數(shù)學本講測評：第二講直線與圓的位置關(guān)系2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精本講知識結(jié)構(gòu)本講測試1如圖2—1，AB是⊙O的直徑，C為半圓上一點,CD⊥AB于D，若BC=3，AC=4,則AD∶CD∶BD等于（)圖2-1A.4∶6∶3B。6∶4∶3C.4∶4∶3D。16∶12∶9思路解析:由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，由勾股定理知AB=5，又CD⊥AB，根據(jù)射影定理就有AC2=AD·AB，于是AD=。同理，BD=，CD=，據(jù)此即得三條線段的比值。答案:D2如圖2-2,在半圓O中，AB為直徑,CD⊥AB，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，則圖中相似三角形一共有()圖2-2A.3對B。4對C.5對D。6對思路解析:由題設(shè)，△ABC是直角三角形,CD⊥AB，可知△ACD∽△ABC∽△CBD，這就是3對。又AF平分∠CAB，所以有△CAF∽△DAE，△CAE∽△BAF，這樣一共有5對三角形相似。答案:C3如圖2—3，在⊙O中,AB為直徑,AD為弦，過B點的切線與AD的延長線交于C，且AD=DC,則sin∠ACO等于（）A.B。C。D。圖2-3思路解析：連結(jié)BD、DO,過O作OE⊥AC于E,由AB為直徑,有BD⊥AC,由△ABC是直角三角形，AD=CD,得△ABC是等腰直角三角形，然后設(shè)AE=x,用x表示出CE，進一步表示出OC,利用三角函數(shù)定義即可得到所求的值.答案:A4如圖2—4是賽跑跑道的一部分，它由兩條直道和中間半圓形彎道組成，若內(nèi)外兩條跑道的終點在同一直線上，則外跑道的起點必須前移才能使兩跑道有相同的長度。如果跑道每道寬為1.22米，則外跑道的起點應(yīng)前移___________米（π取3.14,結(jié)果精確到0。01米）。圖2-4思路解析:計算出內(nèi)外跑道的長度差即可.答案：3.835如圖2-5，已知△ABC中，∠ABC的平分線交AC于F，交△ABC的外接圓于E,ED切圓于E，交BC的延長線于D。求證：AE2=AF·DE。思路分析:題目中的四條線段不能組成兩個相似的三角形，所以利用平行將AE換成EC,根據(jù)△AFE∽△ECD，得到比例式，再換回線段即可.證明：連結(jié)EC.∵四邊形ABCE內(nèi)接于⊙O,∴∠7=∠3＋∠5。又∵∠5=∠2，∠2=∠1，∴∠7=∠3＋∠1。∵∠4=∠3＋∠1，∴∠7=∠4。∵DE切⊙O于E，EC為弦，∴∠6=∠5.∴△AFE∽△ECD?！?即AE·EC=DE·AF。∵∠1=∠2,∴=?！郃E=EC。∴AE2=DE·AF。6如圖2-6所示，已知AB為⊙O的直徑，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上兩點，且=,過D作DE⊥AC于點E，求證：DE是⊙O的切線.圖2-6思路分析：要證DE是⊙O的切線，根據(jù)切線的判定定理，連結(jié)OD，只需證明OD⊥DE即可,即“作半徑,證垂直”,這是證明圓的切線的另一方法。證明：連結(jié)OD、AD.∵=,∴∠1=∠2.∵OA=OD，∴∠2=∠3.∴∠1=∠3?！郃E∥OD.∵AE⊥DE，∴OD⊥DE?！郉E是⊙O的切線.7如圖2-7，已知在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于D，過D點作⊙O的切線交AC于E。圖2—7求證：（1)DE⊥AC；（2）BD2=CE·CA.思路分析：本例是考查切線的性質(zhì)與直徑所對的圓周角是直角的綜合題，掌握常見的輔助線作法是解題關(guān)鍵,即連結(jié)圓心和切點的半徑,根據(jù)切線的性質(zhì)，則有半徑垂直于這條切線.證明:(1)連結(jié)OD、AD.∵DE是⊙O的切線，D為切點,∴OD⊥DE?！逜B是⊙O的直徑，∴AD⊥BC.∴AB=AC，BD=DC.∴OD∥AC，DE⊥AC.（2)∵AD⊥BC,DE⊥AC,∴△CDE∽△CAD.∴?！郈D2=CE·CA?！郆D=DC?！郆D2=CE·CA.8如圖2—8，已知⊙O和⊙O′都經(jīng)過A、B兩點,AC是⊙O′的切線，交⊙O于點C，AD是⊙O的切線，交⊙O′于點D。求證：AB2=BC·BD。圖2-8思路分析：欲證AB2=BC·BD，即要證,于是只要證△ABD∽△ABC即可，而題目中分別給出兩圓切線，可產(chǎn)生弦切角定理，從而命題得證。證明:∵AC是⊙O′的切線,輕輕告訴你AD是⊙O的切線，∴∠BAD=∠C，∠BAC=∠D。∴△ABD∽△CBA.∴，即AB2=BC·BD.9如圖2-9,某條河上有一座圓弧形拱橋ACB,橋下水面寬度AB為7.2米,橋的最高點處點C高出水面2.4米?，F(xiàn)有一艘寬3米,船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問這艘貨船能否順利通過這座拱橋？請說明理由。圖2-