專(zhuān)題03 線段的雙中點(diǎn)模型（解析版）

專(zhuān)題03線段的雙中點(diǎn)模型對(duì)于剛接觸幾何的七年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，關(guān)于線段的計(jì)算是有很大難度的，這就要求學(xué)生面對(duì)這類(lèi)題時(shí)具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般來(lái)講，這類(lèi)題通常由問(wèn)題出發(fā)，先由線段和差確定解題方向，然后輔以線段中點(diǎn)來(lái)解決。但是，對(duì)于有公共部分的線段雙中點(diǎn)模型，可以寫(xiě)出的線段和差種類(lèi)較多，這就增加了思考的難度。如果掌握了這個(gè)模型的結(jié)論，那就可以快速選取正確的線段和差，迅速解題，如果是填空選擇，則可以直接口算出答案?？傊?，基本模型的掌握既可以快速得出小題的答案，又可以為大題的解決確立方向。模型1.

線段的雙中點(diǎn)模型圖1圖21）雙中點(diǎn)模型（兩線段無(wú)公共部分）條件：如圖1，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.2）雙中點(diǎn)模型（兩線段有公共部分）條件：如圖2，已知A、B、C三點(diǎn)共線，D、E分別為AB、BC中點(diǎn)，結(jié)論：.例1．（2023·廣東河源·七年級(jí)月考）已知線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義可得，，即可求解．【詳解】解：線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，熟練掌握中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·重慶梁平·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)．則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．3.5 C．5 D．6【答案】D【分析】由點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)可得，再由進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了與線段中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，線段的和差，根據(jù)題意得出是解題的關(guān)鍵．例3．（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，線段，長(zhǎng)度為2的線段在線段上運(yùn)動(dòng)，分別取線段、的中點(diǎn)、，則．【答案】7【分析】先求解，再證明，，再利用線段的和差可得答案．【詳解】解：∵，，∴，∵線段、的中點(diǎn)為、，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段中點(diǎn)的含義，線段的和差運(yùn)算，理解線段的和差運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵．例4．（2022秋·云南麗江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)．若線段的長(zhǎng)為4，則線段的長(zhǎng)度是（

）

A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】據(jù)中點(diǎn)的定義可得，進(jìn)而得出，則，即可求解．【詳解】解：∵M(jìn)是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的定義，線段之間的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握中點(diǎn)的定義，根據(jù)圖形得出線段之間的和差關(guān)系．例5．（2023春·江蘇七年級(jí)月考）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②，則；③；④．其中正確的結(jié)論是．【答案】①②③【分析】由可得得出，由中點(diǎn)的意義得出，進(jìn)一步得出，從而可判斷①正確；由可得，由中點(diǎn)的意義可得結(jié)論，從而判斷②正確；由由中點(diǎn)的意義可得代入可判斷③正確；由得，代入可得故可判斷④錯(cuò)誤．【詳解】解：如圖∵，∴∴，∴，∴，∴，即，故①正確；∵，∴，∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴，∴，故②正確；∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴∵，∴，故③正確；∵，∴，∵，∴，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)求解一些線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例6．（2022秋·江蘇淮安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）線段，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，依此類(lèi)推……，線段的長(zhǎng)為．【答案】【分析】先分別求出、、的值，根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律，即可得出答案．【詳解】解：因?yàn)榫€段，是的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以；，所以，所以，答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、求兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)字類(lèi)規(guī)律探究，能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．例7．（2022·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┲本€上有三點(diǎn)，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn).若，，則的長(zhǎng)為（

）．A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】本題沒(méi)有給出圖形，在畫(huà)圖時(shí)，應(yīng)考慮到，，，三點(diǎn)之間的位置關(guān)系的多種可能，再根據(jù)正確畫(huà)出的圖形解題．【詳解】分兩種情況：第一種情況：B在內(nèi)，如圖：；第二種情況：B在外，如圖：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、線段的中點(diǎn)的定義；解題的關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論，避免漏解．例8．（2023秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·七年級(jí)?？计谀僖阎?，點(diǎn)C在線段上，線段，，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)度；②根據(jù)①的計(jì)算過(guò)程和結(jié)果，設(shè)，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是和的中點(diǎn)，你能猜出的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】①4；②，理由見(jiàn)解析【分析】①由點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，得到，值，可得長(zhǎng)度；②按照①的方法可求得．【詳解】①解：∵點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn)，，，∴，，∴；②解：，理由如下：∵M(jìn)、N分別是、的中點(diǎn)，∴，，又即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，掌握線段中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．例9．（2022·陜西商洛·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)．(1)若，求線段MN的長(zhǎng)；(2)若C為線段上任一點(diǎn)，滿，其它條件不變，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？寫(xiě)出你的結(jié)論并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，M、N分別為的中點(diǎn)，你能猜想的長(zhǎng)度嗎？請(qǐng)畫(huà)出圖形并寫(xiě)出你的結(jié)論（不必說(shuō)明理由）．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)的長(zhǎng)度等于，圖見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)M、N分別是的中點(diǎn)，可得，從而得到，即可求解．【詳解】（1）點(diǎn)M、N分別是的中點(diǎn)，∴，，∴．所以線段的長(zhǎng)為．（2）的長(zhǎng)度等于，根據(jù)圖形和題意可得：．（3）的長(zhǎng)度等于，根據(jù)圖形和題意可得：ACBC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．例10．（2022春·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）材料閱讀：當(dāng)點(diǎn)在線段上，且時(shí)，我們稱(chēng)為點(diǎn)在線段上的點(diǎn)值，記作．如點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，則，記作；反過(guò)來(lái)，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：與具有相同的含義．初步感知：(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，若，則__________；若，則____________；(2)如圖2，已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，運(yùn)動(dòng)速度均為，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，請(qǐng)用含有的式子表示和，并判斷它們的數(shù)量關(guān)系．拓展運(yùn)用：(3)已知線段，點(diǎn)、分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，若點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)速度分別為和，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后立即以原速返回，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．則當(dāng)為何值時(shí)，等式成立．【答案】(1)，(2)，，(3)存在和使等式成立【分析】（1）根據(jù)定義直接得出結(jié)果即可求解；（2）根據(jù)題意，得出，，相加即可求解；（3）分在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前，在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后，兩種情況分類(lèi)討論即可求解．【詳解】（1）根據(jù)定義可得：∵，則；∵，∴,則；故答案為：．，；（2）∵∴∵∴∴∴（3）①在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)之前∵∴∵∴∴∵∴∴②在點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)返回之后∵∴∵∴∴∵∴∴∴存在和使等式成立．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，線段的和差，理解新定義，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，點(diǎn)A，B，C順次在同一直線上，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)．若想求出的長(zhǎng)度，那么只需添加條件（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由中點(diǎn)的定義得，從而可得．【詳解】解：∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴只要已知，即可求出的長(zhǎng)度．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，注意理解線段的中點(diǎn)的概念．利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東聊城·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，已知，，E，F(xiàn)分別為AC，BD的中點(diǎn)，則EF長(zhǎng)為（

）cm．A．7 B．14 C．17 D．34【答案】C【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)求出的值，然后根據(jù)線段的和可得答案．【詳解】解：∵E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的定義，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義及線段的和差得出的值是解題關(guān)鍵．3．（2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知線段cm，為直線上一點(diǎn)，且cm，，分別是、的中點(diǎn)，則等于（）cm．A．13 B．12 C．10或8 D．10【答案】D【分析】根據(jù)求得，然后由，分別是、的中點(diǎn)知，，，所以，即可得出答案．【詳解】∵，且，∴，又∵，分別是、的中點(diǎn)，∴，，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，充分利用兩點(diǎn)間中點(diǎn)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·福建泉州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在直線上任取一點(diǎn)A，截取，再截取，則的中點(diǎn)與的中點(diǎn)之間的距離為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分兩種情況B，在點(diǎn)A同側(cè)時(shí)，B，在點(diǎn)A兩側(cè)時(shí)，分別畫(huà)出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】解：①B，在點(diǎn)A同側(cè)時(shí)，如圖所示：是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．②B，在點(diǎn)A兩側(cè)時(shí)，如圖，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．綜上：與之間距離為或，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段中點(diǎn)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合．5．（2023秋·海南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知線段，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，，若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】分點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)與點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)兩種情況畫(huà)出圖形求解．【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖所示．，，．是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖所示．，，．是中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．綜上所述：線段MN的長(zhǎng)度為5cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段和差，線段的中點(diǎn)等知識(shí)，分點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)與點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)兩種情況考慮是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C、D是線段上兩點(diǎn)，M、N分別是線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③；④．其中正確的結(jié)論是（

）A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的定義與線段的和差結(jié)合圖形逐一進(jìn)行分析即可．【詳解】解：如圖，∵M(jìn)、N分別是線段的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，故①符合題意；∵，∴，∴，∴，故②符合題意；∵，∴，故③符合題意；∵，，∴，∵，，∴，故④不符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差運(yùn)算，能夠利用中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差關(guān)系求解一些線段之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．7．（2023秋·江蘇徐州·七年級(jí)校考期末）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段，第一次操作：分別取線段和的中點(diǎn)、；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)，；…連續(xù)這樣操作2023次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別為的中點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，再由的長(zhǎng)度求出的長(zhǎng)度，找到的規(guī)律即可求出的值．【詳解】解：∵，分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴，……由此可得：，∴，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，有理數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，相對(duì)較難，根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·廣西·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動(dòng)，且．下列說(shuō)法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫(huà)出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說(shuō)法；乙：畫(huà)出圖形，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說(shuō)法；丙：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，利用中點(diǎn)公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，，故甲的說(shuō)法錯(cuò)誤；乙：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說(shuō)法正確；丙：點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，∵O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，點(diǎn)N表示的數(shù)是，∴，故丙的說(shuō)法正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算，整式的加減等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段和線段的公共部分是線段，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，若，，，則的長(zhǎng)為．

【答案】26【分析】由圖，可求，由，得，于是，得，進(jìn)而求得．【詳解】解：，，有一段公共邊，，、分別是、的中點(diǎn)，，，，，，，，．故答案為：26．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線上線段間的數(shù)量關(guān)系計(jì)算線段長(zhǎng)度，由直線上點(diǎn)之間的位置關(guān)系確定線段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10．（2023秋·廣東深圳·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知、、三點(diǎn)在同一條直線上，、分別為線段、的中點(diǎn)，且，，則【答案】8或2【分析】首先要考慮、、三點(diǎn)在直線上的不同位置：點(diǎn)在線段上或點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上．再根據(jù)線段中點(diǎn)的概念進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：、分別為、的中點(diǎn)，，，如圖，點(diǎn)在線段上時(shí)，，如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，故答案為：8或2．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，正確考慮三點(diǎn)在直線上的不同位置，掌握線段的中點(diǎn)概念是解題的關(guān)鍵．11.（2023·河南駐馬店·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則．【答案】3【分析】根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得，，即可求得．【詳解】解：為的中點(diǎn)，，，，是的中點(diǎn)，，．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，中點(diǎn)的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．12．（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知點(diǎn)A、B、C都在直線l上，點(diǎn)C是線段的三等分點(diǎn)，D、E分別為線段中點(diǎn)，直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，則．【答案】或13【分析】畫(huà)出圖形，分兩種情況討論①；②．設(shè)，根據(jù)直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91，列方程，先求出x，即可求出的長(zhǎng).【詳解】①當(dāng)時(shí)，如圖1設(shè)，則，，，∵直線l上所有線段的長(zhǎng)度之和為91

②當(dāng)時(shí)，如圖2,故答案為：或13【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的和差，解題的關(guān)鍵是要弄清楚直線l上的線段的條數(shù)，及要進(jìn)行分類(lèi)討論.13．（2023秋·福建福州·七年級(jí)?？计谀┮阎€段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，線段的長(zhǎng)為b，則線段的長(zhǎng)為（用a，b的式子表示）．【答案】/【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況討論，再利用線段和差分別表示線段的長(zhǎng)度即可．【詳解】解：∵M(jìn)為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，∴，．∵線段和線段在同一直線上，線段（A在左，B在右）的長(zhǎng)為a，長(zhǎng)度小于的線段（D在左，C在右）在直線上移動(dòng)，∴分以下5種情況說(shuō)明：①當(dāng)在左側(cè)時(shí)，如圖1，即，，，；②當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，如圖2，即，；③當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，如圖3，即，；④當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，同理可得：；⑤當(dāng)在右側(cè)時(shí)，同理可得：；綜上所述：線段的長(zhǎng)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差，根據(jù)題意畫(huà)出對(duì)應(yīng)情況的圖形是解題的關(guān)鍵，注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．14．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段上，P，Q分別是的中點(diǎn)，若，則．【答案】1【分析】先由線段中點(diǎn)定義得出，，又因?yàn)?，利用線段和差即可求得，，代入即可求解．【詳解】解∶∵，P，Q分別是，的中點(diǎn)，∴，，∵，∴，，∴，故答案為∶1．【點(diǎn)睛】本題考查線段和差倍分，熟練掌握線段和差倍分的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·四川達(dá)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，、分別是、的中點(diǎn)，若，則線段的長(zhǎng)為．【答案】24或16【分析】分2種情形討論：①如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，②如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，畫(huà)出圖形根據(jù)線段和差定義即可解決．【詳解】解：①如圖，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，，．是的中點(diǎn)，，，又，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．②如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，，．是的中點(diǎn)，，又，，又點(diǎn)是的中點(diǎn)，，．綜上所述，的長(zhǎng)為24或16．故答案是：24或16．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)的定義、線段和差定義，學(xué)會(huì)分類(lèi)討論的思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，本題還考查了學(xué)生的動(dòng)手畫(huà)圖能力．16．（2023春·六年級(jí)單元測(cè)試）如圖已知線段、，(1)線段在線段上（點(diǎn)C、A在點(diǎn)B的左側(cè)，點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)）①若線段，，M、N分別為、的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．②M、N分別為、的中點(diǎn)，求證：(2)線段在線段的延長(zhǎng)線上，M、N分別為、的中點(diǎn)，②中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)畫(huà)出圖形，直接寫(xiě)出結(jié)論【答案】(1)①10，②見(jiàn)解析(2)不成立，見(jiàn)解析【分析】（1）①利用求出的值，利用中點(diǎn)平分線段，得到，再利用，即可得解；②利用中點(diǎn)平分線段，得到，進(jìn)而得到，再利用，即可得證；（2）分點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，以及點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，三種情況分類(lèi)討論，求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∴；②∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）不成立；∵M(jìn)、N分別為、的中點(diǎn)，∴，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖：或；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；③當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖：或；綜上：或；故結(jié)論不成立．【點(diǎn)睛】本題考查線段之間的和與差．正確的識(shí)圖，理清線段之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．注意分類(lèi)討論．17．（2023秋·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知C為線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)．(1)如果，求線段的長(zhǎng)；(2)如果，求線段的長(zhǎng)；(3)如果，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)10(2)(3)【分析】（1）根據(jù)M，N分別是的中點(diǎn)，可得，再由，即可求解；（2）根據(jù)M，N分別是的中點(diǎn)，可得，再由，即可求解；（3）根據(jù)題意可得，再由點(diǎn)P是的中點(diǎn)，可得，由（2）得：，然后根據(jù)，即可求解．【詳解】（1）解：∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，，∴，∴；（2）解：∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，，∴，∴；（3）解：∵，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，由（2）得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算，明確題意，準(zhǔn)確得到線段之間的數(shù)量是解題的關(guān)鍵．18．（2023秋·山東七年級(jí)月考）如圖，是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若，則（用含的代數(shù)式表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)性質(zhì)可得，，再根據(jù)線段的和差求出結(jié)果即可；（2）結(jié)合（1）可得，，進(jìn)一步得出，從而得解．【詳解】（1）是線段的中點(diǎn)，，，，是線段的中點(diǎn),，．（2），，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的中點(diǎn)性質(zhì)，線段的和差，兩點(diǎn)間的距離，靈活運(yùn)用線段中點(diǎn)性質(zhì)和線段的和差定義是解本題的關(guān)鍵．19．（2023·四川成都·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)．(1)若，求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，且，求線段的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件求得、即可求解；（2）設(shè)，，則，根據(jù)線段中點(diǎn)定義求得，，進(jìn)而由求得即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴．∴．（2）解：∵，∴設(shè)，．∴．∵點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，∴．∵點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)，∴．∴．∴．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查線段中點(diǎn)定義、線段的和與差、解一元一次方程，理解線段中點(diǎn)定義，會(huì)利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行線段的和差運(yùn)算是解答的關(guān)鍵．20．（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C在線段上，，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)求線段的長(zhǎng)；(2)若點(diǎn)C在線段的延長(zhǎng)線上，且滿足，點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可；（2）先根據(jù)線段中點(diǎn)的定義求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段的和差進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）∵，點(diǎn)M分別為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵點(diǎn)N分別為的中點(diǎn)，∴，∴；（2）如圖，∵點(diǎn)M，N分別為的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)和線段的和差，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．21．（2023秋·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在學(xué)習(xí)了比較線段的長(zhǎng)短時(shí)對(duì)下面一道題產(chǎn)生了探究的興趣：如圖1，點(diǎn)在線段上，，分別是，的中點(diǎn)．若，，求的長(zhǎng)．(1)根據(jù)題意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)的長(zhǎng)度具有一個(gè)特殊性質(zhì)，于是他先將題中的條件一般化，并開(kāi)始深入探究．設(shè)，是線段上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），小明提出了如下三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助小明解答．①如圖1，，分別是，的中點(diǎn)，則______．②如圖2，，分別是，的三等分點(diǎn)，即，，求的長(zhǎng)．③若，分別是，的等分點(diǎn)，即，，則______．【答案】(1)3(2)①；②；③【分析】（1）由，，得，根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，即得，，故；（2）①由，分別是，的中點(diǎn)，知，，即得，故；②由，，知，，即得，故；③由，，知，，即得，故．【詳解】（1）解：，，，，分別是，的中點(diǎn)，，，；故答案為：；（2）解：①，分別是，的中點(diǎn)，，，，，；故答案為：；②，，，，，，；③，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)、線段的和差，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的定義及線段和差運(yùn)算．22．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸上有、、三點(diǎn)，如圖1，點(diǎn)、表示的數(shù)分別為，點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，．(1)若，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．①則點(diǎn)表示的數(shù)為_(kāi)_____．②如圖2，線段（在的左側(cè)，），線段從點(diǎn)出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)度始終為1，求的值；(2)若，點(diǎn)是的中點(diǎn)，若