第04講解直角三角形（5種題型）（原卷版）

第04講解直角三角形（5種題型）考點考點考向1.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過程.2.直角三角形的邊角關(guān)系（中，）3.解直角三角形的應(yīng)用（1）仰角與俯角在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角；（2）坡度：坡面的鉛垂高度h和水平寬度的比叫做坡面的坡度，記作，即；坡度表示形式：.坡面與水平面的夾角叫坡角，記為；坡度與坡角的關(guān)系：.考點考點精講一．解直角三角形（共6小題）1．（2022?寶山區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點P（1，2），點P與原點O的連線與x軸的正半軸的夾角為α（0°＜α＜90°），那么tanα的值是（）A．2 B． C． D．2．（2021秋?寶山區(qū)期末）如圖，已知Rt△ABC，CD是斜邊AB邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（）A．CD＝AB?tanB B．CD＝AD?cotA C．CD＝AC?sinB D．CD＝BC?cosA3．（2022春?虹口區(qū)校級期中）如圖所示，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在交點處，則∠ABC的正弦值為（）A． B． C． D．4．（2021秋?嘉定區(qū)期末）在△ABC中，AB＝AC＝10，，那么BC的長是（）A．4 B．8 C． D．5．（2021秋?奉賢區(qū)期末）在△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°．下列線段BC的長度不能使△ABC的形狀和大小都確定的是（）A．2 B．4 C． D．6．（2022?楊浦區(qū)三模）如圖，已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，cosB＝，點P是斜邊AB上一點，過點P作PM⊥AB交邊AC于點M，過點P作AC的平行線，與過點M作AB的平行線交于點Q．如果點Q恰好在∠ABC的平分線上，那么AP的長為．二．解直角三角形的應(yīng)用（共5小題）7．（2022春?閔行區(qū)校級期末）已知支點O位于等臂蹺蹺板AB的中點處，當(dāng)AB的一端點A碰到地面時（如圖），AB與地面的夾角為α，那么當(dāng)AB的另一端點B碰到地面時，AB轉(zhuǎn)過的角度為＝．（用含α的代數(shù)式表示）8．（2022?徐匯區(qū)二模）激光電視的光源是激光，它運用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費者眼睛的傷害．根據(jù)THX觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場角“θ”的度數(shù)處于33°到40°之間時（如圖1），雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗的觀影位．（1）小麗家決定要買一個激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的BC的長）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗？（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營的某款激光電視今年每臺銷售價比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬元的基礎(chǔ)上減少20%，今年這款激光電視每臺的售價是多少元？9．（2022?長寧區(qū)模擬）冬至是一年中太陽光照射最少的日子，如果此時樓房最低層能采到陽光，一年四季整座樓均能受到陽光的照射，所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機(jī)．某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓．該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為29°（參考數(shù)據(jù)：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）10．（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問題，某區(qū)2021年新建、改建90個市民益智健身苑點，圖1是某益智健身苑點中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動下肢做左右擺式運動．（1）如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂OA的長度為80厘米，在側(cè)擺運動過程中，點A為踏板中心在側(cè)擺運動過程中的最低點位置，點B為踏板中心在側(cè)擺運動過程中的最高點位置，∠BOA＝25°，求踏板中心點在最高位置與最低位置時的高度差．（精確到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）（2）小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運動頻率，每小時能量消耗比原計劃增加了100大卡，結(jié)果比原計劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計劃完成鍛煉需多少小時？11．（2022?寶山區(qū)二模）某超市大門口的臺階通道側(cè)面如圖所示，共有4級臺階，每級臺階高度都是0.25米．根據(jù)部分顧客的需要，超市計劃做一個扶手AD，AB、DC是兩根與地平線MN都垂直的支撐桿（支撐桿底端分別為點B、C）．（1）求點B與點C離地面的高度差BH的長度；（2）如果支撐桿AB、DC的長度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）三．解直角三角形的應(yīng)用坡度坡角問題（共5小題）12．（2022?金山區(qū)二模）沿一斜坡向上走13米，高度上升5米，這個斜坡的坡度i＝1：．13．（2022春?浦東新區(qū)校級期中）工廠的傳送帶把物體從地面送到離地面5米高的地方，如果傳送帶與地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物體所經(jīng)過的路程為米．14．（2022春?黃浦區(qū)期中）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，那么物體所經(jīng)過的路程為米．15．（2022春?奉賢區(qū)校級期中）某傳送帶與地面所成斜坡的坡度為i，如果它把物體從地面送到離地面10米高的地方，物體所經(jīng)過的路程為26米，則i＝．16．（2022春?浦東新區(qū)期中）如圖，一個高BE為米的長方體木箱沿坡比為1：的斜面下滑，當(dāng)木箱滑至如圖位置時，AB＝3米，則木箱端點E距地面AC的高度EF為米．四．解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問題（共5小題）17．（2022?楊浦區(qū)三模）從一棟二層樓的樓頂點A處看對面的教學(xué)樓，探測器顯示，看到教學(xué)樓底部點B處的俯角為45°，看到樓頂部點C處的仰角為60°，已知兩棟樓之間的水平距離為6米，那么教學(xué)樓的高CB＝米．（結(jié)果保留根號）18．（2022?松江區(qū)校級模擬）如圖，小明想要測量學(xué)校操場上旗桿AB的高度，他作了如下操作：（1）在點C處放置測角儀，測得旗桿頂?shù)难鼋恰螦CE＝30°；（2）量得測角儀的高度CD＝a；（3）量得測角儀到旗桿的水平距離DB＝b．利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的知識，旗桿的高度可表示為．19．（2022?徐匯區(qū)模擬）如圖，小明在某次投籃中剛好把球打到籃板的點D處后進(jìn)球，已知小明與籃板底的距離BC＝5米，眼睛與地面的距離AB＝1.7米，視線AD與水平線的夾角為α，已知tanα的值為0.3，則點D到地面的距離CD的長為米．20．（2022春?青浦區(qū)期中）小明要測量公園里一棵古樹的高，被一條小溪擋住去路，采用計算方法，在A點測得古樹頂?shù)难鼋菫棣?，向前走?00米到B點，測得古樹頂?shù)难鼋菫棣?，則古樹的高度為米．21．（2021秋?浦東新區(qū)校級期末）如圖，一架飛機(jī)在點A處測得水平地面上一個標(biāo)志物M的俯角為α，tanα＝，水平飛行900米后，到達(dá)點B處，又測得標(biāo)志物M的俯角為β，tanβ＝，那么此時飛機(jī)離地面的高度為米．五．解直角三角形的應(yīng)用方向角問題（共5小題）22．（2022?普陀區(qū)模擬）如圖，在某海濱城市O附近海面有一股臺風(fēng)，據(jù)監(jiān)測，當(dāng)前臺風(fēng)中心位于該城市的南偏東20°方向200千米的海面P處，并以20千米/時的速度向P處的北偏西65°PQ的方向移動，臺風(fēng)侵襲范圍是一個圓形區(qū)域，當(dāng)前半徑為60千米，且圓的半徑以10千米/時速度不斷擴(kuò)張．（1）當(dāng)臺風(fēng)中心移動4小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米：當(dāng)臺風(fēng)中心移動t小時時，受臺風(fēng)侵襲的圓形區(qū)域半徑增大到千米；（2）當(dāng)臺風(fēng)中心移動到與城市O距離最近時，這股臺風(fēng)是否侵襲這座海濱城市？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)≈1.41，≈1.73）23．（2021秋?楊浦區(qū)期末）如圖，海中有一個小島A，一艘輪船由西向東航行，在點B處測得小島A在它的北偏東60°方向上，航行12海里到達(dá)點C處，測得小島A在它的北偏東30°方向上，那么小島A到航線BC的距離等于海里．24．（2021秋?松江區(qū)期末）如圖，碼頭A在碼頭B的正東方向，它們之間的距離為10海里．一貨船由碼頭A出發(fā)，沿北偏東45°方向航行到達(dá)小島C處，此時測得碼頭B在南偏西60°方向，那么碼頭A與小島C的距離是海里（結(jié)果保留根號）．25．（2021秋?黃浦區(qū)期末）如圖，在東西方向的海岸線l上有一長為1千米的碼頭MN，在距碼頭西端M的正西方向58千米處有一觀測站O，現(xiàn)測得位于觀測站O的北偏西37°方向，且與觀測站O相距60千米的小島A處有一艘輪船開始航行駛向港口MN．經(jīng)過一段時間后又測得該輪船位于觀測站O的正北方向，且與觀測站O相距30千米的B處．（1）求AB兩地的距離；（結(jié)果保留根號）（2）如果該輪船不改變航向繼續(xù)航行，那么輪船能否行至碼頭MN靠岸？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）26．（2021秋?嘉定區(qū)期末）如圖，在航線l的兩側(cè)分別有兩個燈塔A和B，燈塔A到航線l的距離為AC＝3千米，燈塔B到航線l的距離為BD＝4千米，燈塔B位于燈塔A南偏東60°方向．現(xiàn)有一艘輪船從位于燈塔B北偏西53°方向的N（在航線l上）處，正沿該航線自東向西航行，10分鐘后該輪船行至燈塔A正南方向的點C（在航線l上）處．（1）求兩個燈塔A和B之間的距離；（2）求該輪船航行的速度（結(jié)果精確到0.1千米/小時）．（參考數(shù)據(jù)：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）鞏固鞏固提升一、選擇題1.（2019新竹園9月考5）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=，那么BC的長為（）A.m?tan?cos B.m?cot?cos C.D.2．（浦東新區(qū)2020一模5）如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度為1：3，它把物體從地面點A處送到離地面3米高的B處，則物體從A到B所經(jīng)過的路程為（）A．3米 B．2米 C．米 D．9米二、填空題3.（靜安2020一模13）如圖，在大樓AB的樓頂B處測得另一棟樓CD底部C的俯角為60度，已知A、C兩點間的距離為15米，那么大樓AB的高度為_____米．（結(jié)果保留根號）4.（奉賢2020一模14）小明從山腳出發(fā)，沿坡度為的斜坡前進(jìn)了130米到達(dá)點，那么他所在的位置比原來的位置升高了__________米．5.（松江2020一模16）如圖，某幢樓的樓梯每一級臺階的高度為20厘米，寬度為30厘米.那么斜面AB的坡度為．6.（嘉定區(qū)2019期中17）新定義：我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”如圖所示，△ABC中AF、BE是中線，且AF⊥BE，垂足為P，像△ABC這樣的三角形稱為“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝6，那么此時AC的長為．7.（嘉定區(qū)2019期中16）如圖，矩形ABCD中，點E在邊BC上，EF⊥AE交AD于點F，若AB＝2，BC＝7，BE＝5，則FD的長度為.8.（浦東四署2019期中17）如圖，在四邊形ABDC中，聯(lián)結(jié)BC，，，，如果，那么______.9.（崇明2020一模18）如圖，在中，，，，點是的中點，點在邊上，將沿翻折，使得點落在點處，當(dāng)時，那么的長為________________．10.（嘉定2020一模18）在中，，，，把繞著點C按照順時針的方向旋轉(zhuǎn)，將A、B的對應(yīng)點分別記為點、，如果恰好經(jīng)過點A，那么點A與點的距離為三、解答題（本大題共6題，每題10分，滿分60分）11.（2019育才10月考21）已知：如圖所示，中，CD⊥AB，，BD=1，AD=4，求AC的長．12.（浦東南片2019期中22）如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是邊AB上一點，且tan∠BCD=（1）試求的值；（2）試求△BCD的面積.13.（浦東四署2019期中22）如圖，在中，，點D是BC邊上的一點，，，．（1）求AC和AB的長；（2）求的值．14.（川中南2019期中23）如圖，在中，已知點是邊上的點，(1)求的長;(2)求的值.15.（黃浦2020一模21）某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對無人機(jī)進(jìn)行測高實驗．如圖10，兩臺測角儀分別放在A、B位置，且離地面高均為1米（即米），兩臺測角儀相距50米（即AB=50米）．在某一時刻無人機(jī)位于點C(點C與點A、B在同一平面內(nèi)），A處測得其仰角為，B處測得其仰角為．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）（1）求該時刻無人機(jī)的離地高度；（單位：米，結(jié)果保留整數(shù)）（2）無人機(jī)沿水平方向向左飛行2秒后到達(dá)點F（點F與點A、B、C在同一平面內(nèi)），此時于A處測得無人機(jī)的仰角為，求無人機(jī)水平飛行的平均速度．（單位：米/秒，結(jié)果保留整數(shù)）16.（靜安2020一模22）如圖，在東西方向的海岸線l上有長為300米的碼頭AB，在碼頭的最西端A處測得輪船M在它的北偏東45°方向上；同一時刻，在A點正東方向距離100米的C處測得輪船M在北偏東22°方向上．（1）求輪船M到海岸線l的距離；（結(jié)果精確到0.01米）（2）如果輪船M沿著南偏東30°的方向航行，那么該輪船能否行至碼頭AB靠岸？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.375，cos22°≈0.927，tan22°≈0.404，≈1.732．）17.（青浦2020一模22）水城門位于淀浦河和漕港河三叉口，是環(huán)城水系公園淀浦河夢蝶島區(qū)域重要的標(biāo)志性景觀．在課外實踐活動中，某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組決定測量該水城門的高．他們的操作方法如下：如圖，先在D處測得點A的仰角為20°，再往水城門的方向前進(jìn)13米至C處，測得點A的仰角為31°（點D、C、B在一直線上），求該水城門AB的高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）18.（松江2020一模22）如圖，小島A在港口P的南偏西45°方向上，一艘船從港口P，沿著正南方向，以每小時12海里的速度航行，1小時30分鐘后到達(dá)B處，在B處測得小島A在它的南偏西60°的方向上.小島A離港口P有多少海里？19.（長寧金山2020一模22）圖1是一臺實物投影儀，圖2是它的示意圖，折線O﹣A﹣B﹣C表示支架，支架的一部分O﹣A﹣B是固定的，另一部