微積分教學(xué)課件1-5無(wú)窮大和無(wú)窮小

第五節(jié)無(wú)窮小和無(wú)窮大無(wú)窮小量和無(wú)窮大量無(wú)窮小的階及其比較無(wú)窮小的運(yùn)算一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量1、定義:在某種變化趨勢(shì)下，極限為零的變量稱(chēng)為無(wú)窮小.例如,注意（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).判斷下面的函數(shù)是否為無(wú)窮小量

2、定義：在某種變化趨勢(shì)下，絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大量.特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．例：注意:（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;（3）無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.例、函數(shù)

當(dāng)時(shí),是無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大量。定義：如果或，則直線(xiàn)是函數(shù)圖形的水平漸進(jìn)近線(xiàn)。定理4在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.無(wú)窮小量和無(wú)窮大量之間的關(guān)系意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.二、無(wú)窮小的階及其比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義:設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,例如，注：一般地規(guī)定例1、例2、確定當(dāng)時(shí)，的階。例3、確定當(dāng)時(shí)，的階。分析：解：分析：解：例4、當(dāng)時(shí)比較和的階

(n為正整數(shù)）解、例

容易驗(yàn)證是等價(jià)無(wú)窮小。三、無(wú)窮小運(yùn)算無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);定理4在同一過(guò)程中,（1）有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.（2）有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小（3）有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小

例5、求解：注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.定理5(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證推論1、推論2、意義：1、若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．無(wú)窮小替換會(huì)使計(jì)算大大簡(jiǎn)化。2、用等價(jià)無(wú)窮小可給出函數(shù)的近似表達(dá)式．例如,常用等價(jià)無(wú)窮小:例6、求例7、求解解例8、求解例9、求解1

解2不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.注意練習(xí)：習(xí)1習(xí)2習(xí)3習(xí)1解習(xí)2解習(xí)3解解錯(cuò)例10解注：可以用無(wú)窮小分析求極限四、小結(jié)1、主要內(nèi)容:無(wú)窮小的定義，無(wú)窮小的階及其比較，無(wú)窮小的運(yùn)算。2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于過(guò)程而言的.（1）無(wú)窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮?。唬?）無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.（4）并不是所有的無(wú)窮小都能比較。無(wú)窮小的比較反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.等價(jià)無(wú)窮小的代換:求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.