蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步精講精練2.6正多邊形與圓(八大題型)(原卷版+解析)

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.6正多邊形與圓知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的相關(guān)概念1、正多邊形的概念：名稱定義正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的外接圓一般地，用量角器把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多形的外接圓.中心正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.邊心距內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.中心角正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.◆2、正多邊形的判定：一個(gè)多邊形必須同時(shí)滿足各邊相等，各角也相等才能判定其是正多邊形，兩個(gè)條件缺一不可，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各邊不一定相等，因此它們不是正多邊形.◆3、正多邊形的對(duì)稱性：正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的有關(guān)計(jì)算名稱公式內(nèi)角(n?2)中心角360外角360正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距rR周長CC=na面積SS=12ar·n=12知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三正多邊形的畫法◆1、正多邊形的畫法：把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.◆2、等分圓周的方法：（1）用量角器畫一個(gè)等于360°n的圓心角，它對(duì)著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，得到圓的n（2）順次連接各等分點(diǎn).題型一正多邊的相關(guān)概念題型一正多邊的相關(guān)概念【例題1】下列命題正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．正多邊形一定是中心對(duì)稱圖形 C．各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑解題技巧提煉根據(jù)正多邊形的相關(guān)概念進(jìn)行判斷即可，正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形.【變式1-1】下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．正多邊形的外接圓的圓心，就是它的中心 B．正多邊形的外接圓的半徑，就是它的半徑 C．正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，就是它的邊心距 D．正多邊形的外接圓的圓心角，就是它的中心角【變式1-2】下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為720° C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓 D．不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【變式1-3】以下說法正確的是（）A．每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形 B．正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù) C．正n邊形的對(duì)稱軸不一定有n條 D．正多邊形一定既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形【變式1-4】正多邊形的一邊所對(duì)的中心角與它的一個(gè)外角的關(guān)系是A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互余或互補(bǔ)題型二正多邊形與圓中求角度題型二正多邊形與圓中求角度【例題2】一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于30°，那么這個(gè)正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對(duì)的圓心角為（）A．15° B．60° C．45° D．30°解題技巧提煉1、正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=(n?2)·2、正多邊形的中心角=3603、正多邊形的每個(gè)外角=360【變式2-1】（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【變式2-2】（2023?太原二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F是DE上的動(dòng)點(diǎn)，則∠AFC的度數(shù)為（）A．60° B．72° C．144° D．隨著點(diǎn)F的變化而變化【變式2-3】（2023?荷塘區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A為圓心作⊙A分別與邊AE、AB交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P是劣弧FG上一點(diǎn)，連接PF、PG，則∠FPG的度數(shù)為（）?A．116° B．120° C．124° D．126°【變式2-4】（2022春?株洲期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【變式2-5】（2023?山西模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線與AF的延長線相交于點(diǎn)G．（1）試判斷AC與DG的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求∠G的度數(shù)．題型三正多邊形與圓中求線段長題型三正多邊形與圓中求線段長【例題3】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．5解題技巧提煉主要考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握它們的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A．3 B．6 C．3 D．23【變式3-2】（2023?玉屏縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（）A．2 B．4 C．4.5 D．5【變式3-3】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，則正方形ABCD的邊長為（）A．7 B．52 C．10 D．【變式3-4】（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【變式3-5】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．題型四正多邊形與圓中求半徑題型四正多邊形與圓中求半徑【例題4】（2022秋?靈寶市期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于⊙O，則⊙O的半徑是（）A．2 B．2 C．22 D．4解題技巧提煉正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r,根據(jù)勾股定理得到它們之間的關(guān)系式：R2=r【變式4-1】（2023?武功縣模擬）如果一個(gè)正六邊形的邊長等于2cm，那么這個(gè)正六邊形的半徑等于cm．【變式4-2】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學(xué)，多邊形在生活中的應(yīng)用更是不勝枚舉．如圖是一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則這個(gè)正六邊形的半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2cm，23cm B．4cm，43cm C．4cm，23【變式4-3】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD＝52，求⊙O的半徑．題型五正多邊形與圓中求周長題型五正多邊形與圓中求周長【例題5】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于33，則⊙O的周長等于解題技巧提煉正多邊形的周長公式：C=na，圓的周長公式C=2πr,根據(jù)正多邊的性質(zhì)求解即可.【變式5-1】（2022秋?同心縣期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長為2cm，則正六形ABCDEF的周長為cm．【變式5-2】（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為3，則它的周長＝．【變式5-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．題型六正多邊形與圓中求面積題型六正多邊形與圓中求面積【例題6】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是23，則該六邊形的面積是解題技巧提煉正多邊形中求面積用到面積公式S=12ar·n=12Cr【變式6-1】（2023?張家口四模）如圖，點(diǎn)O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對(duì)角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則△GEF的面積為（）A．23 B．33 C．833 【變式6-2】圓內(nèi)接正方形的面積為a，則圓的面積為（）A．πa2 B．2πa C．πa22 【變式6-3】（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）?A．π B．2π C．24 D．題型七正多邊形與圓中的證明題型七正多邊形與圓中的證明【例題7】（2022秋?定西期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝解題技巧提煉本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握?qǐng)A心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?贛州期中）如圖，點(diǎn)M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC，CD上，BM＝CN，連接AM，BN相交于H．（1）求證：△ABM≌△BCN；（2）求∠AHB的度數(shù)．【變式7-2】（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點(diǎn)E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點(diǎn)C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點(diǎn)C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．【變式7-3】（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點(diǎn)E．（1）求證：PA＝PD；（2）當(dāng)AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：AE=題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題【例題8】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)，BM＝CN，BN、AM相交于點(diǎn)Q，求∠BQM的度數(shù)；（2）當(dāng)（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增加，分別變?yōu)檎叫蜛BCD（如圖2）、正五邊形ABCDE（如圖3）、正六邊形ABCDEF（如圖4）…，“點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)”變?yōu)辄c(diǎn)N是CD上一點(diǎn)，其余條件不變，分別確定∠BQM的度數(shù)，并直接將結(jié)論填入下表：正多邊形正方形正五邊形正六邊形…正n邊形∠BQM的度數(shù)…解題技巧提煉本題考查正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-1】如圖所示，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．（1）求圖①中∠APB的度數(shù)；（2）圖②中∠APB的度數(shù)是，圖③中∠APB的度數(shù)是；（3）若推廣到一般的正n邊形情況，請(qǐng)寫出∠APB的度數(shù)是．【變式8-2】已知點(diǎn)P，Q分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，正方形ABCD，正五邊形ABCDE……正n邊形ABCDE…的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BP＝CQ，連接OP，OQ．（1）求圖1中∠POQ的度數(shù)；（2）圖2中∠POQ的度數(shù)是，圖3中∠POQ的度數(shù)是；（3）試探究∠POQ的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系．（直接寫出答案）

（蘇科版）九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《第2章對(duì)稱圖形---圓》2.6正多邊形與圓知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一正多邊形的相關(guān)概念1、正多邊形的概念：名稱定義正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.正多邊形的外接圓一般地，用量角器把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多形的外接圓.中心正多變形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為正多邊形的中心.半徑外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.邊心距內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.中心角正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓.◆2、正多邊形的判定：一個(gè)多邊形必須同時(shí)滿足各邊相等，各角也相等才能判定其是正多邊形，兩個(gè)條件缺一不可，如菱形的各邊相等，但各角不一定相等，矩形的各角相等，但各邊不一定相等，因此它們不是正多邊形.◆3、正多邊形的對(duì)稱性：正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心.知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)二正多邊形的有關(guān)計(jì)算名稱公式內(nèi)角(n?2)中心角360外角360正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距rR周長CC=na面積SS=12ar·n=12知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三正多邊形的畫法◆1、正多邊形的畫法：把一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形.◆2、等分圓周的方法：（1）用量角器畫一個(gè)等于360°n的圓心角，它對(duì)著一段弧，然后在圓上依次截取與這條弧相等的弧，得到圓的n（2）順次連接各等分點(diǎn).題型一正多邊的相關(guān)概念題型一正多邊的相關(guān)概念【例題1】下列命題正確的是（）A．各邊相等的多邊形是正多邊形 B．正多邊形一定是中心對(duì)稱圖形 C．各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形 D．正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑【分析】根據(jù)正多邊的定義對(duì)A進(jìn)行判斷；根據(jù)正多邊的性質(zhì)對(duì)B進(jìn)行判斷；利用矩形對(duì)C進(jìn)行判斷；根據(jù)正多邊形的半徑對(duì)D進(jìn)行判斷．【解答】解：A、各邊相等，各內(nèi)角相等的多邊形是正多邊形，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、當(dāng)正多邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)，它一定是中心對(duì)稱，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、各角相等的圓內(nèi)接多邊形不一定是正多邊形，若圓的內(nèi)接矩形，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、正多邊形外接圓的半徑是正多邊形的半徑，所以D選項(xiàng)正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．解題技巧提煉根據(jù)正多邊形的相關(guān)概念進(jìn)行判斷即可，正n邊形（n≥3，n為整數(shù)）都是軸對(duì)稱圖形，都有n條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸都交于一點(diǎn)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正n邊形為中心對(duì)稱圖形.【變式1-1】下列說法中，錯(cuò)誤的是（）A．正多邊形的外接圓的圓心，就是它的中心 B．正多邊形的外接圓的半徑，就是它的半徑 C．正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，就是它的邊心距 D．正多邊形的外接圓的圓心角，就是它的中心角【分析】根據(jù)正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、正多邊形的外接圓的圓心，就是它的中心，說法正確，不合題意；B、正多邊形的外接圓的半徑，就是它的半徑，說法正確，不合題意；C、正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，就是它的邊心距，說法正確，不合題意；D、正多邊形的外接圓的圓心角，就是它的中心角，說法錯(cuò)誤，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，掌握正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】下列關(guān)于正多邊形的敘述，正確的是（）A．正九邊形既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 B．存在一個(gè)正多邊形，它的外角和為720° C．任何正多邊形都有一個(gè)外接圓 D．不存在每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍的正多邊形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義可判斷選項(xiàng)A，把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可判斷選項(xiàng)B，多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)）；根據(jù)正多邊形與圓的關(guān)系可判斷選項(xiàng)C；根據(jù)多邊形的內(nèi)角與外角可判斷選項(xiàng)D．【解答】解：A．正九邊形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．任意多邊形的外角和為360°，故本選項(xiàng)不合題意；C．任何正多邊形都有且只有一個(gè)外接圓，故本選項(xiàng)符合題意；D．正三角形的每個(gè)外角都是對(duì)應(yīng)每個(gè)內(nèi)角兩倍，故本選項(xiàng)不合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了中心對(duì)稱圖形，軸對(duì)稱圖形以及多邊形內(nèi)角與外角，熟記相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-3】以下說法正確的是（）A．每個(gè)內(nèi)角都是120°的六邊形一定是正六邊形 B．正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù) C．正n邊形的對(duì)稱軸不一定有n條 D．正多邊形一定既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形【分析】正多邊形各邊相等，各角相等，正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形有n條對(duì)稱軸；正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)才既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．【解答】解：A、因?yàn)槊總€(gè)角都是120°的六邊形可以是空間六邊形；B、正n邊形的每一個(gè)外角度數(shù)等于它的中心角度數(shù)，故B選項(xiàng)正確；C、正n邊形的對(duì)稱軸一定有n條，故C不符合題意；D、當(dāng)正n邊形的邊數(shù)為偶數(shù)時(shí)才既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故C選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正n邊形的相關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟記正n邊形的性質(zhì)．【變式1-4】正多邊形的一邊所對(duì)的中心角與它的一個(gè)外角的關(guān)系是A．相等 B．互余 C．互補(bǔ) D．互余或互補(bǔ)【分析】可設(shè)正多邊形是正n邊形，則它的一邊所對(duì)的中心角是360°n，進(jìn)而由多邊形外角和為360°，用含【解答】解：設(shè)正多邊形是正n邊形，則它的一邊所對(duì)的中心角是360°正多邊形的外角和是360°，則每個(gè)外角也是360°所以正多邊形的一邊所對(duì)的中心角與它的一個(gè)外角相等．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查多邊形的外角和定理與正多邊形的性質(zhì)：每邊所對(duì)的中心角相等．題型二正多邊形與圓中求角度題型二正多邊形與圓中求角度【例題2】一個(gè)正多邊形的每個(gè)外角都等于30°，那么這個(gè)正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對(duì)的圓心角為（）A．15° B．60° C．45° D．30°【分析】根據(jù)多邊形的外角和為360°，又由正多邊形的每一個(gè)外角都相等，求出多邊形的邊數(shù)，根據(jù)圓心角為360°，即可解答．【解答】解：正多邊形的邊數(shù)為：360÷30＝12，這個(gè)正多邊形的外接圓中，它的一條邊所對(duì)的圓心角為：360°÷12＝30°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，解決本題的關(guān)鍵是熟記多邊形的內(nèi)角與外角．解題技巧提煉1、正多邊形的每個(gè)內(nèi)角=(n?2)·2、正多邊形的中心角=3603、正多邊形的每個(gè)外角=360【變式2-1】（2022春?新昌縣期末）如圖，在同一平面內(nèi)，將邊長相等的正六邊形、正方形的一邊重合，則∠1的度數(shù)為（）A．18° B．25° C．30° D．45°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出正三角形、正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再求出答案即可．【解答】解：∵正方形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是90°，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是(6?2)×180°6∴∠1＝120°﹣90°＝30°，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，多邊形的內(nèi)角和外角等知識(shí)點(diǎn)，能分別求出正三角形、正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是解此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023?太原二模）如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)F是DE上的動(dòng)點(diǎn)，則∠AFC的度數(shù)為（）A．60° B．72° C．144° D．隨著點(diǎn)F的變化而變化【分析】求出正五邊形的中心角的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理進(jìn)行計(jì)算即可，【解答】解：如圖，連接OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形，∴∠AOB＝∠BOC=360°∴∠AOC＝72°+72°＝144°，∴∠AFC=12∠故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理，正多邊形與圓，求出正五邊形的中心角的度數(shù)，掌握?qǐng)A周角定理是正確解答的前提．【變式2-3】（2023?荷塘區(qū)二模）如圖，以正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A為圓心作⊙A分別與邊AE、AB交于點(diǎn)F、G，點(diǎn)P是劣弧FG上一點(diǎn)，連接PF、PG，則∠FPG的度數(shù)為（）?A．116° B．120° C．124° D．126°【分析】根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式得到正五邊形的內(nèi)角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，求得∠A＝108°，在⊙A上取一點(diǎn)M，連接FM、GM，根據(jù)圓周角定理得到∠FMG=12【解答】解：∵正五邊形的內(nèi)角＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，∴∠A＝108°，在⊙A上取一點(diǎn)M，連接FM、GM，∴∠FMG=12∴∠P＝180°﹣∠FMG＝126°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】（2022春?株洲期末）如圖，正五邊形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的內(nèi)接多邊形，則∠BOM的度數(shù)是（）A．36° B．45° C．48° D．60°【分析】如圖，連接AO．利用正多邊形的性質(zhì)求出∠AOM，∠AOB，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，連接AO．∵△AMN是等邊三角形，∴∠ANM＝60°，∴∠AOM＝2∠ANM＝120°，∵ABCDE是正五邊形，∴∠AOB=360°∴∠BOM＝120°﹣72°＝48°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．【變式2-5】（2023?山西模擬）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線與AF的延長線相交于點(diǎn)G．（1）試判斷AC與DG的位置關(guān)系，并說明理由．（2）求∠G的度數(shù)．【分析】（1）如圖，連接OD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOD＝90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DG，∠ODG＝90°，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ADC＝90°，DA＝DC，求得∠CAD＝45°．根據(jù)平行線的自己看得到結(jié)論．【解答】解：（1）AC∥DG，理由：連接OD，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴∠AOD＝90°，∵DG與⊙O相切于點(diǎn)D，∴∠ODG＝90°，∴∠AOD＝∠ODG，∴AC∥DG；（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，DA＝DC，∴∠CAD＝45°．∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF=∴∠CAF＝∠FAD＝22.5°，∵AC∥DG，∴∠G＝∠CAF＝22.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型三正多邊形與圓中求線段長題型三正多邊形與圓中求線段長【例題3】（2022秋?天河區(qū)校級(jí)期末）已知圓內(nèi)接正六邊形的半徑為2，則該內(nèi)接正六邊形的邊心距為（）A．1 B．2 C．3 D．5【分析】構(gòu)建直角三角形，利用直角三角形的邊角關(guān)系即可求出．【解答】解：連接OA，作OM⊥AB，則∠AOM＝30°，OA＝2，∴AM＝1，根據(jù)勾股定理可得OM=O∴正六邊形的邊心距是3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓、勾股定理，正確掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．解題技巧提煉主要考查了正多邊形和圓，正六邊形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確掌握它們的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022?成都）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，若⊙O的周長等于6π，則正六邊形的邊長為（）A．3 B．6 C．3 D．23【分析】連接OB、OC，根據(jù)⊙O的周長等于6π，可得⊙O的半徑OB＝OC＝3，而六邊形ABCDEF是正六邊形，即知∠BOC=360°6=【解答】解：連接OB、OC，如圖：∵⊙O的周長等于6π，∴⊙O的半徑OB＝OC=6π∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOC=360°∴△BOC是等邊三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六邊形的邊長為3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形中心角等于60°，從而得到△BOC是等邊三角形．【變式3-2】（2023?玉屏縣模擬）如圖，正六邊形ABCDEF的頂點(diǎn)A，F(xiàn)分別在正方形BMGH的邊BH，GH上．若正方形的邊長為6，則正六邊形的邊長為（）A．2 B．4 C．4.5 D．5【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)和直角三角形中，30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半可以求得AF的長．【解答】解：設(shè)AF＝x，則AB＝x，AH＝6﹣x，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BAF＝120°，∴∠HAF＝60°，∵∠AHF＝90°，∴∠AFH＝30°，∴AF＝2AH，∴x＝2（6﹣x），解得x＝4，∴AB＝4，即正六邊形ABCDEF的邊長為4，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-3】如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，連接BE，若∠CBE＝15°，BE＝5，則正方形ABCD的邊長為（）A．7 B．52 C．10 D．【分析】連接OA，OB，OE，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得到OA＝OB＝OE，∠AOB＝90°，AB＝BC，∠ABC＝90°，進(jìn)而證得△OBE是等邊三角形，得到OB＝BE＝5，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得到BC．【解答】解：連接OA，OB，OE，∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴OA＝OB＝OE，∠AOB=360°4=90°，AB＝BC∴∠OAB＝∠OBA=12（180°﹣∠∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝45°，∵∠CBE＝15°，∴∠OBE＝∠OBC+∠CBE＝60°，∴△OBE是等邊三角形，∴OB＝BE＝5，∴OA＝5，∴AB=OA2∴正方形ABCD的邊長為52．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，證得△OBE是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵．【變式3-4】（2022?邯鄲模擬）如圖，在正六邊形ABCDEF中，點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，若AB＝4，則CG的長為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】如圖，連接AC，EC．證明△ABC是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖，連接AC，EC．∵ABCDEF是正六邊形，∴△ACE是等邊三角形，∵AB＝4，∴AC＝CE＝AE＝43，∵AG＝GE＝23，∴CG⊥AE，∴CG=A故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型．【變式3-5】如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求證：△ABC是等邊三角形．（2）若⊙O的半徑為2，求等邊△ABC的邊心距．【分析】（1）利用圓周角定理可得∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，而∠APC＝∠CPB＝60°，所以∠BAC＝∠ABC＝60°，從而可判斷△ABC的形狀；（2）過O作OD⊥BC于D，連接OB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：在⊙O中，∵∠BAC與∠CPB是BC對(duì)的圓周角，∠ABC與∠APC是AC所對(duì)的圓周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）過O作OD⊥BC于D，連接OB，則∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等邊△ABC的邊心距為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，圓周角定理、等邊三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線，證明△ABC是等邊三角形是關(guān)鍵．題型四正多邊形與圓中求半徑題型四正多邊形與圓中求半徑【例題4】（2022秋?靈寶市期末）邊長為4的正方形內(nèi)接于⊙O，則⊙O的半徑是（）A．2 B．2 C．22 D．4【分析】連接OB，CO，在Rt△BOC中，根據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：連接OB，OC，則OC＝OB，∠BOC=360°在Rt△BOC中，OB2+OC2＝BC2，∵BC＝4，∴OC＝OB=22∴⊙O的半徑是22故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正多邊形和圓，本題需仔細(xì)分析圖形，利用勾股定理即可解決問題．解題技巧提煉正n邊形的邊長a，半徑R，邊心距r,根據(jù)勾股定理得到它們之間的關(guān)系式：R2=r【變式4-1】（2023?武功縣模擬）如果一個(gè)正六邊形的邊長等于2cm，那么這個(gè)正六邊形的半徑等于cm．【分析】根據(jù)其性質(zhì)可知其相鄰兩條半徑與所夾邊組成的三角形為等邊三角形，即可求出答案．【解答】解：如圖，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可知∠OAB=∠OBA=1∴△AOB為等邊三角形，∴AO＝BO＝AB＝2cm，即正六邊形的外接圓半徑為2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正六邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定．熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-2】（2023?武威一模）生活中處處有數(shù)學(xué)，多邊形在生活中的應(yīng)用更是不勝枚舉．如圖是一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則這個(gè)正六邊形的半徑R和扳手的開口a的值分別是（）A．2cm，23cm B．4cm，43cm C．4cm，23【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，邊長等于半徑R，可得R＝4cm，連接AC，作BD⊥AC于D；根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)求出∠ABC的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，由特殊角的三角函數(shù)值求出AD的長，進(jìn)而可求出AC的長．【解答】解：依題意一個(gè)正六邊形的螺帽，它的邊長是4cm，則R＝4cm，連接AC，過B作BD⊥AC于D；∵AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴AD＝CD；∵此多邊形為正六邊形，∴∠ABC=180°×4∴∠ABD=120°∴∠BAD＝30°，AD＝4×32=∴a＝2AD＝43cm．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題比較簡單，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)等腰三角形及正六邊形的性質(zhì)求解．【變式4-3】如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的內(nèi)接正十二邊形的一邊，CD＝52，求⊙O的半徑．【分析】首先連接OA、OD、OC，由等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，CD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，可求得∠AOC，∠AOD的度數(shù)，繼而證得△COD是等腰直角三角形，繼而求得答案．【解答】解：連接OB、OD、OC，如圖所示：∵等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，CD為內(nèi)接正十二邊形的一邊，∴∠AOC=13×360°＝120°，∠∴∠COD＝∠AOC﹣∠BAD＝90°，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝OD=22CD即⊙O的半徑為5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正多邊形與圓、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，證明三角形是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．題型五正多邊形與圓中求周長題型五正多邊形與圓中求周長【例題5】（2023?雁塔區(qū)校級(jí)四模）如圖，已知圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG等于33，則⊙O的周長等于【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正六邊形的邊心距與半徑的關(guān)系，求出圓的半徑，再由圓的周長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：如圖，連接OC，∵圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG，∴∠COG=360°在Rt△COG中，∵sin∠COG=OG∴OC==3＝6，∴⊙O的周長為2×π×6＝12π．故答案為：12π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，掌握?qǐng)A內(nèi)接正六邊形的邊心距與半徑的關(guān)系是正確解答的前提，求出圓的半徑是正確解答的關(guān)鍵．解題技巧提煉正多邊形的周長公式：C=na，圓的周長公式C=2πr,根據(jù)正多邊的性質(zhì)求解即可.【變式5-1】（2022秋?同心縣期末）如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，連接OC、OD，若OC長為2cm，則正六形ABCDEF的周長為cm．【分析】證明△COD是等邊三角形，求出CD＝2cm，可得結(jié)論．【解答】解：∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，∴∠COD＝60°，∵OC＝OD，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OC＝2cm，∴正六邊形ABCDEF的周長為12cm．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是判斷出△COD是等邊三角形．【變式5-2】（2023?蘇州模擬）已知正六邊形的半徑為3，則它的周長＝．【分析】根據(jù)正六邊形的半徑等于邊長進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵正六邊形的半徑等于邊長，∴正六邊形的邊長3，正六邊形的周長l＝6a＝63，故答案為：63．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟知正六邊形的邊長等于半徑．【變式5-3】（2022秋?鎮(zhèn)江期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝6，AC是⊙O的弦，∠BAC＝30°，延長AB到D，連接CD，AC＝CD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形的周長等于．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理計(jì)算出∠OCD＝90°即可；（2）得出以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，再求出BC的長即可．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝30°，∵AC＝CCD，∴∠OAC＝∠ODC＝30°，∴∠OCD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，即OC⊥CD，又∵OC是半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：∵∠BOC＝60°，∴以BC為邊的圓內(nèi)接正多邊形是圓內(nèi)接正六邊形，∴BC=12∴以BC為邊的圓內(nèi)接正六邊形的周長為3×6＝18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的判定，圓內(nèi)接正六邊形的性質(zhì)，掌握切線的判定方法是正確解答的前提．題型六正多邊形與圓中求面積題型六正多邊形與圓中求面積【例題6】（2022秋?香坊區(qū)校級(jí)月考）若圓的內(nèi)接正六邊形的邊心距是23，則該六邊形的面積是【分析】根據(jù)正六邊形的特點(diǎn)，通過中心作邊的垂線，連接半徑，結(jié)合解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決．【解答】解：如圖，連接OA、OB，過點(diǎn)O作OG⊥AB于點(diǎn)G．在Rt△AOG中，OG＝23，∠AOG＝30°，∵OG＝OA?cos30°，∴OA=OG∴這個(gè)正六邊形的面積為6×12×4×23故答案為：243．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查正多邊形的計(jì)算問題，根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)正多邊形的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義解答即可．解題技巧提煉正多邊形中求面積用到面積公式S=12ar·n=12Cr【變式6-1】（2023?張家口四模）如圖，點(diǎn)O是邊長為4的正六邊形ABCDEF的中心，對(duì)角線CE，DF相交于點(diǎn)G，則△GEF的面積為（）A．23 B．33 C．833 【分析】根據(jù)ABCDEF是邊長為4的正六邊形，可得CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，所以∠FEG＝90°，然后利用含30度角的直角三角形可得EG的長，進(jìn)而可以解決問題．【解答】解：∵ABCDEF是邊長為4的正六邊形，∴CD＝DE＝DF，∠CDE＝∠DEF＝120°，∴∠CED＝∠ECD＝∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠FEG＝90°，∵EF＝4，∴EG=33EF∴△GEF的面積=12×EF?GE=故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的性質(zhì)．【變式6-2】圓內(nèi)接正方形的面積為a，則圓的面積為（）A．πa2 B．2πa C．πa22 【分析】經(jīng)過圓心O作圓的內(nèi)接正方形的一邊AB的垂線OC，垂足是C，連接OA，則在Rt△OAC中，∠O=180°n，OC是邊心距r，OA即半徑R．AB＝2AC＝a，解直角三角形即可求出【解答】解：如圖，AB是圓內(nèi)接正方形的邊長，O是圓心，OA是⊙O的半徑，過圓心O作OC⊥AB于C，則∠AOC=12×360°4∴∠OAC＝90°﹣∠AOC＝45°，∴∠AOC＝∠OAC，∴AC＝OC，∵圓內(nèi)接正方形的面積為a，∴正方形的邊長為AB=a∴AC＝OC=a在Rt△AOC中，OA=A∴正方形的外接圓的半徑為2a2∴圓的面積為πa2故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正多邊形和圓，正方形的性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造出Rt△AOC是解決問題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023?南山區(qū)二模）劉徽在《九章算術(shù)注》中首創(chuàng)“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形來確定圓周率，開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)發(fā)展史上圓周率研究的新紀(jì)元．某同學(xué)在學(xué)習(xí)“割圓術(shù)”的過程中，作了一個(gè)如圖所示的圓內(nèi)接正八邊形．若⊙O的半徑為1，則這個(gè)圓內(nèi)接正八邊形的面積為（）?A．π B．2π C．24 D．【分析】如圖，過A作AC⊥OB于C，得到圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為360°8【解答】解：如圖，過A作AC⊥OB于C，∵圓的內(nèi)接正八邊形的圓心角為360°8=45°，∴AC＝OC=2∴S△OAB=12×∴這個(gè)圓的內(nèi)接正八邊形的面積為8×24=故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型七正多邊形與圓中的證明題型七正多邊形與圓中的證明【例題7】（2022秋?定西期末）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AM=DM，求證：BM＝【分析】根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可．【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB=∵AM=∴AB+AM=∴BM＝CM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握?qǐng)A心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握?qǐng)A心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2022秋?贛州期中）如圖，點(diǎn)M、N分別在正五邊形ABCDE的邊BC，CD上，BM＝CN，連接AM，BN相交于H．（1）求證：△ABM≌△BCN；（2）求∠AHB的度數(shù)．【分析】（1）先由正五邊形的性質(zhì)得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再根據(jù)SAS證明即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠BAM＝∠CBN，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行求解即可．【解答】（1）證明：∵正五邊形ABCDE，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABM=∠C∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）解：由（1）可知△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BAM+∠ABH＝∠CBN+∠ABH＝∠ABC＝108°，∴∠AHB＝180°﹣（∠BAM+∠ABH）＝72°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形，三角形的內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023?鼓樓區(qū)二模）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，點(diǎn)E、F分別在射線AB、AD上，OE＝OF，且點(diǎn)C、E、F在一條直線上，EF與⊙O相切于點(diǎn)C．?（1）求證：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，則正方形ABCD的面積是．【分析】（1）連接AC，證明△AOF≌△AOE（SAS），可得AF＝AE，然后證明AB＝CB，即可解決問題；（2）根據(jù)勾股定理求出OC＝25，進(jìn)而可以求出正方形ABCD的面積．【解答】（1）證明：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接矩形，∴AC是⊙O的直徑，∵EF與⊙O相切于點(diǎn)C，∴AC⊥EF，∵OE＝OF，∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，∴∠AOF＝∠AOE，∵OA＝OA，∴△AOF≌△AOE（SAS），∴AF＝AE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠FAE＝90°，∴AC=12EF＝CF＝∴∠CAE＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：∵OC=12AC，AC＝∴CF＝2OC，∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，∴102＝OC2+4OC2，∴OC＝25，∴AB=22OC∴AB2＝10，∴正方形ABCD的面積是10．故答案為：10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是正多邊形和圓，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用切線的性質(zhì)，結(jié)合正方形的特點(diǎn)求出正方形的邊長．【變式7-3】（2023?靜安區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，⊙O是△PAD的外接圓，⊙O交邊AB與于點(diǎn)E．（1）求證：PA＝PD；（2）當(dāng)AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：AE=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義PB＝PC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）連接OE，OA，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)得到∠AOE=360°6=60°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠AEO＝60°，連接PO并延長交AD于H【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∵點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，∴PB＝PC，在△ABP與△DCP中，AB=DC∠B=∠C=90°∴△ABP≌△DCP（SAS），∴PA＝PD；（2）連接OE，OA，∵AE是以點(diǎn)O為中心的正六邊形的一邊，∴∠AOE=360°∵OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AEO＝60°，連接PO并延長交AD于H，連接OD，∵PA＝PD．OA＝OD，∴PH⊥AD，∴∠BAH＝∠PHD＝90°，∴AB∥PH，∴∠EOP＝∠AEO＝∠AOE＝60°，∴AE=【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形與圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題題型八正多邊形與圓中的規(guī)律探究問題【例題8】（1）如圖1，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)M是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)N是CA上一點(diǎn)，BM＝CN，BN、AM相交于點(diǎn)Q，求∠BQM的度數(shù)；（2）當(dāng)（1）中的“等邊△ABC”的邊數(shù)逐漸增