第五講 二次函數(shù)壓軸題型（專項(xiàng)練習(xí)）（原卷版）

2023年中考數(shù)學(xué)典型例題系列之函數(shù)篇第五講二次函數(shù)壓軸題型（原卷版）【考點(diǎn)一】二次函數(shù)與線段最值問題。【方法點(diǎn)撥】一、平面內(nèi)任意兩點(diǎn)距離公式。若則或二、平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造相似。借助平面直角坐標(biāo)系的直角特點(diǎn)，作平行線或垂線，構(gòu)造出“A”“X”型相似或“一線三垂直”型相似以及“反A”和蝶形相似，利用相似比轉(zhuǎn)化，列出數(shù)量關(guān)系求解。三、鉛垂線法求最值。1.圖形示例：圖1圖2CD為△ABC的鉛垂高，BG為△ABC的水平寬2.鉛垂線最值一般解法為：一設(shè)（設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)并表示出D點(diǎn)）；二列（表示出PD長度）；三配（把PD的長度看做關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，配方求最值）?！镜湫屠}】（2022·四川德陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接．(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn)，求線段長度的最大值．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，拋物線y＝x2+5x+4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，點(diǎn)P在線段AC上，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長的最大值為多少？【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，直線y=?34x+3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=?38x2+34x+3經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，點(diǎn)E是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】對(duì)稱軸為直線x＝﹣1的拋物線y＝x2+bx+c，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，0）。（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)。（2）點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，作QD⊥x軸交拋物線于點(diǎn)D，求線段QD長度的最大值。【考點(diǎn)二】二次函數(shù)與將軍飲馬模型（線段周長問題）?！痉椒c(diǎn)撥】將軍飲馬模型1.【兩定一動(dòng)模型】如圖，在直線上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小。作點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’，連接PA’，則PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB當(dāng)A/、P、B三點(diǎn)共線的時(shí)候，PA/+PB=A/B，此時(shí)為最小值（兩點(diǎn)之間線段最短）2.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N，使得△PMN周長最小。此處M、N均為折點(diǎn)，分別作點(diǎn)P關(guān)于OA（折點(diǎn)M所在直線）、OB（折點(diǎn)N所在直線）的對(duì)稱點(diǎn)，化折線段PM+MN+NP為P/M+MN+NP//，當(dāng)P/、M、N、P//共線時(shí)，△PMN周長最小。3.【兩定兩動(dòng)之點(diǎn)點(diǎn)模型】在OA、OB上分別取點(diǎn)M、N使得四邊形PMNQ的周長最小。考慮PQ是條定線段，故只需考慮PM+MN+NQ最小值即可，類似，分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB對(duì)稱，化折線段PM+MN+NQ為P/M+MN+NQ/，當(dāng)P/、M、N、Q/共線時(shí)，四邊形PMNQ的周長最小。4.【一定兩動(dòng)之點(diǎn)線】在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。此處M點(diǎn)為折點(diǎn)，作點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)P/，將折線段PM+MN轉(zhuǎn)化為P/M+MN，即過點(diǎn)P/作OB垂線分別交OA、OB于點(diǎn)M、N，得PM+MN最小值（點(diǎn)到直線的連線中，垂線段最短）。5.模型拓展：【將軍過橋模型】已知將軍在圖中點(diǎn)A處，現(xiàn)要過河去往B點(diǎn)的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可，問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時(shí)A點(diǎn)落在A/位置。問題化為求A/N+NB最小值，顯然，當(dāng)共線時(shí)，值最小，并得出橋應(yīng)建的位置?！镜湫屠}1】（2021·四川眉山·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)（0，3）．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是x軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線y＝x+m與直線BC交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，當(dāng)PE+EF有最大值時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)；【典型例題2】（2022·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x﹣2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，并與x軸的正半軸交于點(diǎn)C．(1)求a，b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)當(dāng)a＝時(shí)，若點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAB周長的最小值；(3)當(dāng)a＝1時(shí)，若點(diǎn)Q是直線AB下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QD⊥AB于點(diǎn)D，當(dāng)QD的值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)及QD的最大值．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l為，且直線直線AC，垂足為點(diǎn)D，拋物線為經(jīng)過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)．(1)求a、b、c的值．(2)點(diǎn)E在拋物線上，過點(diǎn)E作軸，交直線AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)E由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D的過程中，求線段EF的最大值．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)Q，使的周長最小，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】如圖，拋物線y=53x2?203x+5與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于C，在其對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)M，連接MA、MC、AC，則當(dāng)△MAC的周長最小時(shí)，點(diǎn)【考點(diǎn)三】二次函數(shù)與三角形面積最值問題?！痉椒c(diǎn)撥】三角形面積的常見求法。一、公式法。二、割補(bǔ)法。三、鉛錘法：“鉛垂高、水平寬”。1.圖形示例：歪三角形（沒有邊與對(duì)稱軸平行）圖1圖2S△ABC=S△ACD+S△BCDS△ABC=S△ACD－S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·AE－CD·BF=CD（AE+BF）=CD·BG=CD·BGCD為△ABC的鉛垂高，BG為△ABC的水平寬，S△ABC=ah2.解題步驟：（1）求A、B兩點(diǎn)水平距離，即水平寬；（2）過點(diǎn)C作x軸垂線與AB交于點(diǎn)D，可得點(diǎn)D橫坐標(biāo)同點(diǎn)C；（3）求直線AB解析式并代入點(diǎn)D橫坐標(biāo)，得點(diǎn)D縱坐標(biāo)；（4）根據(jù)C、D坐標(biāo)求得鉛垂高；（5）利用公式求得三角形面積．【典型例題】（2022·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2，0）．(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)D是直線AB下方拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD、BD，探究是否存在點(diǎn)D，使得△ABD的面積最大？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2022春·四川瀘州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖：已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3）．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)有一個(gè)點(diǎn)M在線段CB上運(yùn)動(dòng)，作MN⊥x軸交拋物線于點(diǎn)N，問當(dāng)M、N點(diǎn)位于何處時(shí)，△BCN的面積最大，求最大面積.【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，過A，B兩點(diǎn)的拋物線與x軸交于點(diǎn)C，且(1)求拋物線和直線的解析式；(2)若點(diǎn)P是拋物線上A，B兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），則是否存在一點(diǎn)P，使的面積最大？若存在求出的最大面積；若不存在，試說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2023·陜西咸陽·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，連接，，對(duì)稱軸為直線．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)D是第三象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接和，求面積的最大值．【考點(diǎn)四】二次函數(shù)與直角三角形存在問題。【典型例題】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，，對(duì)稱軸為，點(diǎn)D為此拋物線的頂點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，平面內(nèi)存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、C、P為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），連接AC，點(diǎn)P為第二象限拋物線上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求a、b、c的值；（2）連接PA、PC、AC，求△PAC面積的最大值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QAC為直角三角形，若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為B（3，0）．C（0，3），點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)．點(diǎn)P為線段MB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，若OD＝m．（1）求二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)△PCD的面積為S，試判斷S有最大值或最小值？若有，求出其最值，若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使△PCD為直角三角形？若存在，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川遂寧·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，直線l為，且直線直線AC，垂足為點(diǎn)D，拋物線為經(jīng)過點(diǎn)A、B、D三點(diǎn)．(1)求a、b、c的值．(2)點(diǎn)P、Q分別在線段AB、AD上，連接PQ、BQ，若點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過程中，是否存在和中一個(gè)是等腰三角形另一個(gè)是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)五】二次函數(shù)與等腰三角形存在問題。【典型例題】如圖，直線y=?12x+2與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，C和點(diǎn)（1）求B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）求該二次函數(shù)的解析式。（3）若拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由?！緦?duì)應(yīng)練習(xí)1】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且點(diǎn)為；(1)求拋物線及直線的函數(shù)關(guān)系式；(2)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)，使為等腰三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2，），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)六】二次函數(shù)與等腰直角三角形存在問題?！镜湫屠}】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線頂點(diǎn)為點(diǎn)D．(1)求B，C，D三點(diǎn)坐標(biāo)；(2)如圖1，拋物線上有E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且EF//x軸，當(dāng)△DEF是等腰直角三角形時(shí)，求線段EF的長度；(3)如圖2，連接BC，在直線BC上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】將拋物線C：y＝（x﹣2）2向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線C2(1)直接寫出拋物線C1，C2的解析式；(2)如圖（1），點(diǎn)A在拋物線C1（對(duì)稱軸l右側(cè)）上，點(diǎn)B在對(duì)稱軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(3)如圖（2），直線y＝kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)；直線yx與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn)．求證：直線MN經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】已知：如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)A（0，6），C（﹣2，0），tan∠ABO＝1，點(diǎn)P是線段AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAB的面積有最大值？(3)過點(diǎn)P作x軸的垂線，交線段AB于點(diǎn)D，再過點(diǎn)P作PE∥x軸交拋物線于點(diǎn)E，連接DE，請(qǐng)問是否存在點(diǎn)P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(4，0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．(1)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的表達(dá)式；(2)連接BD，當(dāng)t時(shí)，求△DNB的面積；(3)在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(4)當(dāng)t時(shí)，在直線MN上存在一點(diǎn)Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【考點(diǎn)七】二次函數(shù)與平行四邊形存在問題。【典型例題】（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)是其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)二次函數(shù)在第四象限的圖象上有一點(diǎn)P，連結(jié)，，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022?墾利區(qū)二模）已知拋物線y＝ax2+bx+3的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，有一動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F，AB＝4，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m．（1）求拋物線的解析式；（2）連接AE、CE，當(dāng)△ACE的面積最大時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（?32，3（3）當(dāng)m＝﹣2時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以B，C，E，Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022·四川資陽·中考真題）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且與x軸交于點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時(shí)點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．①連結(jié)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求m的值；②在①的條件下，若點(diǎn)M是直線上一點(diǎn)，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B、C、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)八】二次函數(shù)與菱形存在問題。【典型例題】（2022·四川廣元·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中，是OA的中點(diǎn)．(1)求該二次函數(shù)的解析式．(2)如圖1，若E為該拋物線在第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在該拋物線的對(duì)稱軸上，求使得的面積取最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，并求出此時(shí)的最小值．(3)如圖2，將拋物線向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移5個(gè)單位長度得到拋物線，M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，N為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M，N使得四邊形DMCN為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)1】（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知拋物線與ｘ軸交于A（－2，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，）．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的菱形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2023秋·浙江溫州·九年級(jí)期末）如圖，拋物線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)、C兩點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與重合)，過點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)連接和，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及的最大面積；(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)，使得以點(diǎn)A，M，N，P為頂點(diǎn)，以為邊的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)九】二次函數(shù)與矩形存在問題。【典型例題】（2022·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．(1)求，的值；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線分別與線段，直線交于點(diǎn)，，且與的面積相等，求直線的解析式；(3)是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在線段和直線上是否分別存在點(diǎn)，，使，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為一邊的矩形？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)】（2022·重慶·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交x軸于點(diǎn)A和C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，交拋物線于點(diǎn)F．(1)求拋物線的解析式；(2)將線段OE繞著點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到線段，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜90°），連接，求的最小值；(3)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)2】（2022·貴州黔西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的直線AB與y軸交于點(diǎn)．經(jīng)過原點(diǎn)O的拋物線交直線AB于點(diǎn)A，C，拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)M是線段AB上一點(diǎn)，N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)軸且時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)．是否存在以點(diǎn)A，C，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)3】（2022春·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．(1)求拋物線的解析式和對(duì)稱軸．(2)若R為拋物線上一點(diǎn)，滿足，求R的坐標(biāo)．(3)若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)Q是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P

使得A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)十】二次函數(shù)與正方形存在問題?！镜湫屠}】（2022·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣1，0)，B(3，0)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)b＝______，c＝______；(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥y軸于點(diǎn)G，求出DE+FG的最大值及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)P是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，那么在拋物線上且位于x軸上方是否存在點(diǎn)M，使四邊形OMPQ為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)】（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B是該拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)將平移后得到拋物線，點(diǎn)D，E在上（點(diǎn)D在點(diǎn)E的上方），若以點(diǎn)A，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求拋物線的解析式．【考點(diǎn)十一】二次函數(shù)與定點(diǎn)定值問題。【典型例題】（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)，直線垂直于軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，．(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（除、外），過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2時(shí)，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對(duì)稱軸交于、兩點(diǎn)．試問，是否為定值？如果是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說明理由．【對(duì)應(yīng)練習(xí)】（2022·四川達(dá)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸，交x軸于點(diǎn)E．若點(diǎn)Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作直線，分別交直線l于點(diǎn)M，N，在點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)過程中，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．【考點(diǎn)十二】二次函數(shù)與相似三角形存在問題?！镜湫屠}】（2022·四川綿陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c交x軸于A(-1，0)，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C(0，3)，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．(1)求拋物線的解析式；(2)在y軸的負(fù)半軸上是否存在點(diǎn)P使∠AP