專題03 面積比例問題（原卷版）

專題03面積比例問題一、知識導(dǎo)航除了三角形、四邊形面積計算之外，面積比例也是中考題中常見的條件或結(jié)論，對面積比例的分析，往往比求面積要復(fù)雜得多，這也算是面積問題中最難的一類．大部分題目的處理方法可以總結(jié)為兩種：（1）計算；（2）轉(zhuǎn)化．本文結(jié)合19年各地中考題，簡要介紹關(guān)于比例條件的一些運(yùn)用方法．策略一：運(yùn)用比例計算類綜合與探究：如圖，拋物線經(jīng)過點，兩點，與軸交于點，點是拋物線上一個動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．連接，，，．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）的面積等于的面積的時，求的值；【分析】（1）可重設(shè)解析式為交點式：，展開得：，常數(shù)項對應(yīng)相等，-8a=6，解得：，故拋物線解析式為：．（2）考慮△AOC和△BCD并無太多關(guān)聯(lián)，并且△AOC是確定的三角形，面積可求，故可通過面積比推導(dǎo)△BCD的面積．，，此問題變?yōu)槊娣e定值問題，就不難了．【小結(jié)】利用面積比計算出所求三角形面積，再運(yùn)用處理面積定值的方法即可解決問題．策略二：轉(zhuǎn)化面積比如圖，B、D、C三點共線，考慮△ABD和△ACD面積之比．轉(zhuǎn)化為底：共高，面積之比化為底邊之比：則．更一般地，對于共邊的兩三角形△ABD和△ACD，連接BC，與AD交于點E，則．策略三：進(jìn)階版轉(zhuǎn)化在有些問題中，高或底邊并不容易表示，所以還需在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為其他線段比值，比如常見有：“A”字型線段比、“8”字型線段比．“A”字型線段比：．“8”字型線段比：．以2019連云港中考填空壓軸為例：【2019連云港中考】如圖，在矩形中，，，以點為圓心作與直線相切，點是上一個動點，連接交于點，則的最大值是．

【分析】AP、AT均為動線段，并不易于分析比值的最大值，故需轉(zhuǎn)化線段．構(gòu)造“A”字型線段比：過點P作PQ∥DB與AB的延長線交于點Q，由平行得：，若要取到最大值，只要AQ最大即可．BC=3，，，，，，故最大值為．思路2：構(gòu)造“8”字型線段比是否可行？雖然問題是的比值，為便于構(gòu)造“8”字，可轉(zhuǎn)化為“+1”，即求的最大值，過點P作PQ∥AB交BD延長線于Q點，可得：，考慮到AB是定線段，故只要PQ最大即可．但是本題P點在圓上運(yùn)動，故很難分析出點P在何位置，PQ取到最大值，若P點換個軌跡路線，或許就很容易分析了．二、典例精析例一、已知拋物線經(jīng)過點和點，與軸交于點，點為第二象限內(nèi)拋物線上的動點．（1）拋物線的解析式為，拋物線的頂點坐標(biāo)為；（2）如圖，連接交于點，當(dāng)時，請求出點的坐標(biāo)．【分析】（1）；頂點坐標(biāo)為（-1,4）．（2）根據(jù)可得CD：BD=1：2，故D點是線段BC靠近點C的三等分點，又B（-3,0）、C（0,3），∴D點坐標(biāo)為（-1,2）．例二、如圖，拋物線與軸交于點和點（點在原點的左側(cè)，點在原點的右側(cè)），與軸交于點，．（1）求該拋物線的函數(shù)解析式．（2）如圖，連接，點是直線上方拋物線上的點，連接，．交于點，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)．【分析】（1）解析式：（2）顯然△COF和△CDF共高，可將面積之比化為底邊之比．，思路1：轉(zhuǎn)化底邊之比為“A”字型線段比在y軸上取點E（0，5），（為何是這個點？因此此時OC：CE=3：2）過點E作BC的平行線交x軸于G點，EG與拋物線交點即為所求D點，根據(jù)平行線分線段成比例，OF：FD=OC：CE=3：2．直線EG解析式為：y=-x+5，與拋物線聯(lián)立方程，得：，解得：，．故D點坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．思路2：轉(zhuǎn)化底邊之比為“8”字型線段比過點D作DG∥y軸交BC邊于點G，則，又OC=3，故點G滿足DG=2即可．這個問題設(shè)D點坐標(biāo)即可求解．也可以構(gòu)造水平“8”字，過點D作DG∥x軸交BC于點G，則，又OB=3，∴DG=2即可．但此處問題在于水平線段不如豎直線段易求，方法可行但不建議．其實本題分析點的位置也能解：思路3：設(shè)點D坐標(biāo)為，根據(jù)OF：DF=3：2，可得F點坐標(biāo)為，點F在直線BC上，將點坐標(biāo)代入直線BC解析式：y=-x+3，，解得，，故D點坐標(biāo)為（1，4）或（2，3）．這個計算的方法要求能理解比例與點坐標(biāo)之間的關(guān)系，即由D點坐標(biāo)如何得到F點坐標(biāo)．三、中考真題演練1．（2023·山東青島·中考真題）許多數(shù)學(xué)問題源于生活．雨傘是生活中的常用物品，我們用數(shù)學(xué)的眼光觀察撐開后的雨傘（如圖①）、可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究的對象——拋物線．在如圖②所示的直角坐標(biāo)系中，傘柄在y軸上，坐標(biāo)原點O為傘骨，的交點．點C為拋物線的頂點，點A，B在拋物線上，，關(guān)于y軸對稱．分米，點A到x軸的距離是分米，A，B兩點之間的距離是4分米．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)分別延長，交拋物線于點F，E，求E，F(xiàn)兩點之間的距離；(3)以拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為，將拋物線向右平移個單位，得到一條新拋物線，以新拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點為頂點的三角形面積為．若，求m的值．2．（2023·吉林長春·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，拋物線（是常數(shù)）經(jīng)過點．點的坐標(biāo)為，點在該拋物線上，橫坐標(biāo)為．其中．

(1)求該拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式及頂點坐標(biāo)；(2)當(dāng)點在軸上時，求點的坐標(biāo)；(3)該拋物線與軸的左交點為，當(dāng)拋物線在點和點之間的部分（包括、兩點）的最高點與最低點的縱坐標(biāo)之差為時，求的值．(4)當(dāng)點在軸上方時，過點作軸于點，連結(jié)、．若四邊形的邊和拋物線有兩個交點（不包括四邊形的頂點），設(shè)這兩個交點分別為點、點，線段的中點為．當(dāng)以點、、、（或以點、、、）為頂點的四邊形的面積是四邊形面積的一半時，直接寫出所有滿足條件的的值．3．（2023·黑龍江·中考真題）如圖，拋物線與軸交于兩點，交軸于點．(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線上是否存在一點，使得，若存在，請直接寫出