材料力學(xué)：壓桿穩(wěn)定

壓桿穩(wěn)定壓桿穩(wěn)定性的概念細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)歐拉公式的應(yīng)用范圍

臨界應(yīng)力總圖實(shí)際壓桿的穩(wěn)定系數(shù)壓桿的穩(wěn)定計(jì)算

壓桿的合理截面2345壓桿壓桿穩(wěn)定的工程實(shí)例壓桿6壓桿穩(wěn)定的工程實(shí)例桁架中的壓桿7壓桿穩(wěn)定的工程實(shí)例高壓輸電線路保持相間距離的受壓構(gòu)件8第二章中，軸向拉，壓桿的強(qiáng)度條件為例：一長(zhǎng)為300mm的鋼板尺，橫截面尺寸為20mm

1mm。鋼的許用應(yīng)力為[]=196MPa。按強(qiáng)度條件計(jì)算得鋼板尺所能承受的軸向壓力為[F]=FNmax=A[]=3.92kN壓桿穩(wěn)定問(wèn)題的提出實(shí)際上，當(dāng)壓力不到40N

時(shí)，鋼尺就被壓彎?？梢?jiàn)，鋼尺的承載能力并不取決軸向壓縮的抗壓剛度，而是與受壓時(shí)變彎有關(guān)。9結(jié)論

：要提高壓桿的承載能力，就應(yīng)該提高壓桿的抗彎剛度。原因：壓桿在制作時(shí)其軸線存在初曲率；作用在壓桿上的外力作用線不可能毫無(wú)偏差的與桿的軸線相重合；壓桿的材料不可避免地存在不均勻性。10將這些因素都用外加壓力的偏心來(lái)模擬。受偏心壓力作用的桿件，不論偏心距多么小，壓桿的次要變形——彎曲變形將隨壓力的增大而加速增長(zhǎng)，并轉(zhuǎn)化為主要變形，從而導(dǎo)致壓桿喪失承載能力。zxyyzPzxyPmymz桿件產(chǎn)生組合變形：軸向壓縮與兩個(gè)垂直平面內(nèi)的彎曲11中心受壓直桿：桿由均貭材料制成，軸線為直線，外力的作用線與壓桿軸線重合。（不存在壓桿彎曲的初始因素）在分析中心受壓直桿時(shí)，當(dāng)壓桿承受軸向壓力后，假想地在桿上施加一微小的橫向力，使桿發(fā)生彎曲變形，然后撤去橫向力。研究方法：129-1平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性平衡狀態(tài)（平衡構(gòu)形）——構(gòu)件在壓縮載荷作用下發(fā)生變形，最終在某位置保持平衡。穩(wěn)定性平衡——當(dāng)載荷小于一定的數(shù)值時(shí)，微小外界擾動(dòng)使其偏離平衡狀態(tài)。外界擾動(dòng)除去后，構(gòu)件仍能回復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱(chēng)初始的平衡是穩(wěn)定的。反之，構(gòu)件不能回復(fù)到初始平衡狀態(tài)，則稱(chēng)初始的平衡是不穩(wěn)定的。3.失穩(wěn)（或屈曲）——不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)在任意微小外界擾動(dòng)下，將轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌胶鉅顟B(tài)。4.坍塌——壓桿喪失穩(wěn)定性后，將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生的后果，常為災(zāi)難性的?！?-1壓桿穩(wěn)定性的概念13魁比克橋立面圖坍塌后的魁比克橋失穩(wěn)的嚴(yán)重性14失穩(wěn)的嚴(yán)重性---腳手架中的壓桿15失穩(wěn)的嚴(yán)重性16易拉罐失穩(wěn)17平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性判斷18§9-1壓桿穩(wěn)定性的概念9-2臨界狀態(tài)與臨界載荷穩(wěn)定平衡狀態(tài)不穩(wěn)定平衡狀態(tài)臨界平衡狀態(tài)19§9-1壓桿穩(wěn)定性的概念9-2臨界狀態(tài)與臨界載荷臨界狀態(tài)——介于穩(wěn)定平衡與不穩(wěn)定平衡狀態(tài)之間的平衡狀態(tài)。臨界載荷——使桿件處于臨界狀態(tài)的壓縮載荷。臨界載荷：Fcr壓桿的承載能力由臨界載荷決定！20兩端球形絞支，長(zhǎng)為l

的等截面細(xì)長(zhǎng)

中心受壓直桿§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式mxmyBxAyymmxBw21壓桿任一x截面沿y方向的位移為w

=f(x)該截面的彎矩為桿的撓曲線近似微分方程為ymmxBw22其中I

為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩。則有二階常系數(shù)線性微分方程ymmxBω令23其通解為由撓曲線的邊界條件確定。BxAyA，B，k

三個(gè)待定常數(shù).24把邊界條件：B=0代入方程，得方程變?yōu)锽xAy25把代入方程，得方程變?yōu)锽xAy26要想壓桿在微彎狀態(tài)下平衡只有BxAy27其最小解為n=1的解BxAy28即得這就是兩端絞支等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的計(jì)算公式（歐拉公式）BxAy29當(dāng)時(shí)，撓曲線方程為撓曲線為半波正弦曲線。301.兩端絞支§9-3不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

長(zhǎng)度系數(shù)一、不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

2.一端固定另絞支端ABcC

為拐點(diǎn)31ABcD3.兩端固定C，D

為拐點(diǎn)324.一端固定另端自由33兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由表12—1各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式

支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)

34歐拉公式的統(tǒng)一形式

為壓桿的長(zhǎng)度系數(shù)=1=0.7=0.5=2兩端絞支一端固定另絞支端兩端固定一端固定另端自由支承情況臨界力的歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)

35

細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)36F37討論

為長(zhǎng)度系數(shù)

l

為相當(dāng)長(zhǎng)度（1）相當(dāng)長(zhǎng)度

l

的物理意義1壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線上兩拐點(diǎn)間的長(zhǎng)度就是壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度l

。2

l是各種支承條件下，細(xì)長(zhǎng)壓桿失穩(wěn)時(shí)，撓曲線中相當(dāng)于半波正弦曲線的一段長(zhǎng)度38（2）橫截面對(duì)某一形心主慣性軸的慣性矩I1若桿端在各個(gè)方向的約束情況相同（球形絞等），則I應(yīng)取最小的形心主慣性矩。

為長(zhǎng)度系數(shù)

l

為相當(dāng)長(zhǎng)度39zy取Iy，Iz

中小的一個(gè)計(jì)算臨界力。x402若桿端在各個(gè)方向的約束情況不同（柱形絞），應(yīng)分別計(jì)算桿在不同方向失穩(wěn)時(shí)的臨界力。I為其相應(yīng)的對(duì)中性軸的慣性矩。

為長(zhǎng)度系數(shù)

l

為相當(dāng)長(zhǎng)度41zy分別用Iy，Iz

計(jì)算出兩個(gè)臨界力。最后取小的一個(gè)作為壓桿的臨界力。x42

連桿失穩(wěn)43例題：由A3鋼加工成的工字型截面桿，兩端為柱形絞。在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端絞支，

z=1，長(zhǎng)度為l1。在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束情況接近于兩端固定

y=0.6，長(zhǎng)度為l2。求Fcr。zy2212662444解：在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，z為中性軸zy2212662445在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，y

為中性軸zy2212662446一、歐拉公式的應(yīng)用范圍(1)壓桿的臨界應(yīng)力公式（臨界應(yīng)力歐拉公式）壓桿受臨界力Fcr作用而仍在直線平衡形態(tài)下維持不穩(wěn)定的平衡時(shí)，橫截面上的壓應(yīng)力可按

=F/A

計(jì)算?！?-4歐拉公式的應(yīng)用范圍

臨界應(yīng)力總圖47按各種支承情況下壓桿臨界力的歐拉公式算出壓桿橫截面上的應(yīng)力為為壓桿橫截面對(duì)中性軸的慣性半徑48

稱(chēng)為壓桿的柔度（長(zhǎng)細(xì)比）。集中地反映了壓桿的長(zhǎng)度，桿端約束，截面尺寸和形狀對(duì)臨界應(yīng)力的影響。49

越大，相應(yīng)的

cr

越小，壓桿越容易失穩(wěn)。若壓桿在不同平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的支承約束條件不同，應(yīng)分別計(jì)算在各平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的柔度

，并按較大者計(jì)算壓桿的臨界應(yīng)力

cr

。50(2)歐拉公式的應(yīng)用范圍只有在

cr

P

的范圍內(nèi)，才可以用歐拉公式計(jì)算壓桿的臨界力Fcr（臨界應(yīng)力

cr）?；?1

當(dāng)

>P（大柔度壓桿或細(xì)長(zhǎng)壓桿）時(shí)，才能應(yīng)用歐拉公式。

當(dāng)

P但大于某一數(shù)值

S的壓桿（中柔度壓桿），

不能應(yīng)用歐拉公式。用經(jīng)驗(yàn)公式

P

的大小取決于壓桿的力學(xué)性能。例如，對(duì)于Q235鋼，可取E=206MPa，P=200MPa，得52右圖稱(chēng)為歐拉臨界應(yīng)力曲線。實(shí)線部分是歐拉公式適用范圍的曲線，虛線部分無(wú)意義。O53o二、壓桿的臨界應(yīng)力總圖經(jīng)驗(yàn)公式54例題：圖示各桿均為圓形截面細(xì)長(zhǎng)壓桿。已知各桿的材料及直徑相等。問(wèn)哪個(gè)桿先失穩(wěn)。aFF1.3aF1.6adAcB55桿B：

=1桿C：

=0.7桿A：

=2解：A桿先失穩(wěn)aFF1.3aF1.6adAcB56例題：截面為圓形，直徑為d兩端固定的細(xì)長(zhǎng)壓桿和截面為正方形，邊長(zhǎng)為d兩端絞支的細(xì)長(zhǎng)壓桿，材料及柔度都相同，求兩桿的長(zhǎng)度之比及臨界力之比。解：圓形截面桿：57正方形截面桿：58由

1=2

得所以5960例題：兩端為球絞支的圓截面桿，材料的彈性模量，桿的直徑d=100mm，桿長(zhǎng)為多少時(shí)方可用歐拉公式計(jì)算該桿的臨界力？解：61用歐拉公式計(jì)算該桿的臨界力的條件為62例題：壓桿截面如圖所示。若繞y軸失穩(wěn)可視為兩端固定，若繞z軸失穩(wěn)可視為兩端絞支。已知，桿長(zhǎng)l=1m,材料的彈性模量E=200GPa，

P=200MPa。求壓桿的臨界應(yīng)力。30mm20mmyz63解：30mm20mmyz64因?yàn)?/p>

z>y

,所以壓桿繞z

軸先失穩(wěn)，且z=115>p，用歐拉公式計(jì)算臨界力。65例題：AB，AC兩桿均為圓截面桿，其直徑D=0.08m，E=200GPa，

P=200MPa，容許應(yīng)力[]=160MPa。由穩(wěn)定條件求此結(jié)構(gòu)的極限荷載Fmax600300ABCF466AFFNABFNAC解：由平衡方程計(jì)算出600300ABCF467兩桿都可用歐拉公式600300ABCF4AFFNABFNAC68求此結(jié)構(gòu)的極限荷載Fmax由AB

的穩(wěn)定條件求600300ABCF4AFFNABFNAC69由AC

的穩(wěn)定條件求取Fmax=662kN600300ABCF4AFFNABFNAC70例題：AB的直徑d=40mm，長(zhǎng)l=800mm，兩端可視為絞支。材料為Q235鋼，彈性模量E=2105MPa。比例極限

P=200MPa，屈服極限

S=240MPa，由AB桿的穩(wěn)定條件求[P]。（若用直線公式a=304MPa，b=1.12MPa)。ABCP0.60.30.871

解：取BC研究NABCP0.60.30.872

不能用歐拉公式ABCP0.60.30.8=1，l=0.8mN73用直線公式

NABCP0.60.30.8[P]=118KN74例題：外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm的鋼管，兩端鉸支，材料為Q235鋼，承受軸向壓力P。試求：（1）能用歐拉公式時(shí)壓桿的最小長(zhǎng)度；（2）當(dāng)壓桿長(zhǎng)度為上述最小長(zhǎng)度的3/4時(shí)，壓桿的臨界應(yīng)力。已知：E=200GPa，

P=200MPa，S=240MPa，用直線公式時(shí)，a=304MPa，b=1.12MPa。75（1）能用歐拉公式時(shí)壓桿的最小長(zhǎng)度；壓桿的

=176（2）當(dāng)l=3/4lmin時(shí)，Pcr=?用直線公式計(jì)算77nst

——壓桿的穩(wěn)定安全系數(shù)§9-5實(shí)際壓桿的穩(wěn)定系數(shù)[]st

——壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力78

稱(chēng)為壓桿的穩(wěn)定系數(shù)，（由

查表得到）[]

為壓桿的強(qiáng)度許用應(yīng)力。79例題：圖示長(zhǎng)l=3m，兩端球絞支的中心受壓直桿，由兩根110707角鋼通過(guò)綴條及綴板連成整體，并符合結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GBJ17—88）中的實(shí)腹式b類(lèi)截面中心受壓桿的要求。已知該桿材料為A3鋼，其強(qiáng)度許用應(yīng)力[]=170MPa。試求壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。80P3m15mmyz8115mmyz解：（1）計(jì)算組合截面的慣性矩從型鋼表中查出一根角鋼的慣性矩組合截面的慣性矩為16.1mmA=12.3cm2y082（2）計(jì)算壓桿柔度P3m應(yīng)當(dāng)以y軸所對(duì)應(yīng)的慣性半徑計(jì)算相應(yīng)的柔度值。因?yàn)镮z>Iy

，說(shuō)明壓桿繞y

軸先失穩(wěn)。83（3）計(jì)算穩(wěn)定許用應(yīng)力根據(jù)

=97

，從3號(hào)鋼表12—4中，查得壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力為84§9-6壓桿的穩(wěn)定計(jì)算

壓桿的合理截面一、壓桿的穩(wěn)定計(jì)算

F——工作壓力A——壓桿的橫截面面積（毛面積）壓桿的穩(wěn)定條件為85或86

例題：圖示立柱CD為外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm的鋼管，高h(yuǎn)=3.5m，

P=200MPa，s=240MPa，E=200GPa

，設(shè)計(jì)要求的強(qiáng)度安全系數(shù)n=2，穩(wěn)定安全系數(shù)nst=3。試求容許荷載[P]的值。P87解：（1）由平衡條件可得

（2）按強(qiáng)度條件確定[P]P88（3）按穩(wěn)定條件確定[P]可用拉公式計(jì)算

crP89穩(wěn)定條件P90[P]=62.5KNP91例題12-6

廠房的鋼柱長(zhǎng)7m，上，下兩端分別與基礎(chǔ)和梁連結(jié)。由于與梁連結(jié)的一端可發(fā)生側(cè)移，因此，根據(jù)柱頂和柱腳的連結(jié)剛度，鋼柱的長(zhǎng)度系數(shù)μ=1.3。鋼柱由兩根3號(hào)鋼的槽鋼組成，符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范（GBJ17—88）中的實(shí)腹式b類(lèi)截面中心受壓桿的要求。在柱頂和柱腳處用螺栓借助于連結(jié)板與基礎(chǔ)和梁連結(jié)，同一截面上最多有四個(gè)直徑為30mm的螺栓孔。鋼柱承受的軸向壓力為270KN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[]=170MPa。試為鋼柱選擇槽鋼號(hào)碼。92tzyh解：(1)先按穩(wěn)定條件選擇槽鋼型號(hào)用試算法假設(shè)

=0.5每根槽鋼所需要的截面面積為93查14a號(hào)槽鋼的截面面積為

A=18.51cm2。組合截面對(duì)z

軸的慣性半徑查表，選14a號(hào)槽鋼一根槽鋼對(duì)z

軸的慣性半徑為（查表）按壓桿在xy

平面內(nèi)的穩(wěn)定性計(jì)算tzyh94查表，3號(hào)鋼壓桿對(duì)應(yīng)柔度

=165的穩(wěn)定系數(shù)為=0.262前面假設(shè)

=0.5過(guò)大。

第二次假設(shè)

=0.35

tzyh95試用16號(hào)槽鋼：查表，鋼壓桿對(duì)應(yīng)柔度

=149的穩(wěn)定系數(shù)為=0.311tzyh96接近于試用的=0.35。按

=0.311

進(jìn)行核算。穩(wěn)定的許用應(yīng)力為=0.311tzyh97這是允許的。鋼柱的工作應(yīng)力為工作應(yīng)力比穩(wěn)定的許用應(yīng)力略