高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論

1.元素與集合的關(guān)系

xeAoxwQA,xeCyA<=>A.

2.德摩根公式

Q(AB)=QAG3;Q(AB)=QAQB.

3.包含關(guān)系

A8=AoA8=BoA==

<=>AQB=<I>oG，AB—R

4.容斥原理

card(AB)=cardA+cardB-card(AB)

card(ABC)=cardA+cardB+cardC—card(AB)

—card(AB)—card(BC)—card(CA)+card(ABC).

5.集合｛a1M2，M,J的子集個(gè)數(shù)共有2"個(gè)；真子集有2"-1個(gè)；非空子集有2"-1個(gè)；非空的真子集有

2"-2個(gè).

6.二次函數(shù)的解析式的三種形式

⑴一般式/(x)=ax2+bx+c(a^O);

(2)頂點(diǎn)式.f(x)=a(x-h)2+k(a。0);

(3)零點(diǎn)式/(x)=a(x-)(x-x2)(a*0).

7.解連不等式N<f(x)<M常有以下轉(zhuǎn)化形式

N<f(x)<Mo"(x)—M]"(x)—N]<0

-M+NM—N3〉。

o"(x)———1<o

2

o----------->---------

f(x)-NM-N

8.方程f（x）=0在（勺,42）上有且只有一個(gè)實(shí)根,與fWW2）<0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充

分條件.特別地，方程。￥+6:+。=0（。力0）有且只有一個(gè)實(shí)根在?,&）內(nèi)，等價(jià)于/內(nèi)）/（心）<0,或

j..,、八口，bk,+k2?j...、?k,+k-,b.

./■（K）=0且匕<<—~一~，或/（&）=0且-—---<——<k2.

9.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)/（x）=a?+bx+c（a*0）在閉區(qū)間［p,q］上的最值只能在》=--處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體

2。

如下：

卜b

⑴當(dāng)a〉0時(shí),若％=-丁6［。,司，則/（初出=/（-丁）J*）max=max｛/（P），/（4）｝；

X=-五史[p，<7]，/(X)3=max{/(P)，/(4)}，/(X)min=min{/(P)，/(/}?

⑵當(dāng)a<0時(shí)，若無(wú)=——e[p,g],則

2a

/Wmin=min{/(p),/(<?)}

,若x=任[PM]，則/(0皿=t11ax{/(〃)，/⑷}，/(力加=喻11{/(p)J(4)}.

10.一元二次方程的實(shí)根分布

依據(jù)：若/（〃7）/（“）<0,則方程/（x）=0在區(qū)間（加,〃）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.

設(shè)f（x）=x2+px+q,則

p2—4^>0

（1）方程y（x）=o在區(qū)間（m,+8）內(nèi)有根的充要條件為/（加）=0或，p；

——>m

[2

/（M>0

/（?）>0f

（2）方程/（x）=0在區(qū)間（加,“）內(nèi)有根的充要條件為了（〃?）/（"）<（）或，"2_船20或，""'一或

1”一[af（n）>0

P

m<---<n

I2

；/（?）=0

af（ni）>0

p2-47>0

（3）方程/（x）=0在區(qū)間（-oo,〃）內(nèi)有根的充要條件為/（加）<0或，p

——<m

2

11.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)

⑴在給定區(qū)間（—8,+00）的子區(qū)間Z,（形如L,冽，（一8,冽，[&,+8）不同）上含參數(shù)的二次不等式

f）20（，為參數(shù)）恒成立的充要條件是/（X,r）inin>0（x史L）.

（2）在給定區(qū)間（-8,+8）的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式/（X,7）20（f為參數(shù)）恒成立的充要條件是

a>0

a<0

⑶/（X）=/+而+c>0恒成立的充要條件是<20或，

h2一4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常見結(jié)論的否定形式

原結(jié)論反設(shè)詞原結(jié)論反設(shè)詞

是不是至少有一個(gè)一個(gè)也沒有

都是不都是至多有一個(gè)至少有兩個(gè)

大于不大于至少有〃個(gè)至多有（〃一1）個(gè)

小于不小于至多有〃個(gè)至少有（〃+1）個(gè)

對(duì)所有X,存在某X,

成立不成立p或4—>p且［4

對(duì)任何X,存在某X,

不成立成立p且q-1P或「4

否否

逆逆

否否

15.充要條件

(1)充分條件：若pnq,則p是q充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則p是4必要條件.

(3)充要條件：若且qnp,則p是q充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

16.函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)石>q同為片》2那么

(司-x2)[/(x,)-/(x2)]>0o/(%)]/-2)>0o/(X)在[a，U上是增函數(shù)；

X]一%2

(西-x2)[/(xl)-/(x2)]<0<^><0=/(x)在[a,"上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果/'(x)>0,則為增函數(shù)；如果/'(x)<0,則/(x)為減函

數(shù).

17.如果函數(shù)/(x)和g(x)都是減函數(shù)，則在公共定義域內(nèi)，和函數(shù)/(x)+g(x)也是減函數(shù)；如果函數(shù)

y=/(“)和〃=g(x)在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)y=/Tg(x)]是增函數(shù).

18.奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;反過(guò)來(lái)，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么

這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).

19.若函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，則f(x+a)-/(-%-a)；若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則

/(x+a)=/(-%+?).

20.對(duì)于函數(shù)y=/(x)(xe/?),f(x+a)=f(b-x)恒成立,則函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸是函數(shù)x=；兩個(gè)函

數(shù)y=/(x+a)與y=f(b-%)的圖象關(guān)于直線x=等對(duì)稱.

21.若/(x)=-/(—x+a),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(令0)對(duì)稱；若/(x)=—/(x+a),則函數(shù)

y=/(幻為周期為2a的周期函數(shù).

n

22.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)=anx"+an_ix-'++a0的奇偶性

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)oP(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)oP(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.

23.函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱=f(a+x)=/(a-x)

o/(2a-x)=/(x).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線x=型對(duì)稱o/(?+如)=f(b-mx)

Of(a+b—nvc)=f(mx).

24.兩個(gè)函數(shù)圖象的對(duì)稱性

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(t)的圖象關(guān)于直線x=()(即y軸)對(duì)稱.

(2)函數(shù)y=f(mx一a)與函數(shù)y=/(。一如)的圖象關(guān)于直線x=-對(duì)稱.

2m

(3)函數(shù)y=/(x)和y=f-'(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

25.若將函數(shù)y=/(x)的圖象右移。、上移6個(gè)單位，得到函數(shù)y=/(x—a)+Z?的圖象；若將曲線/(x,y)=O

的圖象右移a、上移b個(gè)單位，得到曲線了(x—a,y—0)=0的圖象.

26.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系

f(a)=bo『(b)=a.

27.若函數(shù)y=/("+份存在反函數(shù)，則其反函數(shù)為y='"T(x)一切，并不是y="T(6+。)，而函數(shù)

K

y="T(kx+h)是y=-[/(x)-b\的反函數(shù).

k

28.幾個(gè)常見的函數(shù)方程

(1)正比例函數(shù)f(x)=cx,f(x+y)=/(%)+/(y),/(l)=c.

(2)指數(shù)函數(shù)/Xx)=a',f(x+y)=/(x)/(y),/(D=?*0.

(3)對(duì)數(shù)函數(shù)/.(x)=logox,f(xy)=/(x)+=l(a>0,aw1).

⑷嘉函數(shù)/(x)=//(盯)=/(x)/(y)J⑴=a.

(5)余弦函數(shù)/(x)=cosx,正弦函數(shù)g(x)=sinx,/(x-y)=/(x)/(y)+g(x)g(y)，

I。X

29.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),則/(x)的周期T=a；

⑵/(x)=/(x+a)=0,

f(x+a)=(f(x)0),

fM

或/(x+a)=-(f(x)^O),

f(x)

或g+"(x)-/2(x)=f(x+a),(f(x)e[0,1]),則f(x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1一」一(/(x)H0),則/(x)的周期T=3a；

/(尤+。)

(4)/(x,+%)=像，且/(?)=1(/(^)-/(&)4，0<1王一W1<2。)，則/(x)的周期T=4a；

(5)/(X)+f(x+a)+/(x+2a)/(x+3a)+f(x+4a)

=/(x)/(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),則/(x)的周期T=5a；

(6)f(x+a)=/(x)-f(x+a),則/(x)的周期T=6a.

30.分?jǐn)?shù)指數(shù)累

巴]

(1)a"=,——Ca>0,m,neN*,且〃>1).

Na1"

-絲1

(2)an=—Qa>0,m,neN*,且〃>1).

31.根式的性質(zhì)

(1)(標(biāo))"=〃.

(2)當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，亞=a；

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，^a"=\a\=[a，a~0

-a,a<0

32.有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,s&Q).

(2)=a"(a>0,幾s￡Q).

(3)(ah)1=a'b'(a>0,b>0,reQ).

注：若a>0,p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則/表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)嘉的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)累

都適用.

33.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化式

logaN=bod'=N(a>0,a手1,N>4)

34.對(duì)數(shù)的換底公式

logN

log,N=——-—(?！?,且。。1,m>(),且加工1,N>0).

log,”a

幾

推論loglog，(a>0,且a〉l,加,〃>0,且"2W1,“Hl,N>0).

°m

35.對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則

若a>0,aW1,M>0,N>0,則

⑴log”(MN)=log,,M+log<(N;

M

⑵log“—=k)g“"一k)g“N;

(3)log"M"=〃log“M｛nGR).

36.設(shè)函數(shù)/(x)=log,,,(a%2+bx+c)(aw0)，記△=〃-4ac.若/(x)的定義域?yàn)镽,則a>0,且△<0；

若/(x)的值域?yàn)镽,則。>0,且△20.對(duì)于。=0的情形,需要單獨(dú)檢驗(yàn).

37.對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣

若。>0,b>(),x>(),x工工，則函數(shù)y=logrtV(/?x)

a

(1)當(dāng)a>。時(shí)，在(0,1)和(工,+8)上y=log心gx)為增函數(shù).

aa

(2)當(dāng)。<6時(shí)，在(0,-)和(L+⑼上y=logmSx)為減函數(shù).

aa

推論:設(shè)〃>加>1，/?>0>?>0>且awl，則

⑴log,,”(〃+，)<log,,“

八、i1.2m+n

(2)log?mlog?n<logu

38.平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題

如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長(zhǎng)率為0,則對(duì)于時(shí)間x的總產(chǎn)值y,有丁="(1+〃)\

39.數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

5.,n=1

an=<(數(shù)列｛a“｝的前n項(xiàng)的和為s“=4+4++a,).

40.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=4+(〃-l)d=dn+Oy-d(nwN")；

其前n項(xiàng)和公式為

〃(q+a)"(〃一1)

s”=-n=叫+—-—d

dz1」、

=—n2+(。1—d)n.

22

41.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=a?—=色?g"（〃eN"）；

q

其前n項(xiàng)的和公式為

空工小

s“=ji-q

叫,q=1

或s〃=<"q.

na1,q=1

42.等比差數(shù)列{a,,}:。,川=qan+。,4="（q。0）的通項(xiàng)公式為

b+（n-l）d,q-1

a?=\bqn+{d-b}qn-'-d,;

-----------：-------，什］

Iq-i

其前n項(xiàng)和公式為

nb+n（n-\）d,（q=1）

s=

n'z>dJq"d'

\-qq-\1-q

43.分期付款（按揭貸款）

每次還款x=；：；；?］元（貸款a元，〃次還清，每期利率為b）.

44.常見三角不等式

(1)若x￡(0,—),則sinxv尢<tan尤.

2

(2)若工￡(0,工)，則1<sinx+cosx三夜.

2

(3)|sinx|4-|cosx|>l.

45.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

win0

22

sin+cos0=\ftan^=----,tan0-cotO=1.

cos。

46.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

n

(-1)2sina、（n為偶數(shù)）

sin(—+cr)=<

(-1)2cosa,

（n為奇數(shù)）

n

（n為偶數(shù)）

,n兀、(-1)2cosa,

cos(---na)=v

2〃+1

（n為奇數(shù)）(-1)2sina,

47.和角與差角公式

sin(a±/?)=sinacos/?±cosasin/?；

cos(a±/)=cosacospsinasin?；

,,0、tana±tan/?

tan(a±/?)=-----------.

1tanatanf3

sin(tz+P)sin(cif-/?)=sin2-sin2/3(平方正弦公式);

cos(?+0)cos(a-/?)=cos2a-sin2J3.

Qsina+Z7cosa=J^"7P_sin(a+0)(輔助角9所在象限由點(diǎn)(。/)的象限決定，tan(p=—).

a

48.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a.

32tana

tan2a-----；-.

1-tan-a

49.三倍角公式

sin3。=3sin。一4sin，。=4sin8sin(--0)sin(—+0).

33

cos3。=4cos30-3COS6=4COS0COS(y-6)COS(y+0)

rc3tantan3八k八、/乃八、

tan30=------------=tan0tan(---0)tan(—+0).

l-3tan2^33

50.三角函數(shù)的周期公式

24

函數(shù)y=sin(GX+0),x￡R及函數(shù)y=cos(69%+e),xeR(A,w,p為常數(shù)，且AWO,3>0)的周期T=—；

CD

jrJr

函數(shù)y=tan(公r+夕)，xw&?+—,&wZ(A,3,勿為常數(shù)，且AWO,3>o)的周期T=—.

2co

51.正弦定理

3=±=，=2R.

sinAsinBsinC

52.余弦定理

a2=h2+c2-2/7ccosA；

b2=(r+a2-2CQCOSB；

c2=a2+h2—2abeosC.

53.面積定理

(1)S=—ah=—bhf=—ch(h>%、〃分別表示a、b、c邊上的高).

(2)S=—ahsinC=—bcsinA=-cas\nB.

222

22

(3)SAOAB=^\OA\-\OB\')-(OAOB).

54.三角形內(nèi)角和定理

在AABC中，有A+3+C=;ru>C=;r-(A+3)

C7i4+3入c、

——--------u>2c=27r—2(A+B).

222

55.簡(jiǎn)單的三角方程的通解

sinx=aox=上4+(-1)“arcsina(keZ,|a|<1).

cosx=a<=>x=2k7r±arccosa(kGZ,|?|<1).

tanx=a=x=k7r+arctana(kGZ,6zG7?).

特別地,有

sina=sin尸oa=Zzr+(一甘0(kGZ).

cosa=cos00a=2k?！狸?duì)kGZ).

tana=tan4=>a=+隊(duì)kGZ).

56.最簡(jiǎn)單的三角不等式及其解集

sinx>a(\a\<Y)oxEi(2%%+arcsina,2攵4+乃一arcsind),keZ.

sin尤<Q(|Q區(qū)1)ox￡Qk7r-TV-arcsina,2k兀+arcsinci),keZ.

cosx>a(|Q區(qū)1)ox￡(2Z4-arccosa,2k冗+arccosd),kGZ.

cosx<a(]a\<V)x(2ZTT+arccosa,2k/r+24—arccosd),keZ.

71

tanx>a(ae/?)=>xe(攵]+arctana,k兀+—),keZ.

JI

tanx<a(awR)=xw(k兀一^,k兀+arctand),keZ.

57.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律

設(shè)A、u為實(shí)數(shù)，那么

(1)結(jié)合律：A.(pa)=(Xp)a;

⑵第一分配律：C+u)a=、a+ua;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

58.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

(1)a?b=b,a(交換律)；

(2)(%a)?b=A(a^b)=Aa,b=a,(Ab);

(3)(a+b)?c=a,c+b?c.

59.平面向量基本定理

如果&、ez是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)M、

使得a=X[&+入2e2.

不共線的向量e,、會(huì)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

60.向量平行的坐標(biāo)表示

設(shè)2=(王，,)/=(工2，%)，且b#0,則ab(b0)<=>Xjy2—x2yx-0.

53.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)

a,b=ab|cos9.

61.a,b的幾何意義

數(shù)量積a-b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos0的乘積.

62.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)2=(和乂)]=(%2，%)，則a+b=(X]+X2,yt+y2).

⑵設(shè)a=(x,,y),b=(w，%),則a-b=(%-%2,y-.

⑶設(shè)A(x，y),B(x2,y2),則45=。8-。4=(9一%,%—，1)?

(4)設(shè)a=(x,_y),2G7?,則Aa=(Ax,Ay).

(5)設(shè)a=(%,弘)，b=(%2,%)，則a?b=(%工2+X%)?

63.兩向量的夾角公式

cose=丁，-(a=(玉，y),b=(M,%)).

64.平面兩點(diǎn)間的距離公式

dAB=\AB\=4AB-AB

22

=^/(x2-xl)+(y2-y1)(A(%，M)，B(x2,y2)).

65.向量的平行與垂直

設(shè)a=(N，y),b=(/，％),且bHO,則

A||bob=Aa<^>x]y2-=0.

alb(a#0)Oa,b=0oX]X2+X%=。.

66.線段的定比分公式

設(shè)耳(5，X),P,(x2,y2),尸(x,y)是線段耳鳥的分點(diǎn)，義是實(shí)數(shù)，且耳。=；1理，則

_X]+AX2

1+2八。OP.+AOP,

_X+4)‘2]+尤

y~~i+T~

0。尸=邙+(1-r)?！?r=—L).

1+4

67.三角形的重心坐標(biāo)公式

△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(X],yj、B(X2)y2),C(x3)y3),則△ABC的重心的坐標(biāo)是

G(一「,一--).

68.點(diǎn)的平移公式

X-x+hx-x—h.

oOP=OP+PP.

(y=y+ky=y-k

注：圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x,yj,且PP'的坐標(biāo)為(山幻.

69.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論

⑴點(diǎn)P(x,y)按向量a=(/z,k)平移后得到點(diǎn)P\x+h,y+k).

(2)函數(shù)y=/(x)的圖象C按向量a=(/?M)平移后得到圖象G,則C的函數(shù)解析式為y^f(x-h)+k.

(3)圖象C'按向量a=(h,k)平移后得到圖象C,若C的解析式丁=/(%)，則C'的函數(shù)解析式為

y=f(x+h')-k.

(4)曲線C:f(x,y)=0按向量a=(力,女)平移后得到圖象C,則C的方程為f(x-h,y-k)^O.

(5)向量m=Q,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然為m=(x,y).

70.三角形五“心”向量形式的充要條件

設(shè)。為A43C所在平面上一點(diǎn)，角A,3,C所對(duì)邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則

222

(1)。為A43C的外心=OB=OC.

(2)。為A/13C的重心o0A+05+0C=0.

(3)。為AA3c的垂心oa403=030C=0C04.

(4)。為AA8C的內(nèi)心oa04+b0B+c0C=0.

(5)。為A4BC的NA的旁心oaQ4=/?Q3+cOC.

71.常用不等式：

(1)a,b&R=>a2+b222ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)).

(2)a,beR'="+">\[ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取"="號(hào)).

2

(3)a3*5+h3+(?>3ahc(a>0,Z?>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+h2)(c2+d2)>(ac+bd)2,a,b,c,d&R.

(5)|ez|—|ZJ|<|tz+/?|<|d：|+|Z?|.

72.極值定理

已知x,y都是正數(shù)，則有

(1)若積肛是定值p,則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2折；

(2)若和x+y是定值s,則當(dāng)x=y時(shí)積刈有最大值Ld.

4

推廣已知?jiǎng)t有(x+y)2=(x-y)2+2孫

(1)若積孫是定值,則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，Ix+y|最大；

當(dāng)|x-y|最小時(shí)，|x+y|最小.

(2)若和|x+y|是定值，則當(dāng)|x-y|最大時(shí)，|xy|最??；

當(dāng)|x-y|最小時(shí),|孫|最大.

73.一元二次不等式ax?+bx+c>0(或<0)(a。0,A=〃-4?c>0),如果a與ax2+bx+c同號(hào)，則其解集

在兩根之外；如果a與斯2+灰+。異號(hào)，則其解集在兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

%<x<x2O(x—%)(?￥一工2)<。(玉<A^)；

工",或￥>為0(%-%)0-％2)>0(玉<X2).

74.含有絕對(duì)值的不等式

當(dāng)a>0時(shí)，有

|x|<cz<=>x2<4z"-a<x<a.

忖〉々0X2〉々？01>々或xv—a.

75.無(wú)理不等式

f/w>o

(1)“(x)>Jg(x)o,g(x)20.

fM>g(x)

p(X)N00

⑵九)〉g(x)o|g(x)20或</,__?

J(x)>[g(x)]2l

/U)>0

(3)"(x)<g(x)o,g(x)>0

/(x)<[g(x)]2

76.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

(1)當(dāng)a〉l時(shí)，

af{x)>爐⑴of(x)>g(x);

7(x)>0

log“/(x)>log<,g(x)=<g(x)>0.

J(x)>g(x)

(2)當(dāng)Ova<1時(shí),

a"">agM<=>f(x)<g(x)；

7w>o

log“/(X)>log“g(x)=<g(x)>o

f(x)<g(x)

77.斜率公式

lc=~~—（［（%,y）、HU,%））。

X2—玉

78.直線的五種方程

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)_%"（%_＞）（直線/過(guò)點(diǎn)W，y）,且斜率為2）.

（2）斜截式y(tǒng)=fcc+b（b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式~一%）（5（%，乂）、8（用＞，必）（王/工2））?

y2f工2-』-

（4）截距式二+上=1（小。分別為直線的橫、縱截距，。、8才0）

ah

（5）一般式Ax++C=0（其中A、B不同時(shí)為0）.

79.兩條直線的平行和垂直

⑴若/]:y=左押+4,l2:y=k2x+h2

①《||4oK=e,4w%；

②4±/2oZ]旬=—1-

(2)若4：A^+gy+C]=o,，2：+C2=o,且Ai、A?、B]>B2都不為零,

①八|/,0劣="0邑；

A2B2C2

②§2=44+4耳=o；

80.夾角公式

(l)tana=|-^■~—|.

1+kjcy

U：y=4x+4，l2：y=k2x+b2,k}k2^-1)

4層-ABj

(2)tana=|2I.

4A->+B]B)

(4：4x+gy+G=0,4：Ax+^v+G=0,A&+462wo).

n

直線時(shí)、直線6與，2的夾角是一.

2

8i.4到4的角公式

氏2-h

(1)tan?=

1+k)k[

（4：y=4x+4，4:,二冬工+與"人工一1）

45—A)與

(2)tana=

AA>+4B>

(i\：4%+4y+G=0,4：4尢+32丁+。2=0,4A+48W0).

7T

直線4，/2時(shí)，直線6到/2的角是一.

-2

82.四種常用直線系方程

（1）定點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)定點(diǎn)發(fā)（^，及^的直線系方程為^一為二人工一公乂除直線》二花臬其中女是待定的

系數(shù)；經(jīng)過(guò)定點(diǎn)兄（%,%）的直線系方程為4%—%）+以丁—丁0）=0，其中43是待定的系數(shù).

⑵共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過(guò)兩直線4：Ax+4y+G=0,/2：4x+B2N+G=o的交點(diǎn)的直線系方程為

（4%+4＞0+2（A滸4AQ=（（除4），其中人是待定的系數(shù).

（3）平行直線系方程：直線丁=履+匕中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程.與直線

Ax+8y+C=0平行的直線系方程是Ac+3y+；l=0（4/0）,人是參變量.

（4）垂直直線系方程：與直線Ar+8），+C=0（AWO,BWO）垂直的直線系方程是Ay+2=0,8是

參變量.

83.點(diǎn)到直線的距離

d=3上咄9（點(diǎn)p（x。,%）,直線/：―+By+C=0）.

VA2+B2

84.上+8），+。〉0或＜0所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線/:Ar+5y+C=0,則加+8），+。＞0或＜0所表示的平面區(qū)域是：

若8*0,當(dāng)B與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的上方的區(qū)域；當(dāng)B與Ax+為+C異號(hào)時(shí)，表示直線/的

下方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在上，異號(hào)在下.

若8=0,當(dāng)A與Ax+By+C同號(hào)時(shí)，表示直線/的右方的區(qū)域；當(dāng)4與Ax+B），+C異號(hào)時(shí)，表示直線/的

左方的區(qū)域.簡(jiǎn)言之，同號(hào)在右，異號(hào)在左.

85.（Ax+4y+G）（4x+與），+G）＞0或＜（）所表示的平面區(qū)域

設(shè)曲線C:(4x+4y+C])(&x+82y+G)=0(44432H0),則

(Ax+4y+G)(&x+B2y+G)>0或<0所表示的平面區(qū)域是：

(4%+4夕+￡)(4尢+82^+。2)>0所表示的平面區(qū)域上下兩部分；

(Ax+qy+GX&r+Rv+GkO所表示的平面區(qū)域上下兩部分.

86.圓的四種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F^0(D2+￡2-4F>0).

x-a+rcosO

(3)圓的參數(shù)方程\八.

y=b+rsin0

(4)圓的直徑式方程(x—玉)(x—工2)+(丁一乂)“一%)=0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(%，X)、B(x2,y2)).

87.圓系方程

⑴過(guò)點(diǎn)4區(qū),乂)，8(9,為)的圓系方程是

(x-X])(x-/)+(y—y)(y—y2)+4(x-^)(X—%)一(》一x)(%一電)]=0

<^>(x-xl)(x-x2)+(^-^1)(y-y2)+/l(ax+/>y+c)=0,其中ax+by+c=0是直線AB的方程，X是待定的系

數(shù).

⑵過(guò)直線/:Ax+5y+C=0與圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程是

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)-O,入是待定的系數(shù).

2

(3)過(guò)圓。]：9+,2+/)]%+耳>+4=0與圓G:%+y?+D.,x+E1y+g=0的交點(diǎn)的圓系方程是

11

^+y+D,x+Exy+F}+^+y+D2x+E1y+F2)=Q,入是待定的系數(shù).

88.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

點(diǎn)?(■“，為)與圓(%—。)2+()'—力之=/的位置關(guān)系有三種

若d=J(a_Xo)2+S-%)2,則

d，八0點(diǎn)2在圓外；d二/0點(diǎn)「在圓上；d<7。點(diǎn)「在圓內(nèi).

89.直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+3y+C=0與圓(x-af+(y-力2=/的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離<=>△<();

d=ro相切。A=0；

d<ro相交<=>△>().

\Aa+Bb+C\

其中d

A/A2+B2

90.兩圓位置關(guān)系的判定方法

設(shè)兩圓圓心分別為0i,。2,半徑分別為?，r2,\OyO-^=d

d>r]+r20外離o4條公切線；

△=4+弓o外切o3條公切線；

\rt-r2\<d<r1+r2o相交o2條公切線;

"=|八-々Io內(nèi)切ol條公切線；

()<<7<|z]-r2\。內(nèi)含O無(wú)公切線.

91.圓的切線方程

(1)已知圓/+產(chǎn)+以+4+產(chǎn)二。

①若已知切點(diǎn)(尤。,%)在圓上，則切線只有一條，其方程是

“。y+空—亞+『.

22

當(dāng)(x0,y0)圓外時(shí)，V+為)+個(gè)+幻+￡()：+)')+F=0表示過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.

②過(guò)圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為y-%=-x-/)，再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線，注意不要

漏掉平行于y軸的切線.

③斜率為k的切線方程可設(shè)為y=+再利用相切條件求b,必有兩條切線.

(2)已知圓f+y=「2.

①過(guò)圓上的《(的,為)點(diǎn)的切線方程為豌)x+x)y=/；

②斜率為k的圓的切線方程為y=kx±r4\+k1.

x2v2[x=acosff

92.橢圓二十==1(。＞人＞0)的參數(shù)方程是\八

ab~[y=hsin0

x2v2

93.橢圓于+、=l(Q＞b＞0)焦半徑公式

ab”

22

\PFi\=e(x+—),\PF2\=e(--—x).

cc

94.橢圓的的內(nèi)外部

2222

(l)點(diǎn)PCX。,為)在橢圓，+3=1(a>匕>0)的內(nèi)部o今+得<L

222

(2)點(diǎn)P(%,%)在橢圓卞+方=1(。＞1＞0)的外部Oa?+->1.

95.橢圓的切線方程

22

,yy_i

(1)橢圓點(diǎn)+%?=1(4＞人＞0)上一點(diǎn)p(Xo,y0)處的切線方程是o

a'b~

(2)過(guò)橢圓,+方=1(。＞。＞0)外一點(diǎn)P(x0,%)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是

生+迎=1

a2b2

2

(3)橢圓=1(。>b>0)與直線Ax++C=0相切的條件是A2a2+B%=c2.

96.雙曲線與—與=1(。>Q,b>0)的焦半徑公式

a~b~

22

\PFi\=\e(x+-)\,\PF2\=\e(--x)\.

97.雙曲線的內(nèi)外部

2222

(1)點(diǎn)尸(尤0,%)在雙曲線一—“r=1(。>0,/?>0)的內(nèi)部<=>——>1.