專(zhuān)題05 圓中的重要模型之圓冪定理模型（原卷版）

專(zhuān)題05圓中的重要模型之圓冪定理模型圓冪定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國(guó)數(shù)學(xué)家施泰納（Steiner）或者法國(guó)數(shù)學(xué)家普朗克雷（Poncelet）提出的。圓冪定理的用法：可以利用圓冪定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問(wèn)題。模型1.相交弦模型條件：在圓O中，弦AB與弦CD交于點(diǎn)E，點(diǎn)E在圓O內(nèi)。結(jié)論：。例1．（2023·江蘇無(wú)錫·校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)，，，在上，，．若，，則的長(zhǎng)是．

例2．（2022·山東·統(tǒng)考三模）如圖，圓O上有A，B，C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，連接CD交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上，且FC＝FE．(1)求證：CF是圓O的切線；(2)若，BE＝2，求圓O的半徑和的值．例3．（2023秋·山西大同·九年級(jí)校考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：斯庫(kù)頓定理：如圖1．在中，為的平分線，則．下面是該定理的證明過(guò)程：證明：如圖2，是的外接圓，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接．∵為的平分線，∴．∵，（依據(jù)①__________________________）．（依據(jù)②_________________________）又，．．……任務(wù)：（1）證明過(guò)程中的依據(jù)是：①_____________________．②_______________________．（2）將證明過(guò)程補(bǔ)充完整：（3）如圖3．在圓內(nèi)接四邊形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)．若，，，，，請(qǐng)利用斯庫(kù)頓定理，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．模型2.雙割線模型條件：如圖，割線CH與弦CF交圓O于點(diǎn)E和點(diǎn)G。結(jié)論：例1．（2023·遼寧葫蘆島·一模）已知：如圖，、是⊙的割線，，，.則=.例2．（2023·湖北九年級(jí)月考）如圖，割線交于、兩點(diǎn)，且，交于，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．例3．（2022·湖北九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示：、分別與圓O交于A、B、C、D四點(diǎn)，連接、，(1)證明：(2)若，，，求的長(zhǎng).模型3.切割線模型條件：如圖，CB是圓O的切線，CA是圓O的割線。結(jié)論：例1．（2023·江蘇南通·中考模擬）如圖，已知是的切線，為切點(diǎn)，與相交于．兩點(diǎn)，，，則的長(zhǎng)等于（

)

A． B．16cm C． D．例2．（2022·河南駐馬店·校聯(lián)考三模）復(fù)習(xí)鞏固切線：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切，我們把這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).如圖1，直線l1為⊙O的切線割線：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.如圖1，直線l2為⊙O的割線切線長(zhǎng)：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長(zhǎng)，叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng).閱讀材料《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所普的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐州數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)其中第三卷命題36一2圓冪定理（切割線定理）內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng).為了說(shuō)明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫(xiě)了不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出證明過(guò)程已知：如圖2，A是⊙O外一點(diǎn)，．求證：[提示]輔助線可先考慮作⊙O的直徑DE．例3．（2023春·河南駐馬店·九年級(jí)統(tǒng)考期中）《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部著作，它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書(shū)．下面是其中的切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線上是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)，即如圖①，是的切線，直線為的割線，則．下面是切割線定理的證明過(guò)程（不完整）：證明：如圖②，連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，連接、．∵是的切線，是的半徑，∴．∵是的直徑，∴（__________），∴，∴__________．∵，∴__________．∵，∴∽，∴（__________），∴．任務(wù)：(1)請(qǐng)?jiān)跈M線上補(bǔ)充證明過(guò)程，在括號(hào)內(nèi)補(bǔ)充推理的依據(jù)；(2)如圖③，已知是的直徑，是的切線，A為切點(diǎn)，割線與于點(diǎn)E，且滿足，，求的長(zhǎng)．模型4.弦切角模型條件：如圖，CB是圓O的切線，AB是圓O的直徑。結(jié)論：1）；2）；3）。例1．（2023·成都九年級(jí)期中）定義：弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問(wèn)題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點(diǎn)為，為的一條弦，為弧所對(duì)的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關(guān)系．試用轉(zhuǎn)化的思想：即連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，來(lái)論證你的猜想．（2）用自己的語(yǔ)言敘述你猜想得到的結(jié)論．例2．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考三模）人類(lèi)會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國(guó)的墨子給出圓的概念：“圓，一中同長(zhǎng)也．”意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等，這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下的定義要早100多年．與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．(1)如圖1，是的切線．點(diǎn)C，D在上．求證：；(2)如圖2，是的切線．連接交于點(diǎn)D，為的直徑．若，，的半徑為5，求的長(zhǎng)．例3．（2023·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖1，為的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，為內(nèi)一條弦，即為弦切角．(1)古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書(shū)共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明．第三卷中命題32一弦切角定理的內(nèi)容是：“弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)．”如下給出了弦切角定理不完整的“已知”和“求證”，請(qǐng)補(bǔ)充完整，并寫(xiě)出“證明”過(guò)程．已知：如圖2，為的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，為內(nèi)一條弦，點(diǎn)在上，連接，，，．求證：．證明：(2)如圖3，為的切線，為切點(diǎn)，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于，連接，，．若，，求弦的長(zhǎng)．模型5.托勒密定理模型條件：如圖，AB、CD是圓O的兩條弦；結(jié)論：例1．（2022春·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）閱讀與應(yīng)用請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：托勒密是“地心說(shuō)”的集大成者，著名的天文學(xué)家、地理學(xué)家、占星學(xué)家和光學(xué)家．后人從托勒密的書(shū)中發(fā)現(xiàn)一個(gè)命題：圓內(nèi)接四邊形對(duì)邊乘積的和等于對(duì)角線的乘積．下面是對(duì)這個(gè)命題的證明過(guò)程．如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于．求證：．證明：如圖2，作交BD于點(diǎn)E．∵，∴．（依據(jù)）∴．∴．．…∴．∴．∴．∵，∴．∴．任務(wù)：(1)證明過(guò)程中的“依據(jù)”是______；(2)補(bǔ)全證明過(guò)程；(3)如圖3，的內(nèi)接五邊形ABCDE的邊長(zhǎng)都為2，求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．例2．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)托勒密，古希臘天問(wèn)學(xué)家、地理學(xué)家和光學(xué)家，而他在數(shù)學(xué)方面也有重大貢獻(xiàn)，下面就是托勒密發(fā)現(xiàn)的一個(gè)定理，圓內(nèi)接四邊形的兩組對(duì)邊乘積之和等于兩條對(duì)角線的乘積．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）已知：如圖①四邊形是的內(nèi)接四邊形

求證：證明：以C頂點(diǎn)，為一邊作交于點(diǎn)E，使得又∵∴∴

∴，又，∴∴∴，∴∴

∴

即任務(wù)：(1)請(qǐng)將“托勒密”定理的證明過(guò)程補(bǔ)充完整；(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：．(3)如圖②若，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并利用托勒密定理證明這個(gè)結(jié)論．

課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·福建九年級(jí)月考）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，是割線，交于、兩點(diǎn)，與直徑交于點(diǎn)，已知，，，那么等于（）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知為⊙的直徑，直線與⊙相切于點(diǎn)，于點(diǎn)，交⊙于點(diǎn)．若，，則．

3．（2023·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為的割線，且，交于點(diǎn)C，若，則的半徑的長(zhǎng)為．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條割線和，分別交圓于點(diǎn)和，連結(jié)，則在下列各比例式中，①；②；③，成立的有（把你認(rèn)為成立的比例式的序號(hào)都填上）．5．（2023·山東九年級(jí)月考）如圖，從圓外一點(diǎn)引圓的切線，點(diǎn)為切點(diǎn)，割線交于點(diǎn)、．已知，，則．6．（2023·重慶九年級(jí)月考）如圖，割線、分別交于和，若，，，則．7．（2023·重慶·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：弗朗索瓦?韋達(dá)，法國(guó)杰出數(shù)學(xué)家．第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來(lái)表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱(chēng)為“代數(shù)學(xué)之父”．他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)（切割線定理）．如圖1，P是外一點(diǎn)，是的切線，是的一條割線，與的另一個(gè)交點(diǎn)為B，則．證明：如圖2，連接、，過(guò)點(diǎn)C作的直徑，連接．∵是的切線，∴，∴，即．……任務(wù)：(1)請(qǐng)按照上面證明思路寫(xiě)出該證明的剩余部分．(2)如圖3，與相切于點(diǎn)A，連接并延長(zhǎng)與交于點(diǎn)B、C，，，，連接．①與的位置關(guān)系是．②求的長(zhǎng)．8．（2023秋·河北邯鄲·九年級(jí)校考期末）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的中點(diǎn)，連接DE，OE．(1)判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：BC2=CD·2OE；(3)若AB：AC=3：5，BE=6，求OE的長(zhǎng)．9．（2022·湖北恩施·統(tǒng)考一模）如圖，以邊的邊為直徑作圓O，交于D，E在弧上，連接、、，若．(1)求證：為切線；(2)求證：(3)若點(diǎn)E是弧的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)F，當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．10．（2022·廣東·一模）如圖，直線BC與⊙A相切于點(diǎn)C，連接BA，延長(zhǎng)與圓交于點(diǎn)E，連接CE，CD．(1)求證：；(2)若，，求的值．11．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在ΔABC中，點(diǎn)O是BC中點(diǎn)，以O(shè)為圓心，BC為直徑作圓，剛好經(jīng)過(guò)A點(diǎn)，延長(zhǎng)BC于點(diǎn)D，連接AD．已知∠CAD＝∠B．(1)求證：AD是O的切線；(2)求證：ΔACD～ΔBAD；(3)若BD＝8，tanB＝，求⊙O的面積．12．（2023·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┤鐖D，是的直徑，點(diǎn)A為圓上一點(diǎn)（不與C，D點(diǎn)重合），經(jīng)過(guò)A作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，點(diǎn)M為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)F，E為上一點(diǎn)，且，連接并延長(zhǎng)，與交于點(diǎn)B，連接．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．（3）如果，求的長(zhǎng)．13．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，是的弦，延長(zhǎng)交于點(diǎn)C，連接．(1)若平分，求的度數(shù)；(2)若點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，求的半徑．14．（2022·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考三模）閱讀資料：我們把頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角，如圖1中即為弦切角．同學(xué)們研究發(fā)現(xiàn)：A為圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)弦AB經(jīng)過(guò)圓心O，且DB切于點(diǎn)B時(shí)，易證：弦切角．問(wèn)題拓展：如圖2，點(diǎn)A是優(yōu)弧BC上任意一點(diǎn)，DB切于點(diǎn)B，求證：．證明：連接BO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，如圖2所示．∵DB與相切于點(diǎn)B，∴________∴．∵是直徑，∴_____________（依據(jù)）．∴．∴________________（依據(jù)）．又∵_(dá)_______________（依據(jù)），∴．(1)將上述證明過(guò)程及依據(jù)補(bǔ)充完整．(2)如圖3，的頂點(diǎn)C在上，AC和相交于點(diǎn)D，且AB是的切線，切點(diǎn)為B，連接BD．若，求BC的長(zhǎng)．15．（2023·黑龍江綏化·九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，然后解答問(wèn)題：如圖（1）：AB是⊙O的直徑，AD是⊙O切線，BD交⊙O與點(diǎn)C，求證：∠DAC=∠B．證明：因?yàn)锳B為直徑，AD為切線，所以AB⊥AD，即∠BAD=900，故∠DAC+∠BAC=900，又因?yàn)锳B是直徑，所以∠ACB=900，即∠BAC+∠B=900，所以∠DAC=∠B．（1）如圖（2）：若AB不是⊙O的直徑，上述材料中的其他條件不變，那么∠DAC=∠B還成立嗎？如果成立，證明你的結(jié)論；如果不成立，猜想∠DAC和∠B的大小關(guān)系；（2）若切線AD和弦AC所夾的角∠DAC叫弦切角，那么通過(guò)上述的證明，可得出一個(gè)結(jié)論：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的角.16．（2023·安徽宿州·二模）如圖，是的內(nèi)接三角形，D是圓外一點(diǎn)，連接，，連接交于點(diǎn)E．(1)求證：是的切線．(2)若，E是的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)度．

17．（2023春·浙江·九年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）如圖，已知⊙O和⊙⊙相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作⊙的切線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作兩圓的割線分別交⊙O、⊙于E、F，EF與AC相交于點(diǎn)P，（1）求證：；（2）求證：；（3）當(dāng)⊙O與⊙為等圓時(shí)，且時(shí)，求△PEC與△FAP的面積的比值.18．（2023·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線與邊相交于點(diǎn)，與的外接圓相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：；(3)求證：；(4)猜想：線段三者之間存在的等量關(guān)系．（直接寫(xiě)出，不需證明．）

19．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考一模）【問(wèn)題探究】已知：如圖①所示，∠MPN的頂點(diǎn)為P，⊙O的圓心O從頂點(diǎn)P出發(fā)，沿著PN方向平移．（1）如圖②所示，當(dāng)⊙O分別與射線PM，PN相交于A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，連接AC、BD，可以證得△PAC∽△，從而可以得到：PA?PB＝PC?PD．（2）如圖③所示，當(dāng)