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第3課時(shí)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解復(fù)合函數(shù)的概念,掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的公式、法則進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(僅限于形如f(ax+b)的導(dǎo)數(shù)).問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則已知函數(shù)y=ln(2x+5),y=sin(x+2).思考這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征?答案
函數(shù)y=ln(2x+5),y=sin(x+2)都是由兩個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而成的.梳理復(fù)合函數(shù)的概念一般地,對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以表示成
,那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=
.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′=
,即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于___________
.x的函數(shù)f(g(x))yu′·ux′y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積1.函數(shù)y=e-x的導(dǎo)數(shù)為y′=e-x.(
)2.函數(shù)f(x)=sin(-x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=cosx.(
)3.函數(shù)y=cos(3x+1)由函數(shù)y=cosu,u=3x+1復(fù)合而成.(
)[思考辨析判斷正誤]√××題型探究類型一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)命題角度1單純的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解
y=設(shè)y=
,u=1-2x2,(2)y=log2(2x+1);解
設(shè)y=log2u,u=2x+1,(3)y=ecosx+1;解
設(shè)y=eu,u=cosx+1,則yx′=y(tǒng)u′·ux′=eu·(-sinx)=-ecosx+1sinx.反思與感悟
(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn):①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù);②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo);③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔.跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=(x2-4)2;(2)y=ln(6x+4);解
y′=2(x2-4)(x2-4)′=2(x2-4)·2x=4x3-16x.(3)y=103x-2;解
y′=(103x-2ln10)·(3x-2)′=3×103x-2ln10.(6)y=cos2x.解
y′=2cosx·(cosx)′=-2cosx·sinx=-sin2x.命題角度2復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合求導(dǎo)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).反思與感悟
(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí),應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系學(xué)過的求導(dǎo)公式,對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù),可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形,以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后,中間步驟可以省略,即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過程,直接運(yùn)用公式,由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=sin3x+sinx3;解
y′=(sin3x+sinx3)′=(sin3x)′+(sinx3)′=3sin2xcosx+cosx3·3x2=3sin2xcosx+3x2cosx3.(2)y=xln(1+2x).解
y′=x′ln(1+2x)+x[ln(1+2x)]′類型二復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解
由曲線y=f(x)過(0,0)點(diǎn),可得ln1+1+b=0,故b=-1.即為曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率.反思與感悟復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題,正確的求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提,審題時(shí)注意所給點(diǎn)是不是切點(diǎn),挖掘題目隱含條件,求出參數(shù),解決已知經(jīng)過一定點(diǎn)的切線問題,尋求切點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.解
由y=esinx,得y′=(esinx)′=cosxesinx,即
=1,則切線方程為y-1=x-0,即x-y+1=0.若直線l與切線平行,可設(shè)直線l的方程為x-y+c=0.故直線l的方程為x-y+3=0或x-y-1=0.達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345C.ex-e-x D.ex+e-x√√12345123453.已知函數(shù)f(x)=ln(3x-1),則f′(1)=_____.1234512345-1解析
由函數(shù)y=2cos2x=1+cos2x,得y′=(1+cos2x)′=-2sin2x,5.曲線
y=
在點(diǎn)(4,e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為____.e2令x=0,得y=-e2,令y=0,得x=2,12345解析求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)f(ax+b)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想,先把
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