2025屆福建省廈門二中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2025屆福建省廈門二中數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，，，則點C到直線AB的距離為（）A.3 B.C. D.2．已知命題：，使；命題：，都有，則下列結(jié)論正確的是（）A.命題“”是真命題： B.命題“”是假命題：C.命題“”是假命題： D.命題“”是假命題3．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.4．下列命題中正確的是（）A.函數(shù)最小值為2.B.函數(shù)的最小值為2.C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)的最大值為5．已知數(shù)列滿足，則（）A. B.1C.2 D.46．對于兩個平面、，“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知圓，圓，則兩圓的公切線的條數(shù)為（）A.1 B.2C.3 D.48．函數(shù)的最大值為（）A.32 B.27C.16 D.409．已知直線與平行，則a的值為（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣210．設(shè)函數(shù)，若的整數(shù)有且僅有兩個，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知條件，條件表示焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件12．已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值為（）A.1 B.C.1或 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過橢圓的一個焦點的弦與另一個焦點圍成的的周長是______14．直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點的軌跡方程是______15．已知p：“”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.16．如圖，用四種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為______（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，內(nèi)角的對邊分別為，且滿足.（1）求的值；（2）若，求面積的最大值.18．（12分）設(shè)命題，，命題，.若p、q都為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.19．（12分）設(shè)等差數(shù)列的各項均為整數(shù)，且滿足對任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱這樣的數(shù)列具有性質(zhì)（1）若數(shù)列的通項公式為，數(shù)列是否具有性質(zhì)？并說明理由；（2）若，求出具有性質(zhì)的數(shù)列公差的所有可能值；（3）對于給定的，具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個，還是可以無窮多個？(直接寫出結(jié)論)20．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實數(shù)，若，則21．（12分）立德中學(xué)舉行冬令營活動期間，對位參加活動的學(xué)生進(jìn)行了文化和體能測試，滿分為150分，其測試成績都在90分和150分之間，成績在認(rèn)定為“一般”，成績在認(rèn)定為“良好”，成績在認(rèn)定為“優(yōu)秀”．成績統(tǒng)計人數(shù)如下表：體能文化一般良好優(yōu)秀一般0良好3優(yōu)秀2例如，表中體能成績良好且文化成績一般的學(xué)生有2人（1）若從這位參加測試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生概率為．求，的值；（2）在（1）的情況下，從體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀的概率；（3）若讓使參加體能測試的成績方差最小，寫出的值．（直接寫出答案）22．（10分）已知，2，4，6中的三個數(shù)為等差數(shù)列的前三項，且100不在數(shù)列中，102在數(shù)列中.（1）求數(shù)列的通項；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算求在上投影長及的模長，再應(yīng)用勾股定理求點C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以設(shè)點C到直線AB的距離為d，則故選：D2、B【解析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷命題為假命題，由判斷命題為真命題，從而得出答案.【詳解】因為的值域為，所以命題為假命題因為，所以命題為真命題則命題“”是假命題，命題“”是假命題，命題“”是真命題，命題“”是真命題故選：B3、D【解析】根據(jù)二項式展開式的通項公式計算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項為.所以的系數(shù)是.故選：D4、D【解析】根據(jù)基本不等式知識對選項逐一判斷【詳解】對于A，時為負(fù)值，故A錯誤對于B，，而無解，無法取等，故B錯誤對于，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故，D正確，C錯誤故選：D5、B【解析】根據(jù)遞推式以及迭代即可.【詳解】由，得，，，，，，.故選：B6、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個點到的距離相等，當(dāng)這三個點不在一條直線上時，可得；當(dāng)這三個點在一條直線上時，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個點到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個點到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.7、B【解析】根據(jù)圓的方程，求得圓心距和兩圓的半徑之和，之差，判斷兩圓的位置關(guān)系求解.【詳解】因為圓，圓，所以，，所以，所以兩圓相交，所以兩圓的公切線的條數(shù)為2，故選：B8、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】因為，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞增,，因此，的最大值為.故選：A9、A【解析】根據(jù)題意可得，解之即可得解.【詳解】解：因為直線與平行，所以，解得.故選：A.10、D【解析】等價于，令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，作出的簡圖，數(shù)形結(jié)合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當(dāng)時，，時，，時，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，且，，作出函數(shù)圖象如圖所示，若的整數(shù)有且僅有兩個，即只需滿足，即，解得：故選：D11、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為條件表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A12、A【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得，檢驗后確定正確答案.【詳解】由于直線與直線平行，所以，或，當(dāng)時，兩直線方程都為，即兩直線重合，所以不符合題意.經(jīng)檢驗可知符合題意.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求得，利用橢圓的定義可得出的周長.【詳解】在橢圓中，，由題意可知，的周長為.故答案為：.14、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡，然后根據(jù)M為線段AB的中點結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過定點E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡得：，設(shè)，則，解得.因為直線是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時，，于是直線過定點當(dāng)直線l的斜率不存在時，，直線也過定點點D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點D軌跡方程為：15、【解析】根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化不等式在上有解，則，由此求解出的取值范圍.【詳解】因為“”為真命題，所以不等式在上有解，所以，所以，故答案為：.16、48【解析】由已知按區(qū)域分四步，然后給，，，區(qū)域分步選擇顏色，由此即可求解【詳解】解：由已知按區(qū)域分四步：第一步區(qū)域有4種選擇，第二步區(qū)域有3種選擇，第三步區(qū)域有2種選擇，第四步區(qū)域也有2種選擇，則由分步計數(shù)原理可得共有種，故答案為：48三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2；（2）.【解析】（1）利用正弦定理以及逆用兩角和的正弦公式得出，而，即可求出的值；（2）根據(jù)題意，由余弦定理得，再根據(jù)基本不等式求得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，即可求出面積的最大值.【小問1詳解】解：由題意得，由正弦定理得：，即，即，因為，所以【小問2詳解】解：由余弦定理，即，由基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，，所以面積的最大值為18、【解析】先求出命題為真時，的取值范圍，再取交集可得答案.【詳解】若命題，為真命題，則，解得；若命題，為真命題，則命題，為假命題，即方程無實數(shù)根，因此，，解得.又p、q都為真命題，所以實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題的真假求參數(shù)值、一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.19、（1）數(shù)列具有性質(zhì)，理由見解析；（2），；（3）有限個.【解析】（1）由題意，由性質(zhì)定義，即可知是否具有性質(zhì).（2）由題設(shè)，存在，結(jié)合已知得且，則，由性質(zhì)的定義只需保證為整數(shù)即可確定公差的所有可能值；（3）根據(jù)（2）的思路，可得且，由為整數(shù)，在為定值只需為整數(shù)，即可判斷數(shù)列的個數(shù)是否有限.【小問1詳解】由，對任意正整數(shù)，，說明仍為數(shù)列中的項，∴數(shù)列具有性質(zhì).【小問2詳解】設(shè)的公差為．由條件知：，則，即，∴必有且，則，而此時對任意正整數(shù)，，又必一奇一偶，即為非負(fù)整數(shù)因此，只要為整數(shù)且，那么為中的一項.易知：可取，對應(yīng)得到個滿足條件的等差數(shù)列.【小問3詳解】同（2）知：，則，∴必有且，則，故任意給定，公差均為有限個，∴具有性質(zhì)的數(shù)列是有限個.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)性質(zhì)的定義，在第2、3問中判斷滿足等差數(shù)列通項公式，結(jié)合各項均為整數(shù)，判斷公差的個數(shù)是否有限即可.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據(jù)逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實數(shù)，若，則；否命題：已知為實數(shù)，若或，則；逆否命題：已知實數(shù)，若，則或21、（1），；（2）；（3）.【解析】（1）由題設(shè)可得求參數(shù)a，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及已知總學(xué)生人數(shù)求參數(shù)b.（2）應(yīng)用列舉法求古典概型的概率.（3）應(yīng)用表格數(shù)據(jù)及方差公式可得且，即可確定成績方差最小對應(yīng)的值.【小問1詳解】設(shè)事件：從位學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到文化或體能優(yōu)秀的學(xué)生由題意知，體能或文化優(yōu)秀的學(xué)生共有人，則，解得所以；【小問2詳解】體能成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生共有5人，在這5人中，文化成績一般的人記為；文化成績良好的人記為；文化成績優(yōu)秀的人記為從文化成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人的樣本空間，設(shè)事件：至少有一個人文化的成績?yōu)閮?yōu)秀，，所以，體能成績優(yōu)秀的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，至少有一個人文化成績?yōu)閮?yōu)秀的概率是；【小問3詳解】由題設(shè)知：體能測試成績，{一般，良好，優(yōu)秀}人數(shù)分別為{5，