人教版九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典專題24.10正多邊形與圓特訓(xùn)(原卷版+解析)

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.10正多邊形與圓【名師點(diǎn)睛】正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【典例剖析】【例1】（2020秋?六盤水期末）下列圖形的周長均為16．（1）求圖②菱形的面積；（結(jié)果保留根號）（2）求所有圖形中最大的面積與最小的面積之差．（π取3.14，取1.73，結(jié)果精確到0.1）【例2】（2021秋?永城市月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．（2）設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°2．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．33．（2022?石家莊三模）如圖，邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是（）A．6 B． C． D．84．（2022?游仙區(qū)校級二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°5．（2022?青縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M，N分別為邊BC，EF上的動點(diǎn)，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．56．（2022?文登區(qū)一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，連接AC，BE交于點(diǎn)F，則∠CFE的度數(shù)為（）A．108° B．120° C．135° D．144°7．（2022?太原一模）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個8．（2022?安國市一模）2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm，則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm9．（2022?德城區(qū)模擬）已知四個正六邊形如圖擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為4，則小正六邊形的邊長是（）A． B． C． D．10．（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空題（共8小題）11．（2022春?二道區(qū)期末）如圖是一個正多邊形的玻璃碎片，這個正多邊形的邊數(shù)為．12．（2022春?巴中期末）如圖，將邊長相等的正八邊形與正五邊形的一邊重合，并讓正五邊形位于正八邊形內(nèi)部，則∠1＝．13．（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為厘米．14．（2022?營口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝度．15．（2022?陳倉區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的對角線BE為邊，作正方形BEFG，使點(diǎn)A落在正方形BEFG內(nèi)，則∠ABG的度數(shù)為．16．（2022?貴陽模擬）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA，OE分別交于點(diǎn)F，G，M是劣弧FG的中點(diǎn)．若FM＝2，則⊙O的半徑為．17．（2022?綏化三模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，P是弧GH上的任意一點(diǎn)，連接CP，PE，則∠CPE的度數(shù)為．18．（2022?金山區(qū)二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n＝．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，R＝6．求正方形ABCD的邊長和邊心距．20．（2022?安徽二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．21．（2021秋?昌邑區(qū)校級期末）已知，如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為6cm，求這個正六邊形的外接圓半徑R、邊心距r6、面積S6．22．（2021秋?黃岡月考）如圖，正五邊形ABCDE，連接對角線AC，BD，設(shè)AC與BD相交于O．（1）求證：AO＝CD；（2）判斷四邊形AODE的形狀，并說明理由．【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題24.10正多邊形與圓【名師點(diǎn)睛】正多邊形和圓（1）正多邊形與圓的關(guān)系把一個圓分成n（n是大于2的自然數(shù)）等份，依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．（2）正多邊形的有關(guān)概念①中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．②正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．③中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．④邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．【典例剖析】【例1】．（2020秋?六盤水期末）下列圖形的周長均為16．（1）求圖②菱形的面積；（結(jié)果保留根號）（2）求所有圖形中最大的面積與最小的面積之差．（π取3.14，取1.73，結(jié)果精確到0.1）【分析】（1）求出菱形的對角線的長，可得結(jié)論；（2）分別求出等邊三角形，菱形，正方形，正六邊形，圓的面積，可得結(jié)論．【解答】解：（1）如圖，連接AC，BD交于點(diǎn)O．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，由題意AB＝4，OB＝OD＝2，∴OA＝OC＝＝＝2，∴AC＝4，∴S菱形ABCD＝?BD?AC＝××4＝8．（2）等邊三角形的面積＝×（）2≈12.30，菱形的面積＝8≈13.84．正方形的面積＝16．正六邊形的面積＝6××（）2＝18.45．圓的面積＝π?（）2≈20.38，所有圖形中最大的面積與最小的面積之差＝20.38﹣12.30≈8.1【例2】（2021秋?永城市月考）如圖，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形．（1）求證：在六邊形ABCDEF中，過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF．（2）設(shè)⊙O的面積為S1，六邊形ABCDEF的面積為S2，求的值（結(jié)果保留π）．【分析】（1）如圖，連接AE，AD，AC，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到EF＝ED＝CD＝BC，求得＝＝＝，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到結(jié)論；（2）如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，推出△ODE是等邊三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根據(jù)勾股定理得到OG＝＝r，根據(jù)三角形和圓的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，連接AE，AD，AC，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴EF＝ED＝CD＝BC，∴＝＝＝，∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，∴過頂點(diǎn)A的三條對角線四等分∠BAF；（2）解：如圖，過O作OG⊥DE于G，連接OE，設(shè)⊙O的半徑為r，∵∠DOE＝＝60°，OD＝OE＝r，∴△ODE是等邊三角形，∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，∴∠EOG＝30°，∴EG＝r，∴OG＝＝r，∴正六邊形ABCDEF的面積＝6××r×r＝r2，∵⊙O的面積＝πr2，∴＝＝．【滿分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出正三角形、正六邊形每個內(nèi)角的度數(shù)，再求出答案即可．【解答】解：∵正方形的每個內(nèi)角的度數(shù)是90°，正六邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是＝120°，∴∠1＝120°﹣90°＝30°，故選C．2．（2022?雅安）如圖，已知⊙O的周長等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【分析】連接OC，OD，由正六邊形ABCDEF可求出∠COD＝60°，進(jìn)而可求出∠COG＝30°，根據(jù)30°角的銳角三角函數(shù)值即可求出邊心距OG的長．【解答】解：連接OC，OD，∵正六邊形ABCDEF是圓的內(nèi)接多邊形，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，OG⊥CD，∴∠COG＝30°，∵⊙O的周長等于6π，∴OC＝3，∴OG＝3cos30°＝，故選：C．3．（2022?石家莊三模）如圖，邊長相等的正八邊形和正方形部分重疊擺放在一起，已知正方形面積是2，那么非陰影部分面積是（）A．6 B． C． D．8【分析】先將正八邊形可以延長每一邊構(gòu)成一個大正方形，然后用大正方形的面積減去四個等腰直角三角形的面積；在用正八邊形的面積減去小正方形的面積即可．【解答】解：∵正方形面積是2，∴其邊長為：，如圖，將正八邊形的每一條邊延長可得正方形ABCD，∵正八邊形的每個內(nèi)角為180°﹣＝135°，∴∠AEF＝45°，∴△AEF為等腰直角三角形，在Rt△AEF中，AE＝EF?sin45°＝×＝1，∴AB＝+1×2＝+2．∴正八邊形的面積為：S正方形ABCD﹣4S△AEF＝＝，∴非陰影部分面積是S正八邊形﹣S正方形＝﹣2＝2+．故選：C．4．（2022?游仙區(qū)校級二模）如圖，在正六邊形ABCDEF中，M，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，AN與BM相交于點(diǎn)P，則∠APM的度數(shù)是（）A．110° B．120° C．118° D．122°【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD，BN＝CM，利用全等三角形的判定與性質(zhì)可得∠BNP＝∠CMB，然后利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC＝∠BCD＝＝120°，AB＝BC＝CD，∵M(jìn)，N分別為邊CD，BC的中點(diǎn)，∴BN＝CM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴∠BNP＝∠CMB，∵∠CBM＝∠PBN，∴∠BPN＝∠BCD＝120°，∴∠APM＝120°，故選：B．5．（2022?青縣二模）如圖，正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)M，N分別為邊BC，EF上的動點(diǎn)，則＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】連接AD，作FP⊥AD于點(diǎn)P，EQ⊥AD于點(diǎn)Q，由正六邊形的性質(zhì)可得∠EAP＝60°，設(shè)各邊長為a，則AF＝a，然后利用勾股定理及面積公式可得答案．【解答】解：連接AD，作FP⊥AD于點(diǎn)P，EQ⊥AD于點(diǎn)Q，∵正六邊形各內(nèi)角為120°，∴∠EAP＝60°，設(shè)各邊長為a，則AF＝a，∴AP＝QD＝a，∴AD＝2a，F(xiàn)P＝＝＝a，∴S四邊形AMDN＝AD?FP＝2a×a＝a2，S正六邊形＝a2，∴S陰影＝S正六邊形﹣S四邊形AMDN＝a2﹣＝a2，∴＝＝2，故選：A．6．（2022?文登區(qū)一模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于圓，連接AC，BE交于點(diǎn)F，則∠CFE的度數(shù)為（）A．108° B．120° C．135° D．144°【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角公式求出∠ABC，再由等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理可得答案．【解答】解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠ABC＝×（5﹣2）×180°＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠ABF＝36°，∴∠CFE＝∠AFB＝180°﹣∠ABF﹣∠BAF＝180°﹣36°﹣36°＝108°，故選：A．7．（2022?太原一模）如圖，用若干個全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個數(shù)是（）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個【分析】先求出多邊形的每一個內(nèi)角為108°，可得到∠O＝36°，即可求解．【解答】解：∵多邊形是正五邊形，∴正五邊形的每一個內(nèi)角為：＝108°，∴∠O＝180°﹣（180°﹣108°）×2＝36°，∴正五邊形的個數(shù)是360°÷36°＝10．故選：D．8．（2022?安國市一模）2019年版一元硬幣的直徑約為22.25mm，則用它能完全覆蓋住的正方形的邊長最大不能超過（）A．11.125mm B．22.25mm C．mm D．mm【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)得到△AOD為等腰直角三角形，根據(jù)正方形和圓的關(guān)系得到AC的長度，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD的長度．【解答】解：如圖所示，∵AC＝BD＝22.25mm，∴AO＝OD＝＝mm．∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，∴△AOD為等腰直角三角形，∴AD＝AO＝mm．故選：C．9．（2022?德城區(qū)模擬）已知四個正六邊形如圖擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個大正六邊形的邊長均為4，則小正六邊形的邊長是（）A． B． C． D．【分析】在邊長為4的大正六邊形中，根據(jù)正六邊形和圓的性質(zhì)可求出ON和半徑OD，進(jìn)而得出小正六邊形對應(yīng)點(diǎn)的距離MF，再根據(jù)正六邊形的性質(zhì)求出半徑GF，即邊長FH即可．【解答】解：連接AD交PM于O，則點(diǎn)O是圓心，過點(diǎn)O作ON⊥DE于N，連接MF，取MF的中點(diǎn)G，連接GH，GQ，由對稱性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝2，由正六邊形的性質(zhì)可得ON＝4，∴OD＝＝2＝OF，∴MF＝2﹣2，由正六邊形的性質(zhì)可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，∴FH＝MF＝﹣1，故選：B．10．（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如圖，連接AC，EC．證明△ABC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖，連接AC，EC．∵ABCDEF是正六邊形，∴△ACE是等邊三角形，∵AB＝4，∴AC＝CE＝AE＝4，∵AG＝GE＝2，∴CG⊥AE，∴CG＝＝＝6，故選：B．二．填空題（共8小題）11．（2022春?二道區(qū)期末）如圖是一個正多邊形的玻璃碎片，這個正多邊形的邊數(shù)為5．【分析】補(bǔ)全面圖形，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，這個多邊形是正五邊形．故答案為：5．12．（2022春?巴中期末）如圖，將邊長相等的正八邊形與正五邊形的一邊重合，并讓正五邊形位于正八邊形內(nèi)部，則∠1＝76.5°．【分析】利用正多邊形的性質(zhì)求出∠ABC，∠DBC，再求出∠ABD，可以利用等腰三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖，由題意，∠ABC＝＝135°，∠DBC＝＝108°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝27°，∵BA＝BD，∴∠1＝∠BAD＝（180°﹣27°）＝76.5°，故答案為：76.5°．13．（2022?長春）跳棋是一項傳統(tǒng)的智力游戲．如圖是一副跳棋棋盤的示意圖，它可以看作是由全等的等邊三角形ABC和等邊三角形DEF組合而成，它們重疊部分的圖形為正六邊形．若AB＝27厘米，則這個正六邊形的周長為54厘米．【分析】根據(jù)對稱性和周長公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：由圖象的對稱性可得，AM＝MN＝BN＝AB＝9（厘米），∴正六邊形的周長為9×6＝54（厘米），故答案為：54．14．（2022?營口）如圖，在正六邊形ABCDEF中，連接AC，CF，則∠ACF＝30度．【分析】設(shè)正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角為120°，在△ABC中，根據(jù)等腰三角形兩底角相等得到∠BAC＝30°，從而∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出BM，根據(jù)勾股定理求出AM，進(jìn)而得到AC的長，根據(jù)tan∠ACF＝＝＝即可得出∠ACF＝30°．【解答】解：設(shè)正六邊形的邊長為1，正六邊形的每個內(nèi)角＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠BAC＝∠BCA＝×（180°﹣120°）＝30°，∵∠BAF＝120°，∴∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝120°﹣30°＝90°，如圖，過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，則AM＝CM（等腰三角形三線合一），∵∠BMA＝90°，∠BAM＝30°，∴BM＝AB＝，∴AM＝＝＝，∴AC＝2AM＝，∵tan∠ACF＝＝＝，∴∠ACF＝30°，故答案為：30．15．（2022?陳倉區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的對角線BE為邊，作正方形BEFG，使點(diǎn)A落在正方形BEFG內(nèi)，則∠ABG的度數(shù)為54°．【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)可求出角A的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形以及三角形的內(nèi)角和可求出∠ABE，再根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠ABG即可．【解答】解：∵正五邊形ABCDE，∴∠BAE＝＝108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝36°，又∵四邊形BEFG是正方形，∴∠EBG＝90°，∴∠ABG＝90°﹣36°＝54°，故答案為：54°．16．（2022?貴陽模擬）如圖，⊙O與正六邊形OABCDE的邊OA，OE分別交于點(diǎn)F，G，M是劣弧FG的中點(diǎn)．若FM＝2，則⊙O的半徑為2．【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)以及圓周角定理可得出四邊形OFMG是菱形，進(jìn)而得到半徑．【解答】解：如圖，連接OM，∵六邊形OABCDE是正六邊形，∴∠AOE＝＝120°，∵M(jìn)是劣弧FG的中點(diǎn)．∴∠AOM＝∠EOM＝∠AOB＝60°，又∵OF＝OG＝OM，∴四邊形OEMG是菱形，∴OE＝MF＝2，即⊙O的半徑為2，故答案為：2．17．（2022?綏化三模）如圖，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，P是弧GH上的任意一點(diǎn)，連接CP，PE，則∠CPE的度數(shù)為45°．【分析】連接OD、OC、OE，根據(jù)正多邊形和圓的知識求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出∠CPE的度數(shù)．【解答】解：連接OD、OC、OE，如圖所示：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠COD＝∠DOE＝＝45°，∴∠COE＝45°+45°＝90°，∴∠CPE＝∠COE＝45°．故答案為：45°．18．（2022?金山區(qū)二模）如圖，如果AB、AC分別是圓O的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊，BC一定是圓O的內(nèi)接正n邊形的一條邊，那么n＝12．【分析】連接OA、OB、OC，如圖，利用正多邊形與圓，分別計算⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的中心角得到∠AOB＝90°，∠AOC＝120°，則∠BOC＝30°，即可得到n的值．【解答】解：連接OA、OB、OC，如圖，∵AB，AC分別為⊙O的內(nèi)接正四邊形與內(nèi)接正三角形的一邊，∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝120°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝30°，∴n＝＝12，即BC恰好是同圓內(nèi)接一個正十二邊形的一邊．故答案為：12．三．解答題（共4小題）19．（2021秋?日喀則市月考）如圖，正方形ABCD是半徑為R的⊙O內(nèi)接四邊形，R＝6．求正方形ABCD的邊長和邊心距．【分析】過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．解直角三角形求出BC，OE即可．【解答】解：過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E．∵四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接正方形，∴∠BOC＝＝90°，∠OBC＝45°，OB＝6，∴BE＝OE．在Rt△OBE中，∠BEO＝90°，由勾股定理可得OE＝BE＝，∴BC＝2BE＝．即半徑為6的圓內(nèi)接正方形ABCD的邊長為，邊心距為．20．（2022?安徽二模）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，E是的中點(diǎn)，連接AE，DE，CE．（1）求證：AE＝DE；（2）若CE＝1，求四邊形AECD的面積．【分析】（1）欲證明AE＝DE，只要證明＝．（2）連接BD，過點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長線于F．證明△ADE≌△CDF（AAS），推出AE＝CF，推出S△ADE＝S△CDF，推出S四邊形AECD＝S△DEF，再利用等腰三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求出DE，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴＝，∵E是的中點(diǎn)，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AE＝DE．（2）解：連接BD，AO，過點(diǎn)D作DF⊥DE交EC的延長線于F．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，∵∠EDF＝90°，∴∠F＝∠EDF﹣∠DEF＝90°﹣45°＝45°，∴DE＝DF，∵∠AED＝∠AOD＝45°，∴∠AED＝∠F＝45°，∵∠ADC＝∠EDF