人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步備課第二十三章旋轉(zhuǎn)(知識清單)【原卷版+解析】

一、學(xué)習(xí)目標1了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì).2了解中心對稱和中心對稱圖形的概念并理解它的基本性質(zhì).3掌握關(guān)于原點對稱的兩點的關(guān)系并應(yīng)用.重點：

1掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì).2掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法.難點：

1圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的歸納與運用.2中心對稱的基本性質(zhì)的歸納與運用.二、學(xué)習(xí)過程【章節(jié)介紹】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，探索圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)，進一步發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)運動幾何的觀點，增強審美意識.讓學(xué)生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，享受學(xué)習(xí)樂趣，學(xué)生運用所學(xué)知識進行圖案設(shè)計活動，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.【知識梳理】一旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個平面圖形繞著_________一個__________沿某一方向轉(zhuǎn)動一個__________，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個定點叫做__________.轉(zhuǎn)動的角叫做__________.二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：1.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離__________.2.對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角____________旋轉(zhuǎn)角.3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形____________.三簡單旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟：1)找出圖形的__________；2)確定______________________________________；3)將關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個角，得到關(guān)鍵點的_____________；4)按照原圖形的順序連接這些________________，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形．四中心對稱的概念：把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)__________，如果它能夠與另一個圖形__________，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱.1）這個點叫做__________.2）這兩個圖形中的__________叫做關(guān)于中心的對稱點.五中心對稱的性質(zhì)：1)中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段____________________，而且被對稱中心所__________.2)中心對稱的兩個圖形是__________.六利用中心對稱的性質(zhì)作圖的基本步驟：1.作點的__________：先連接____________________，然后延長__________；2.做圖形的中心對稱：先確定好圖形的__________（如多邊形的頂點、線段的端點，圓的圓心等），再作____________________，然后順次__________.七中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)________后，能和___________互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；這個點叫做它的______________；互相重合的點叫做______________.八中心對稱圖形的性質(zhì)：中心對稱圖形上每一對對應(yīng)點連線都經(jīng)過______________，并且被對稱中心______________.九在直角坐標系中關(guān)于原點對稱的點的坐標的關(guān)系：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號_________，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點P＇(______，____________)。十在直角坐標系中作關(guān)于原點的中心對稱圖形的一般步驟：1）確定____________(通常為圖形頂點等特殊點)的坐標；2）寫出__________關(guān)于____________對稱的點坐標；3）在直角坐標系中標出_____________的坐標；4）順次連接________________，所作的圖形為所求圖形.【考點解讀】考查題型一畫旋轉(zhuǎn)圖形1．圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上．（1）將△ABC向右平移5個單位得到△A1B（2）將（1）中的△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的三個頂點分別是A?5,1，B?1,3，(1)平移△ABC，使得點A的對應(yīng)點A1的坐標為1,3，畫出平移后的△(2)將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A(3)若△A1B1C1與3．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，3），B（4，2），C（2，1）．(1)平移△ABC，使得點A的對應(yīng)點A1的坐標為（﹣1，﹣1），則點C的對應(yīng)點C1的坐標為；(2)將△ABC繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，在圖中畫出△A2B2C2；(3)M、N為x軸上的兩個動點，點M在點N的左側(cè)，連接MN，若MN＝1，點D（0，﹣1）為y軸上的一點，連接DM、CN，則DM＋CN的最小值為．考查題型二旋轉(zhuǎn)綜合題1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．2．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一點，AB=4，DE=4.3，△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與△DCF重合．（1）旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角為______°；（2）請你判斷△DFE的形狀，簡單說明理由；（3）四邊形DEBF的面積為．3．如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC．

（1）證明：⊿ABC≌⊿DCB；（2）求∠AEB的大小．（3）如圖2，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大?。?．如圖，將RtΔADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，射線EB與DF相交于點C，∠D=90°，求證：四邊形ABCD為正方形．5．探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點E，F(xiàn)分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得EF=BE+DF，請寫出推理過程；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系_______時，仍有EF=BE+DF;（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=22，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE6．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA<OM<OA，（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM=BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA=4，OM=3，請直接寫出線段AM的長．7．如圖，△AOB中，OA=OB=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD．OC與AB交于點G，CD分別交OB、AB于點E、F．(1)∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠A______∠D；(2)求證：△AOG≌△DOE；(3)當A，O，D三點共線時，恰好OB⊥CD，求此時CD的長．考查題型三根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、線段長、角度1．如圖，△ABC和△DEF關(guān)于點O成中心對稱．(1)找出它們的對稱中心；(2)若AC=6，AB=5，，求△DEF的周長；(3)連接，CD，試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由．2．如圖，△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱．(1)畫出對稱中心O；（保留作圖痕跡）(2)若BC=3，AC=4，AB=5，則△DEF的面積=．3．如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF=求證：FD=BE．4．已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關(guān)于直線AF成軸對稱，三角形ABE與三角形DCE關(guān)于點E成中心對稱，點E、D、M都在線段AF上，BM的延長線交CF于點P．（1）求證：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．5．如圖，在長方形ABCD中，AB=4，BC=6．點P從點A出發(fā)，沿折線AB?BC以每秒2個單位的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CB以每秒1個單位的速度向點B運動，當點P到達點C時，點P、Q同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)當點P在邊BC上運動時，PB=______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當點P與點Q重合時，求t的值；(3)當BQ=2PB時，求t的值；(4)若點P關(guān)于點B的中心對稱點為點P'，直接寫出△PDP'和△QDC考查題型四在方格紙中補畫圖使之成為中心對稱圖形1．如圖，點A、B、C都是格點（格點即每一個小正方形的頂點）．（1）在圖1中確定點D，并畫出以A、B、C、D為頂點的四邊形，使這個四邊形為軸對稱圖形（畫一個即可）；（2）在圖2中確定點E，并畫出以A、B、C、E為頂點的四邊形，使這個四邊形為中心對稱圖形（畫一個即可）．2．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點A、B均在格點上：只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．(1)在圖①中畫一個△ABC，使其是軸對稱圖形且為銳角三角形．(2)在圖②中畫一個四邊形ADBE，使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．(3)在圖③中畫一個四邊形AMBN，使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，且四條邊長均為無理數(shù)．3．圖①、圖②、圖③均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B均在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．(1)在圖①中以AB為邊畫一個面積為3的三角形ABC．(2)在圖②中以AB為邊畫一個面積為5的中心對稱四邊形ABDE．(3)在圖③中以AB為邊畫一個面積為6的軸對稱四邊形ABFG．4．圖①、圖②、圖③都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，已有兩個小等邊三角形涂上了黑色．(1)在圖①中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．(2)在圖②中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．(3)在圖③中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．考查題型五已知兩點關(guān)于原點對稱求參數(shù)1．已知點P（2x，y2＋4）與Q（x2＋1，﹣4y）關(guān)于原點對稱，求x＋y的值．2．如圖，三角形PQR是三角形ABC經(jīng)過某種變換后得到的圖形，分別觀察點A與點P，點B與點Q，點C與點R的坐標之間的關(guān)系．(1)直接寫出AC與y軸交點的坐標．(2)若三角形ABC內(nèi)任意一點M的坐標為（a+3，4﹣b），點M經(jīng)過上述變換后得到點N的坐標為（2a，2b﹣3），則a﹣b的值為．(3)若三角形PQR先向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到三角形，畫出三角形并求三角形P'AC的面積．3．已知拋物線．(1)求證：拋物線與x軸必有交點；(2)若該拋物線與直線y=2x的兩個交點關(guān)于原點對稱，求m的值．4．如圖所示，在平面直角坐標系中，△PQR是由△ABC經(jīng)過某種變換后得到的圖形.⑴仔細觀察點A和點P，點B和點Q，點C和點R的坐標之間的關(guān)系，在這種變換下分別寫出這六個點的坐標，從中你發(fā)現(xiàn)什么特征？請你用文字語言將你發(fā)現(xiàn)的特征表達出來；⑵若△ABC內(nèi)有一點M(2a+5,-1-3b)經(jīng)過變換后，在△PRQ內(nèi)的坐標為（-3，-2），根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的特征，求關(guān)于x的方程2-ax=bx-3的解.考查題型六圖案設(shè)計1．規(guī)定：在平面內(nèi)，如果一個圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度α（0°＜α≤180°）后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，轉(zhuǎn)動的這個角度α稱為這個圖形的一個旋轉(zhuǎn)角．例如：正方形繞著兩條對角線的交點O旋轉(zhuǎn)90°或180°后，能與自身重合（如圖1），所以正方形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有兩個旋轉(zhuǎn)角．根據(jù)以上規(guī)定，回答問題：（1）下列圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，但不是中心對稱圖形的是________；A．矩形

B．正五邊形

C．菱形

D．正六邊形（2）下列圖形中，是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，且有一個旋轉(zhuǎn)角是60度的有：________（填序號）；

（3）下列三個命題：①中心對稱圖形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；②等腰三角形是旋轉(zhuǎn)對稱圖形；③圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，其中真命題的個數(shù)有（

）個；A．0

B．1

C．2

D．3（4）如圖2的旋轉(zhuǎn)對稱圖形由等腰直角三角形和圓構(gòu)成，旋轉(zhuǎn)角有45°，90°，135°，180°，將圖形補充完整．2．圖1，圖2都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個網(wǎng)格圖中有5個小等邊三角形已涂上陰影，請在余下的空白小等邊三角形中，按下列要求選取一個涂上陰影：（1）使得6個陰影小等邊三角形組成一個軸對稱圖形．

（2）使得6個陰影小等邊三角形組成一個中心對稱圖形．

（請將兩個小題依次作答在圖1，圖2中，均只需畫出符合條件的一種情形）3．如圖是由54個邊長為1的小等邊三角形組成的網(wǎng)格，請按要求畫格點多邊形（頂點均在格點上）．(1)在圖1中畫一個以AB為腰的△ABC．(2)在圖2中畫一個四邊形ABDE，使其中一條對角線長為4，且恰有兩個內(nèi)角為90°．4．如圖是在北京舉辦的世界數(shù)學(xué)家大會的會標“弦圖”．請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學(xué)過的圖形變換，在以下方格紙中設(shè)計另外兩個不同的圖案．畫圖要求：①每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形互不重疊；②所設(shè)計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．

一、學(xué)習(xí)目標1了解圖形的旋轉(zhuǎn)的有關(guān)概念并理解它的基本性質(zhì).2了解中心對稱和中心對稱圖形的概念并理解它的基本性質(zhì).3掌握關(guān)于原點對稱的兩點的關(guān)系并應(yīng)用.重點：

1掌握二次函數(shù)的圖象特征及其性質(zhì).2掌握用待定系數(shù)法求拋物線解析式的方法.難點：

1圖形旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)的歸納與運用.2中心對稱的基本性質(zhì)的歸納與運用.二、學(xué)習(xí)過程【章節(jié)介紹】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作等過程，了解圖形旋轉(zhuǎn)的概念，探索圖形旋轉(zhuǎn)基本性質(zhì)，進一步發(fā)展空間觀察，培養(yǎng)運動幾何的觀點，增強審美意識.讓學(xué)生通過獨立思考，自主探究和合作交流進一步體會旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，享受學(xué)習(xí)樂趣，學(xué)生運用所學(xué)知識進行圖案設(shè)計活動，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情.【知識梳理】一旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，將一個平面圖形繞著平面內(nèi)一個定點沿某一方向轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn).這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角.二旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：1.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.2.對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.3.旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.三簡單旋轉(zhuǎn)作圖的一般步驟：1)找出圖形的關(guān)鍵點；2)確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角；3)將關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心連接起來，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一個角，得到關(guān)鍵點的對應(yīng)點；4)按照原圖形的順序連接這些對應(yīng)點，所得到的圖形就是旋轉(zhuǎn)后的圖形．四中心對稱的概念：把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180o，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱.1）這個點叫做對稱中心.2）這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的對稱點.五中心對稱的性質(zhì)：1)中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分.2)中心對稱的兩個圖形是全等形.六利用中心對稱的性質(zhì)作圖的基本步驟：1.作點的中心對稱：先連接點和對稱中心，然后延長一倍；2.做圖形的中心對稱：先確定好圖形的特殊點（如多邊形的頂點、線段的端點，圓的圓心等），再作特殊點的對稱點，然后順次連接.七中心對稱圖形的概念：如果一個圖形繞一個點旋轉(zhuǎn)180°后，能和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形；這個點叫做它的對稱中心；互相重合的點叫做對稱點.八中心對稱圖形的性質(zhì)：中心對稱圖形上每一對對應(yīng)點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.九在直角坐標系中關(guān)于原點對稱的點的坐標的關(guān)系：兩個點關(guān)于原點對稱時，它們的坐標符號相反，即點P（x，y）關(guān)于原點O的對稱點P＇(-x，-y)。十在直角坐標系中作關(guān)于原點的中心對稱圖形的一般步驟：1）確定關(guān)鍵點(通常為圖形頂點等特殊點)的坐標；2）寫出關(guān)鍵點關(guān)于原點對稱的點坐標；3）在直角坐標系中標出對稱點的坐標；4）順次連接對稱點，所作的圖形為所求圖形.【考點解讀】考查題型一畫旋轉(zhuǎn)圖形1．圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上．（1）將△ABC向右平移5個單位得到△A1B（2）將（1）中的△A1B1C1繞點C1逆時針旋轉(zhuǎn)【詳解】解：（1）如下圖所示，△A（2）如下圖所示，△A2．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC的三個頂點分別是A?5,1，B?1,3，(1)平移△ABC，使得點A的對應(yīng)點A1的坐標為1,3，畫出平移后的△(2)將△ABC繞點O旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A(3)若△A1B1C1與【詳解】（1）如圖所示：△A（2）如圖所示：△A（3）已知A1的坐標(1,3)，根據(jù)圖形可知A2的坐標為：(5,-1)，則P點橫坐標為：，P點的縱坐標為：3?12=1點P的坐標(3,1)．故答案是：（3，1）3．如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點坐標分別為A（1，3），B（4，2），C（2，1）．(1)平移△ABC，使得點A的對應(yīng)點A1的坐標為（﹣1，﹣1），則點C的對應(yīng)點C1的坐標為；(2)將△ABC繞原點旋轉(zhuǎn)180°得到△A2B2C2，在圖中畫出△A2B2C2；(3)M、N為x軸上的兩個動點，點M在點N的左側(cè)，連接MN，若MN＝1，點D（0，﹣1）為y軸上的一點，連接DM、CN，則DM＋CN的最小值為．【詳解】（1）解：∵平移△ABC，使得點A（1，3）的對應(yīng)點A1的坐標為（﹣1，﹣1），∴平移方式為：將△ABC先向左平移2個單位長度，再向下平移4個單位長度，∴點C（2，1）的對應(yīng)點C1的坐標為（0，－3），故答案為：（0，－3）；（2）△A2B2C2如圖所示：（3）如圖，取點D′（1，?1），連接CD′交x軸于點N′，∵M′N′＝DD′＝1，且M′N′∥DD′，∴四邊形M′N′D′D是平行四邊形，∴DM′＝D′N′，∴DM′＋CN′＝D′N′＋CN′＝CD′，∴DM＋CN的最小值為CD′＝，故答案為：5．考查題型二旋轉(zhuǎn)綜合題1．如圖，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE、CF相交于點D．（1）求證：BE＝CF；（2）當四邊形ABDF為菱形時，求CD的長．【詳解】（1）證明：如圖，∵△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中AB=∴△ABE≌△ACF，∴BE＝CF；（2）解：如圖，∵四邊形ABDF為菱形，∴DF＝AF＝2，DF∥AB，∴∠1＝∠BAC＝45°，∴△ACF為等腰直角三角形，∴CF＝2AF＝22，∴CD＝CF﹣DF＝22﹣2．2．如圖，點E是正方形ABCD的邊AB上一點，AB=4，DE=4.3，△DAE逆時針旋轉(zhuǎn)后能夠與△DCF重合．（1）旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角為______°；（2）請你判斷△DFE的形狀，簡單說明理由；（3）四邊形DEBF的面積為．【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得，旋轉(zhuǎn)中心是點D；旋轉(zhuǎn)角為∠ADC=90°，故答案為點D，90；（2）△DFE是等腰直角三角形．；理由：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得DE=DF，∠EDF=∠ADC=90°，所以△DFE是等腰直角三角形．；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：△ADE≌△CDF，∴四邊形DEBF的面積=正方形ABCD的面積=4×4=16．3．如圖1，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連接AC和BD，相交于點E，連接BC．

（1）證明：⊿ABC≌⊿DCB；（2）求∠AEB的大小．（3）如圖2，△OAB固定不動，保持△OCD的形狀和大小不變，將△OCD繞點O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊），求∠AEB的大小．【詳解】證明：(1)∵AO=DO，且ΔAOB、ΔDOC都為等邊三角形，∴CO=BO,∠COD=∠BOA=60∴∠COB=60∴ΔCOB為等邊三角形，∴∠DCB=∠ABC=120在ΔABC和中，AB=CDBC=BC∴ΔABC≌ΔDCB;(2)如圖所示：

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，且點O是線段AD的中點，∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60∴∠4=∠5，又∵∠4+∠5=∠2=60∴∠4=30同理∠6=30∵∠AEB=∠4+∠6，∴∠AEB=60(3)如圖所示：

∵△DOC和△ABO都是等邊三角形，∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60又∵OD=OA，∴OD=OB，OA=OC，∴∠4=∠5，∠6=∠7，∵∠DOB=∠1+∠3，∠AOC=∠2+∠3，∴∠DOB=∠AOC.∵∠4+∠5+∠DOB=180∴2∠5=2∠6，，又∵∠AEB=∠8?∠5，∠8=∠2+∠6，∴∠AEB=∠2+∠6?∠5=∠2+∠5?∠5=∠2，∴∠AEB=64．如圖，將RtΔADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，射線EB與DF相交于點C，∠D=90°，求證：四邊形ABCD為正方形．【詳解】證明：∵將RtΔADF繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴∠EAF=90°,△ADF≌△ABE，∴∠EAB=∠FAD，AB=AD，∵∠D=90°，∴∠ABE=90°，∴∠ABC=90°，∵∠EAB+∠BAF=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，即∠BAD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．5．探究：如圖1和2，四邊形ABCD中，已知AB=AD，∠BAD=90°，點E，F(xiàn)分別在BC、CD上，∠EAF=45°．（1）①如圖1，若∠B、∠ADC都是直角，把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，則能證得EF=BE+DF，請寫出推理過程；②如圖2，若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足數(shù)量關(guān)系_______時，仍有EF=BE+DF;（2）拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=22，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．若BD=1，求DE【詳解】（1）①如圖1，∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF=AF∴△EAF≌△GAFSAS∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；②∠B+∠D=180°，理由是：把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C，D，G在一條直線上，和①知求法類似，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中AF=AF∴△EAF≌△GAF(SAS)，∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；故答案為：∠B+∠D=180°（2）∵△ABC中，AB=AC=22，∠BAC=90∴∠ABC=∠C=45°，由勾股定理得：BC=A把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC?∠DAE=90°?45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中AD=AD∠FAD=∠EAD∴△FAD≌△EAD，∴，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BD=1，∴BF=CE=4?1?x=3?x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DFx2解得：x=5即DE=56．已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形22OA<OM<OA，（1）如圖1，連接AM，BN，求證：AM=BN；（2）將△MON繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．①如圖2，當點M恰好在AB邊上時，求證：AM②當點A，M，N在同一條直線上時，若OA=4，OM=3，請直接寫出線段AM的長．【詳解】解：(1)∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，ON=OM，∠AOB=∠NOM=90又∠AOM=∠NOM+∠AON=90∠BON=∠AOB+∠AON=90∴∠BON=∠AOM，∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，∴AM=BN；(2)①連接BN，如下圖所示：∴∠AOM=∠AOB?∠BOM=90∠BON=∠MON?∠BOM=90且OA=OB，OM=ON，∴ΔAMO≌ΔBNO(SAS)，∴∠A=∠OBN=45°，∴∠ABN=∠ABO+∠OBN=45且ΔOMN為等腰直角三角形，∴MN=2在RtΔBMN中，由勾股定理可知：BM2∴AM②分類討論：情況一：如下圖2所示，設(shè)AO與NB交于點C，過O點作OH⊥AM于H點，∠HNO=45°,∴HO=NO在RtΔAHO中，AH=A∴AM=AH+HM=46情況二：如下圖3所示，過O點作OH⊥AM于H點，∠HNO=45°，∴HO=NO在RtΔAHO中，AH=A∴AM=AH?HM=46故AM=46+327．如圖，△AOB中，OA=OB=6，將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到△COD．OC與AB交于點G，CD分別交OB、AB于點E、F．(1)∠A與∠D的數(shù)量關(guān)系是：∠A______∠D；(2)求證：△AOG≌△DOE；(3)當A，O，D三點共線時，恰好OB⊥CD，求此時CD的長．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)知，∠A=∠C，∠B=∠D，∵OA=OB，∴OC=OD，∠A=∠B=∠C=∠D∴∠A=∠D，故答案為：=．（2）證明：由旋轉(zhuǎn)知，OA=OC，OB=OD，∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠BOC=∠COD－∠BOC，即∠AOG=∠DOE，∵OA=OB，∴OA=OB=OC=OD，又∵∠A=∠D，∴△AOG≌△DOE．（3）解：分兩種情況討論，①如圖所示，設(shè)∠A=∠B=∠C=∠D=x°，則∠DOB=2x°，∵OB⊥CD，∴∠OED=90°，∴x+2x=90°，解得：x=30，即∠D=30°，在Rt△ODE中，OE=3，由勾股定理得：DE=62∵OC=OD，OE⊥CD，∴CD=2DE=63②當D與A重合時，如圖所示，同理，得：CD=63綜上所述，當A，O，D三點共線時，OB⊥CD，此時CD的長為63考查題型三根據(jù)中心對稱的性質(zhì)求面積、線段長、角度1．如圖，△ABC和△DEF關(guān)于點O成中心對稱．(1)找出它們的對稱中心；(2)若AC=6，AB=5，，求△DEF的周長；(3)連接，CD，試判斷四邊形ACDF的形狀，并說明理由．【詳解】（1）如圖，點O為所作：（2）∵△ABC和△DEF關(guān)于點O成中心對稱，∴△ABC≌△DEF，∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4，∴△DEF的周長=4+5+6=15；（3）四邊形ACDF為平行四邊形．理由如下：∵△ABC和△DEF關(guān)于點O成中心對稱，∴OA=OD，OC=OF，∴四邊形ACDF為平行四邊形．2．如圖，△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱．(1)畫出對稱中心O；（保留作圖痕跡）(2)若BC=3，AC=4，AB=5，則△DEF的面積=．【詳解】（1）解：連接AD，CF，AD與CF的交點就是對稱中心O，如圖所示：（2）解：∵BC=3，AC=4，AB=5，∴BC∴△ABC為直角三角形，∵△ABC與△DEF關(guān)于點O成中心對稱，∴S△ABC3．如圖，△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱，點E、F在線段AC上，且AF=求證：FD=BE．【詳解】證明：∵△ABO與△CDO關(guān)于O點中心對稱，∴OB=OD，OA=OC．∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，OB=OD∠DOF=∠∴△DOF≌△BOE（SAS）．∴FD=BE．4．已知：如圖，三角形ABM與三角形ACM關(guān)于直線AF成軸對稱，三角形ABE與三角形DCE關(guān)于點E成中心對稱，點E、D、M都在線段AF上，BM的延長線交CF于點P．（1）求證：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，請你判斷∠F與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【詳解】(1)證明：∵△ABM與△ACM關(guān)于直線AF成軸對稱，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE與△DCE關(guān)于點E成中心對稱，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴設(shè)∠MPC=α，則∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，設(shè)∠BMA=β，則∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM?∠PMF=α?β，∠MCD=∠CDE?∠DMC=α?β，∴∠F=∠MCD.5．如圖，在長方形ABCD中，AB=4，BC=6．點P從點A出發(fā)，沿折線AB?BC以每秒2個單位的速度向點C運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CB以每秒1個單位的速度向點B運動，當點P到達點C時，點P、Q同時停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．(1)當點P在邊BC上運動時，PB=______（用含t的代數(shù)式表示）；(2)當點P與點Q重合時，求t的值；(3)當BQ=2PB時，求t的值；(4)若點P關(guān)于點B的中心對稱點為點P'，直接寫出△PDP'和△QDC【詳解】（1）解：當2≤t≤5時，PB=2t-4，故答案為：（2t-4）（2≤t≤5）；（2）當t=2時，P,B重合，此時P,Q不重合，當P，Q重合時，2t-4+t=6，∴t=10（3）當BQ=2PB時，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4），解得，t=23或∴t=或t=145（4）當點P在AB上時，如圖甲所示，∴12×2（4-2t）×6=12×解得，t=12當點P在BC上時，如圖乙所示，∴12×2（2t-4）×4=12×t綜上所述，滿足條件的t的值為127或8考查題型四在方格紙中補畫圖使之成為中心對稱圖形1．如圖，點A、B、C都是格點（格點即每一個小正方形的頂點）．（1）在圖1中確定點D，并畫出以A、B、C、D為頂點的四邊形，使這個四邊形為軸對稱圖形（畫一個即可）；（2）在圖2中確定點E，并畫出以A、B、C、E為頂點的四邊形，使這個四邊形為中心對稱圖形（畫一個即可）．【詳解】解：（1）如圖1所示：則四邊形ABCD即為所求；（2）如圖2所示：則四邊形ABCE即為所求．2．圖①、圖②、圖③均是5×5的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，每個小正方形的邊長均為1，點A、B均在格點上：只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上．(1)在圖①中畫一個△ABC，使其是軸對稱圖形且為銳角三角形．(2)在圖②中畫一個四邊形ADBE，使其是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形．(3)在圖③中畫一個四邊形AMBN，使其是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形，且四條邊長均為無理數(shù)．【詳解】（1）解：如圖所示，等腰三角形ABC為所求．（答案不唯一）（2）解：根據(jù)題意，可以畫一個箏形或等腰梯形，如圖所示．（答案不唯一）（3）解：如圖所示，平行四邊形AMBN，邊長為：5、．（答案不唯一）3．圖①、圖②、圖③均為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點A、B均在格點上，在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．(1)在圖①中以AB為邊畫一個面積為3的三角形ABC．(2)在圖②中以AB為邊畫一個面積為5的中心對稱四邊形ABDE．(3)在圖③中以AB為邊畫一個面積為6的軸對稱四邊形ABFG．【詳解】（1）解：如圖，三角形ABC就是所要求做的圖形；（2）解：如圖，四邊形ABDE就是所要求做的圖形；（3）解：如圖，四邊形ABFG就是所要求做的圖形．4．圖①、圖②、圖③都是由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點，已有兩個小等邊三角形涂上了黑色．(1)在圖①中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．(2)在圖②中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形為中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．(3)在圖③中，再涂黑兩個小等邊三角形，使得整個涂色部分圖形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形．【詳解】（1）如圖①所示，陰影部分圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；（2）如圖②所示，陰影部分圖形是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形；（3）如圖③所示，陰影部分圖形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．考查題型五已知兩點關(guān)于原點對稱求參數(shù)1．已知點P（2x，y2＋4）與Q（x2＋1，﹣4y）關(guān)于原點對稱，求x＋y的值．【詳解】解：∵點P（2x，y2+4）與Q（x2+1，﹣4y）關(guān)于原點對稱，∴x2+1+2x＝0，y2+4﹣4y＝0，∴（x+1）2＝0，（y﹣2）2＝0，解得：x＝﹣1，y＝2，∴x+y＝-1+2＝1．2．如圖，三角形PQR是三角形ABC經(jīng)過某種變換后得到的圖形，分別觀察點A與點P，點B與點Q，點C與點R的坐標之間的關(guān)系．(1)直接寫出AC與y軸交點的坐標．(2)若三角形ABC內(nèi)任意一點M的坐標為（a+3，4﹣b），點M經(jīng)過上述變換后得到點N的坐標為（2a，2b﹣3），則a﹣b的值為．(3)若三角形PQR先向上平移3個單位，再向右平移4個單位得到三角形，畫出三角形并求三角形P'AC的面積．【詳解】（1）設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（4，3），C（1，2）代入，得4k+b=3k+b=2解得k=1∴直線AC的解析式為y＝，令x＝0，得y＝53∴直線AC與y軸交點的坐標為（0，53故答案為：（0，53（2）由圖可知，△ABC與△PQR是關(guān)于原點成中心對稱，∴可列方程?(a+3)=2a?(4?b)=2b?3解得a=?1b=?1∴a﹣b＝0，故答案為：0．（3）如圖，△P△P'AC3．已知拋物線．(1)求證：拋物線與x軸必有交點；(2)若該拋物線與直線y=2x的兩個交點關(guān)于原點對稱，求m的值．【詳解】（1）解：∵Δ=b∴拋物線與x軸必有交點；（2）解：依題意可設(shè)拋物線與直線的兩交點坐標分別為(a，2a)，(?a，?2a)，