，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，；，；由零點(diǎn)存在性定理可知，，使得，即①∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，；，；∴，即②由①②可得，令，因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，又，所以方程有唯一解，將代入，解得，所以，當(dāng)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的值為.精練核心考點(diǎn)1．（2023下·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（其中），求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，則，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，故切線方程為，即.（2）由題意有兩個(gè)不等的正根，等價(jià)于有兩個(gè)不等的實(shí)根，設(shè)，則，設(shè)，則在為增函數(shù)，且，所以存在唯一的，使，得①，當(dāng)時(shí)，，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在內(nèi)單調(diào)遞增；所以，代入①式得，當(dāng)趨向于0或時(shí)，趨向，

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2023下·湖北·高二武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù).(1)求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)有極小值，無極大值.(2)【詳解】（1）求導(dǎo)得所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）由題知不等式在上恒成立，則原問題等價(jià)于不等式在上恒成立，記，則記則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由得，即，所以，.3．（2023上·北京·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，曲線在的切線為．(1)求a，b的值；(2)求證：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；(3)求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【答案】(1).(2)證明見解析(3)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0，證明見解析.【詳解】（1），則有，解得，，則.（2）由（1）知，，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，所以在上恒成立，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)?，令，令，得，設(shè)，由（2）知在上單調(diào)遞增，且，，故存在唯一零點(diǎn)使得，即存在唯一零點(diǎn)滿足，即得，則，且當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，，則，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.題型七：重點(diǎn)考查函數(shù)零點(diǎn)（方程根）中的極限問題典型例題例題1．（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的圖象在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【詳解】（1）由題意可得，則.因?yàn)?，所以所求切線方程為，即；（2）由題意可得.由，得或，由，得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，.當(dāng)，即時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn).綜上，當(dāng)或時(shí)，有且僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn).例題2．（2023上·山東·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2)【詳解】（1）由題意可得，①若，則，即函數(shù)在R上單調(diào)遞增，②若，令，即，令或，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，綜