【整合課件】5.2-第3課時(shí)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

第3課時(shí)簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解復(fù)合函數(shù)的概念，掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.能夠利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，并結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的公式、法則進(jìn)行一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)(僅限于形如f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù)).問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則已知函數(shù)y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2).思考這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征？答案

函數(shù)y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)都是由兩個(gè)基本函數(shù)復(fù)合而成的.梳理復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)變量u，y可以表示成

，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝

.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為yx′＝

，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于___________

.x的函數(shù)f(g(x))yu′·ux′y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積1.函數(shù)y＝e－x的導(dǎo)數(shù)為y′＝e－x.(

)2.函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝cosx.(

)3.函數(shù)y＝cos(3x＋1)由函數(shù)y＝cosu，u＝3x＋1復(fù)合而成.(

)[思考辨析判斷正誤]√××題型探究類型一求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)命題角度1單純的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解

y＝設(shè)y＝

，u＝1－2x2，(2)y＝log2(2x＋1)；解

設(shè)y＝log2u，u＝2x＋1，(3)y＝ecosx＋1；解

設(shè)y＝eu，u＝cosx＋1，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′＝eu·(－sinx)＝－ecosx＋1sinx.反思與感悟

(1)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的步驟(2)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的注意點(diǎn)：①分解的函數(shù)通常為基本初等函數(shù)；②求導(dǎo)時(shí)分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo)；③計(jì)算結(jié)果盡量簡(jiǎn)潔.跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝(x2－4)2；(2)y＝ln(6x＋4)；解

y′＝2(x2－4)(x2－4)′＝2(x2－4)·2x＝4x3－16x.(3)y＝103x－2；解

y′＝(103x－2ln10)·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(6)y＝cos2x.解

y′＝2cosx·(cosx)′＝－2cosx·sinx＝－sin2x.命題角度2復(fù)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則結(jié)合求導(dǎo)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).反思與感悟

(1)在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式，對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形，以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的.(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直接運(yùn)用公式，由外及內(nèi)逐層求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y＝sin3x＋sinx3；解

y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(2)y＝xln(1＋2x).解

y′＝x′ln(1＋2x)＋x[ln(1＋2x)]′類型二復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用解

由曲線y＝f(x)過(guò)(0,0)點(diǎn)，可得ln1＋1＋b＝0，故b＝－1.即為曲線y＝f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線的斜率.反思與感悟復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，正確的求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前提，審題時(shí)注意所給點(diǎn)是不是切點(diǎn)，挖掘題目隱含條件，求出參數(shù)，解決已知經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)的切線問(wèn)題，尋求切點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解

由y＝esinx，得y′＝(esinx)′＝cosxesinx，即

＝1，則切線方程為y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.若直線l與切線平行，可設(shè)直線l的方程為x－y＋c＝0.故直線l的方程為x－y＋3＝0或x－y－1＝0.達(dá)標(biāo)檢測(cè)12345C.ex－e－x D.ex＋e－x√√12345123453.已知函數(shù)f(x)＝ln(3x－1)，則f′(1)＝_____.1234512345－1解析

由函數(shù)y＝2cos2x＝1＋cos2x，得y′＝(1＋cos2x)′＝－2sin2x，5.曲線

y＝

在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為_(kāi)___.e2令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，12345解析求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)f(ax＋b)的導(dǎo)數(shù)實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想，先把