專題05 特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型（原卷版）

專題05.特殊的平行四邊形中的最值模型之胡不歸模型胡不歸模型可看作將軍飲馬衍生，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸等的數(shù)學(xué)思想，近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易把握。本專題就最值模型中的胡不歸問(wèn)題進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。在解決胡不歸問(wèn)題主要依據(jù)是：點(diǎn)到線的距離垂線段最短?！灸Ｐ捅尘啊繌那坝袀€(gè)少年外出求學(xué)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即趕路回家．根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，雖然從他此刻位置A到家B之間是一片砂石地，但他義無(wú)反顧踏上歸途，當(dāng)趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭．鄰居告訴小伙子說(shuō)，老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？”看到這里很多人都會(huì)有一個(gè)疑問(wèn)，少年究竟能不能提前到家呢？假設(shè)可以提早到家，那么他該選擇怎樣的一條路線呢？這就是今天要講的“胡不歸”問(wèn)題.補(bǔ)充知識(shí)：在直角三角形中銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即。若無(wú)法理解正弦，也可考慮特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三邊關(guān)系?！灸Ｐ徒庾x】一動(dòng)點(diǎn)P在直線MN外的運(yùn)動(dòng)速度為V1，在直線MN上運(yùn)動(dòng)的速度為V2，且V1<V2，A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線MN上，確定點(diǎn)C的位置使的值最小．（注意與阿氏圓模型的區(qū)分）1），記，即求BC+kAC的最小值.2）構(gòu)造射線AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求BC+CH最小值.3）過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AD交MN于點(diǎn)C，交AD于H點(diǎn)，此時(shí)BC+CH取到最小值，即BC+kAC最?。窘忸}關(guān)鍵】在求形如“PA+kPB”的式子的最值問(wèn)題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+kPB”型問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型．（若k>1，則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短及垂線段最短。例1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考二模）如圖，菱形中，，，是對(duì)角線上的任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）．

A． B． C． D．例2．（2023·四川宜賓·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于________．例3．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．

例4．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如圖，正方形邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，且．P是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．4 B． C． D．例5．（2022·山東濟(jì)寧·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱圖形為．（1）求證：四邊形是菱形；（2）連接，若，．①求的值；②若點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），連接，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再以的速度沿線段勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)沿上述路線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)所需要的時(shí)間最短時(shí)，求的長(zhǎng)和點(diǎn)走完全程所需的時(shí)間．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣東廣州·?？既＃┤鐖D：等邊三角形中，，E、F分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A． B． C． D．2．（2023上·江蘇徐州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值為．3．（2023上·湖北黃石·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，將線段繞點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，，取中點(diǎn)，，連接，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么將線段繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的最小值為．

4．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考中考真題）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．5．（2023·廣東東莞·校考三模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠B＝120°．點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A重合），則AP+PD的最小值為_(kāi)____．6．如圖，中，，，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值等于．7．（2023·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠ABC=120°，則的最小值是____________．8．（2023·重慶沙坪壩·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在直角坐標(biāo)系中，直線：與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，分別以、為邊作矩形，點(diǎn)、在直線上，且，則的最小值是．9．（2023·湖南·九年級(jí)月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝6，△BCD為等邊三角形點(diǎn)E為△BCD圍成的區(qū)域（包括各邊）的一點(diǎn)過(guò)點(diǎn)E作EM∥AB，交直線AC于點(diǎn)M作EN∥AC交直線AB于點(diǎn)N，則AN+AM的最大值為．10．（2022·四川眉山·統(tǒng)考一模）兩張寬為3cm的紙條交叉重疊成四邊形ABCD．如圖所示若，P是對(duì)角線BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．11．（2023上·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)在上，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的最小值為．

12．（2023·湖北孝感·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，四邊形是正方形紙片，．對(duì)折正方形紙片，使與重合，折痕為；展平后再過(guò)點(diǎn)折疊正方形紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為；再次展平，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q．有如下結(jié)論：①；②；③；④；⑤為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．

13．（2023下·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀理解】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)R，S為平面內(nèi)不重合的兩點(diǎn)．給出如下定義：將點(diǎn)R繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度得到點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則稱點(diǎn)為點(diǎn)R關(guān)于點(diǎn)S的“旋對(duì)點(diǎn)”．【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B．平面內(nèi)有一點(diǎn)．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)O的“旋對(duì)點(diǎn)”，并直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)Q為直線上一動(dòng)點(diǎn)．①若點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M的“旋對(duì)點(diǎn)”為點(diǎn)，試探究直線經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；②在①的條件下，設(shè)直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)為H，取的中點(diǎn)N，連