數(shù)學(xué)本章整合第二章概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精本章整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一：相互獨(dú)立事件的概率與條件概率【應(yīng)用】某同學(xué)參加科普知識競賽，需回答3個(gè)問題．競賽規(guī)則規(guī)定:答對第一、二、三個(gè)問題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)這名同學(xué)答對第一、二、三個(gè)問題的概率分別為0.8,0。7,0。6，且各題答對與否相互之間沒有影響．(1）求這名同學(xué)得300分的概率;(2)求這名同學(xué)至少得300分的概率．提示：本小題考查概率知識．(1)同學(xué)得300分必是第一、二題一對一錯(cuò)，這樣得100分，而第三題一定答對，所以一共得分是300分．（2)至少300分，意思是得300分或多于300分，而本題包括兩種情況：一種是得300分，另一種是得400分，兩種概率相加即可．解：記“這名同學(xué)答對第i個(gè)問題”為事件Ai（i＝1,2,3），則P(A1)＝0。8，P（A2）＝0。7，P(A3)＝0。6.(1)這名同學(xué)得300分的概率為P1＝P（A1eq\x\to（A2)A3）＋P(eq\x\to（A1）A2A3)＝P(A1)·P(eq\x\to（A2））·P（A3)＋P(eq\x\to(A1）)·P(A2）·P(A3）＝0。8×0.3×0.6＋0。2×0。7×0。6＝0.228.(2)這名同學(xué)至少得300分的概率為P2＝P1＋P(A1A2A3）＝P1＋P(A1)·P(A2)·P(專題二:離散型隨機(jī)變量的分布列求離散型隨機(jī)變量的分布列的關(guān)鍵是解決兩個(gè)問題：一是隨機(jī)變量的可能取值；二是隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．針對于不同的題目，應(yīng)認(rèn)真分析題意,明確隨機(jī)變量,正確計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率．求概率主要有兩種類型：（1）古典概型，利用排列組合知識求解；（2)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即X~B(n,p），由P（X＝k)＝Ceq\o\al（k，n）pk(1－p）n－k計(jì)算．一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率的和,利用這一性質(zhì)可以由概率的分布列求出隨機(jī)變量在所給區(qū)間的概率．【應(yīng)用】如圖是一個(gè)從A→B的“闖關(guān)”游戲．規(guī)則規(guī)定：每過一關(guān)前都要拋擲一個(gè)在各面上分別標(biāo)有1,2，3,4的均勻的正四面體．在過第n（n＝1,2,3)關(guān)時(shí)，需要拋擲n次正四面體,如果這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n，則闖關(guān)成功．(1)求闖第一關(guān)成功的概率;（2）記闖關(guān)成功的關(guān)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列．解：(1)拋一次正四面體,面朝下的數(shù)字有1,2,3,4四種情況,大于2的有兩種情況，故闖第一關(guān)成功的概率為eq\f(1，2）。(2)記事件“拋擲n次正四面體，這n次面朝下的數(shù)字之和大于2n”為事件An，則P(A1)＝eq\f(1,2）,拋擲兩次正四面體面朝下的數(shù)字之和的情況如圖所示，易知P(A2）＝eq\f（10，16）＝eq\f（5，8）。設(shè)拋擲三次正四面體面朝下的數(shù)字依次記為：x，y，z,考慮x＋y＋z＞8的情況,當(dāng)x＝1時(shí)，y＋z＞7有1種情況;當(dāng)x＝2時(shí),y＋z＞6有3種情況；當(dāng)x＝3時(shí),y＋z＞5有6種情況;當(dāng)x＝4時(shí)，y＋z＞4有10種情況．故P（A3)＝eq\f(1＋3＋6＋10,43）＝eq\f(5,16）.由題意知，X的所有可能取值為0，1，2，3.P(X＝0）＝P（eq\x\to(A1))＝eq\f(1，2)，P（X＝1）＝P（A1eq\x\to(A2)）＝eq\f（1，2）×eq\f(3，8）＝eq\f（3，16)，P(X＝2）＝P(A1A2eq\x\to(A3））＝eq\f(1,2)×eq\f(5,8）×eq\f(11，16）＝eq\f(55,256）,P（X＝3）＝P(A1A2A3）＝eq\f(1,2）×eq\f(5,8）×eq\f（5,16）＝eq\f（25,256).所以X的分布列為X0123Peq\f（1，2)eq\f（3，16)eq\f（55，256)eq\f(25,256)專題三：離散型隨機(jī)變量的期望與方差期望和方差都是隨機(jī)變量的重要的數(shù)字特征，方差是建立在期望這一概念之上，它表明了隨機(jī)變量所取的值相對于它的期望的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切,在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活中應(yīng)用廣泛．求離散型隨機(jī)變量X的期望與方差的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值;(2）求X取每個(gè)值的概率或求出P（X＝k）；(3)寫出X的分布列；（4）由分布列和期望的定義求出E（X）；(5)由方差的定義求D(X）．若X～B（n,p），則可直接利用公式求：E(X）＝np，D(X)＝np（1－p)．【應(yīng)用1】設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球,b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．（1）當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任?。ㄓ蟹呕?，且每球取到的機(jī)會均等）2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列；（2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球所得分?jǐn)?shù)．若E（η)＝eq\f（5,3)，D(η)＝eq\f（5，9)，求a∶b∶c.提示：（1）在分析取到兩球的顏色時(shí)，要注意是有放回地抽取，即同一個(gè)球可能兩次都能抽到；(2）根據(jù)計(jì)算數(shù)學(xué)期望與方差的公式計(jì)算，尋找a，b，c之間的關(guān)系．解：（1）由題意得ξ＝2，3，4,5,6。故P(ξ＝2)＝eq\f(3×3,6×6)＝eq\f（1，4），P(ξ＝3）＝eq\f（2×3×2，6×6)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝4）＝eq\f（2×3×1＋2×2，6×6）＝eq\f(5,18），P（ξ＝5)＝eq\f(2×2×1,6×6）＝eq\f(1,9),P（ξ＝6)＝eq\f(1×1，6×6)＝eq\f（1，36)，所以ξ的分布列為ξ23456Peq\f(1，4）eq\f（1,3）eq\f(5，18)eq\f(1,9）eq\f(1，36）(2)由題意知η的分布列為η123Peq\f(a，a＋b＋c)eq\f（b，a＋b＋c)eq\f（c，a＋b＋c）所以E(η）＝eq\f(a，a＋b＋c）＋eq\f(2b，a＋b＋c）＋eq\f（3c，a＋b＋c)＝eq\f（5，3)，D(η）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（5,3)））2·eq\f（a，a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（2－\f(5,3））)2·eq\f(b,a＋b＋c)＋eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（3－\f(5,3）)）2·eq\f（c,a＋b＋c）＝eq\f(5,9）,化簡得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2a－b－4c＝0,,a＋4b－11c＝0。))解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶【應(yīng)用2】投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用;若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審,則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0。5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0。3。各專家獨(dú)立評審．（1）求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(2）記X表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．提示:本題主要考查等可能性事件、互斥事件、獨(dú)立事件、分布列及期望的相關(guān)知識．解：（1)記A表示事件:稿件能通過兩位初審專家的評審；B表示事件：稿件恰能通過一位初審專家的評審；C表示事件：稿件能通過復(fù)審專家的評審；D表示事件：稿件被錄用．則D＝A＋BC，P（A）＝0.5×0.5＝0.25，P（B)＝2×0。5×0。5＝0.5，P(C)＝0。3,P(D)＝P(A＋BC)＝P(A）＋P（BC)＝P(A)＋P(B)P（C）＝0。25＋0.5×0.3＝0.40。（2)X～B(4,0.4）,所以P（X＝0）＝（1－0。4）4＝0.1296,P（X＝1)＝Ceq\o\al（1,4)×0.4×(1－0.4)3＝0。3456,P（X＝2）＝Ceq\o\al（2,4）×0。42×（1－0.4）2＝0.3456，P(X＝3)＝Ceq\o\al（3，4）×0.43×（1－0。4)＝0.1536，P（X＝4)＝0.44＝0。0256。因此X的分布列為X01234P0.12960.34560.34560。15360。0256期望E(X)＝4×0.4＝1.6.專題四：數(shù)學(xué)期望在風(fēng)險(xiǎn)與決策中的應(yīng)用在日常生活中,人們經(jīng)常要面臨“風(fēng)險(xiǎn)”．為了減少風(fēng)險(xiǎn)，我們決策時(shí)必須平衡極大化期望和極小化風(fēng)險(xiǎn)這樣矛盾的要求，還必須在一個(gè)多階段過程的每一階段作出決策．但是始終有一條指導(dǎo)性原則:盡你的最大努力去決定各種結(jié)果在每一階段出現(xiàn)的概率及這些結(jié)果的價(jià)值或效用，計(jì)算每一種行動方案的期望效應(yīng)并斷定給出最大期望效應(yīng)的策略．這也就是說利用隨機(jī)變量的概率分布計(jì)算期望值后，就可以選擇能給出最大期望值的行動．【應(yīng)用】某突發(fā)事件，在不采取任何預(yù)防措施的情況下發(fā)生的概率為0.3,一旦發(fā)生，將造成400萬元的損失，現(xiàn)有甲、乙預(yù)防措施所需的費(fèi)用分別為45萬元和30萬元，采用相應(yīng)預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率為0.9和0.85.若預(yù)防方案允許甲、乙兩種預(yù)防措施單獨(dú)采用，聯(lián)合采用或不采用，請確定預(yù)防方案使總費(fèi)用最少．(總費(fèi)用＝采取預(yù)防措施的費(fèi)用＋發(fā)生突發(fā)事件損失的期望值）解：(1)不采取預(yù)防措施時(shí)，總費(fèi)用損失期望為400×0.3＝120（萬元）；(2)若單獨(dú)采取措施甲,則預(yù)防措施費(fèi)用為45萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1－0.9＝0.1，損失期望值為400×0.1＝40（萬元)，所以總費(fèi)用為45＋40＝85(萬元）；（3）若單獨(dú)采取預(yù)防措施乙，則預(yù)防措施費(fèi)用為30萬元，發(fā)生突發(fā)事件的概率為1