對鉤函數(shù)詳解性質(zhì)圖像對比并舉例說明I10

主要內(nèi)容：本文通過對比分析，解析函數(shù)y=ax+eq\f(b,cx)當(dāng)a，b，c的系數(shù)符號不同時，并舉例以四個函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x),y?=140x-eq\f(117,157x),y?=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x),說明系數(shù)符號變化與函數(shù)性質(zhì)的關(guān)系，簡要畫出函數(shù)在同一個坐標(biāo)系下的圖像?！?函數(shù)的定義域分析根據(jù)y?=140x+eq\f(117,157x),y?=140x-eq\f(117,157x),y?=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x)函數(shù)特征，可知均含有分式，故要求分母不為0，所以4個函數(shù)的定義域相同，定義域均為：(-∞,0)∪(0,+∞)?！?函數(shù)的單調(diào)性分析由于4個函數(shù)均是由一個正比例函數(shù)和一個反比例函數(shù)的和差函數(shù)，可以根據(jù)兩個函數(shù)的單調(diào)性綜合分析和差函數(shù)的單調(diào)性。1.對于函數(shù)y?=140x-eq\f(117,157x),是由正比例增函數(shù)和反比例減函數(shù)的差，所以相當(dāng)于兩個增函數(shù)的和，故函數(shù)y2整體為增函數(shù)。2.對于函數(shù)y?=-140x+eq\f(117,157x)，是由正比例減函數(shù)和反比例減函數(shù)的和，所以相當(dāng)于兩個減函數(shù)的和，故函數(shù)y3整體為減函數(shù)。3.對于函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x)，y4=-140x-eq\f(117,157x)前后兩個函數(shù)的單調(diào)性不一致，不能簡單通過上述方法解析，但可以使用導(dǎo)數(shù)來分析單調(diào)性?！?導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性步驟1.函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x),求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，有：eq\f(dy,dx)=140-eq\f(117,157x2)=eq\f(140*157x2-117,157x2),令eq\f(dy,dx)=0，即：140*157x2-117=0,所以x=±eq\f(3,10990)eq\r(71435)≈±0.07,結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(3,10990)eq\r(71435))∪(eq\f(3,10990)eq\r(71435)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＞0，函數(shù)為增函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(3,10990)eq\r(71435),0)∪(0,eq\f(3,10990)eq\r(71435)]時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)。2.函數(shù)y4=-140x-eq\f(117,157x),是y1的相反函數(shù)，故單調(diào)性與之相反。同理，結(jié)合函數(shù)的定義域，并根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性有：(1)當(dāng)x∈(-∞,-eq\f(3,10990)eq\r(71435))∪(eq\f(3,10990)eq\r(71435)，+∞)時，eq\f(dy,dx)＜0，函數(shù)為減函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[-eq\f(3,10990)eq\r(71435),0)∪(0,eq\f(3,10990)eq\r(71435)]時，eq\f(dy,dx)＞0，為增函數(shù)。☆.函數(shù)的凸凹性1.函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=140-eq\f(117,157x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*117,157x3)=eq\f(2*117,157x3),可知與x的符號成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。2.函數(shù)y?=140x-eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=140+eq\f(117,157x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*117,157x3)=-eq\f(2*117,157x3)，可知與x的符號有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)。3.y?=-140x+eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=-140-eq\f(117,157x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0+eq\f(2*117,157x3)=eq\f(2*117,157x3),可知與x的符號成正向關(guān)系，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)。4.y4=-140x-eq\f(117,157x)有：eq\f(dy,dx)=-140+eq\f(117,157x2)，則：eq\f(d2y,dx2)=0-eq\f(2*117,157x3)=-eq\f(2*117,157x3)，可知與x的符號有關(guān)系且相反，所以：(1)當(dāng)x∈(-∞,0)時，eq\f(d2y,dx2)＞0，函數(shù)為凹函數(shù)；(2)當(dāng)x∈(0,+∞)時，eq\f(d2y,dx2)＜0，函數(shù)為凸函數(shù)?！?函數(shù)的極限eq\s(lim,x→-∞)140x+eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)140x+eq\f(117,157x)=-∞,eq\s(lim,x→0+)140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)140x+eq\f(117,157x)=+∞。eq\s(lim,x→-∞)140x-eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0-)140x-eq\f(117,157x)=+∞，eq\s(lim,x→0+)140x-eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→+∞)140x-eq\f(117,157x)=+∞，eq\s(lim,x→-∞)-140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-140x+eq\f(117,157x)=-∞，eq\s(lim,x→0+)-140x+eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→+∞)-140x+eq\f(117,157x)=-∞。eq\s(lim,x→-∞)-140x-eq\f(117,157x)=+∞,eq\s(lim,x→0-)-140x-eq\f(117,157x)=-∞eq\s(lim,x→0+)-140x-eq\f(117,157x)=-∞,eq\s(lim,x→+∞)-140x-eq\f(117,157x)=+∞☆.函數(shù)的奇偶性按照奇偶性判斷方法，可知四個函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x),y?=140x-eq\f(117,157x),y?=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x),均為奇函數(shù)。所以，圖像關(guān)于原點對稱,本處以y?介紹奇偶性判斷步驟?！遞(x)=-140x+eq\f(117,157x)∴f(-x)=-140*(-x)+eq\f(117,157*(-x))=140x-eq\f(117,157x)=-[-140x+eq\f(117,157x)]=-f(x).即：f(-x)=-f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于原點對稱。☆.函數(shù)的五點圖x(＜0)-0.11-0.09-0.07-0.05-0.03140x+eq\f(117,157x)-22.17-20.88-20.45-21.90-29.04140x-eq\f(117,157x)-8.63-4.320.857.9020.64-140x+eq\f(117,157x)8.634.32-0.85-7.90-20.64-140x-eq\f(117,157x)22.1720.8820.4521.9029.04x(＞0)0.030.050.070.090.11140x+eq\f(117,157x)29.0421.9020.4520.8822.17140x-eq\f(117,157x)-20.64-7.90-0.854.328.63-140x+eq\f(117,157x)20.647.900.85-4.32-8.63-140x-eq\f(117,157x)-29.04-21.90-20.45-20.88-22.17☆.函數(shù)的圖像示意圖四個函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x),y?=140x-eq\f(117,157x),y?=-140x+eq\f(117,157x),y4=-140x-eq\f(117,157x)在同一個坐標(biāo)系下示意圖如下所示。其中：紅色曲線表示y?=140x+eq\f(117,157x)圖像；綠色曲線表示y?=140x-eq\f(117,157x)圖像；紫色曲線表示y?=-140x+eq\f(117,157x)圖像；黑色曲線表示y4=-140x-eq\f(117,157x)圖像。yy4=-140x-eq\f(117,157x)y?=140x+eq\f(117,157x)xy?=-140x+eq\f(117,157x)y?=140x-eq\f(117,157x)y?=-140x+eq\f(117,157x) y?=140x+eq\f(117,157x)y4=-140x-eq\f(117,157x)☆.主要特性歸納1.函數(shù)相反性：函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x)和函數(shù)y4=-140x-eq\f(117,157x)在同一個x處的y值互為相反數(shù)；函數(shù)y?=140x-eq\f(117,157x)和函數(shù)y?=-140x+eq\f(117,157x)也在同一個x處的y值互為相反數(shù)。2.經(jīng)過的象限：函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x)經(jīng)過第一和第三象限，函數(shù)y4=-140x-eq\f(117,157x)則經(jīng)過第二、第三象限；函數(shù)y?=140x-eq\f(117,157x)和函數(shù)y?=-140x+eq\f(117,157x)四個象限均經(jīng)過。3.曲線的交點：函數(shù)y?=140x+eq\f(117,157x)和函數(shù)y4=-140x-eq\f(117,157x)分別同另外3條曲線均沒有交點;曲線方程y?=140x-eq\f(117,157x)和函數(shù)y?=-140x+eq\f(117,157x)有公共交點，且有兩個交點，交點在x軸上，并互為相反數(shù)。4.坐標(biāo)軸交點：函數(shù)y?=140x+eq\f(117,1