山東省泰安市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

山東省泰安市第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.802．在四面體OABC中，點(diǎn)M在線(xiàn)段OA上，且，N為BC中點(diǎn)，已知，，，則等于（）A. B.C. D.3．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.4．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.5．在中，，，，若該三角形有兩個(gè)解，則范圍是（）A. B.C. D.6．已知兩個(gè)向量，，且，則的值為（）A.1 B.2C.4 D.87．變量，之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：3456713111087已知變量與呈線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程為，則的值是（）A.2.3 B.2.5C.17.1 D.17.38．已知、是橢圓和雙曲線(xiàn)的公共焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.59．設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行．北京將成為奧運(yùn)史上第一個(gè)舉辦過(guò)夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)和冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)的城市．根據(jù)安排，國(guó)家體育場(chǎng)（鳥(niǎo)巢）成為北京冬奧會(huì)開(kāi)、閉幕式的場(chǎng)館．國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是兩個(gè)“相似橢圓”（離心率相同的兩個(gè)橢圓我們稱(chēng)為“相似橢圓”）．如圖，由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線(xiàn)AC，BD，若兩切線(xiàn)斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.11．橢圓（）的右頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2，則該橢圓方程為（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，則滿(mǎn)足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則數(shù)列的前2022項(xiàng)的和為_(kāi)__________.14．若與直線(xiàn)垂直，那么__________15．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)____________________.16．已知命題：平面上一矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長(zhǎng)方體中，體對(duì)角線(xiàn)與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類(lèi)比得到的結(jié)論為_(kāi)__________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某餐館將推出一種新品特色菜，為更精準(zhǔn)確定最終售價(jià)，這種菜按以下單價(jià)各試吃1天，得到如下數(shù)據(jù)：（1）求銷(xiāo)量關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程；（2）預(yù)計(jì)今后的銷(xiāo)售中，銷(xiāo)量與單價(jià)服從（1）中的線(xiàn)性回歸方程，已知每份特色菜的成本是15元，為了獲得最大利潤(rùn)，該特色菜的單價(jià)應(yīng)定為多少元？（附：，）18．（12分）設(shè)分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線(xiàn)的傾斜角為60度，到直線(xiàn)l的距離為（1）求橢圓C的焦距；（2）如果，求橢圓C的方程19．（12分）已知拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M（5，m）到焦點(diǎn)F的距離為6.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求直線(xiàn)l方程.20．（12分）已知直線(xiàn)：，直線(xiàn)：（1）若，之間的距離為3，求c的值：（2）求直線(xiàn)截圓C：所得弦長(zhǎng)21．（12分）已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.22．（10分）已知拋物線(xiàn)C：上一點(diǎn)與焦點(diǎn)F的距離為（1）求和p的值；（2）直線(xiàn)l：與C相交于A，B兩點(diǎn)，求直線(xiàn)AM，BM的斜率之積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求解.【詳解】∵是等差數(shù)列，，∴，得，∴.故選：C.2、B【解析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)镹為BC中點(diǎn)，所以,因?yàn)镸在線(xiàn)段OA上，且，所以，所以，故選：B3、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.4、B【解析】根據(jù)橢圓中之間的關(guān)系，結(jié)合橢圓焦距的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，則焦距為，故選：B.5、D【解析】根據(jù)三角形解得個(gè)數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】三角形有兩個(gè)解，，即.故選：D.6、C【解析】由，可知，使，利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及向量相等即可得解.【詳解】∵，∴，使，得，解得：，所以故選：C【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決有關(guān)平行的問(wèn)題時(shí)，通常需要引入?yún)?shù)，如本題中已知，引入?yún)?shù)，使，轉(zhuǎn)化為方程組求解；本題也可以利用坐標(biāo)成比例求解，即由，得，求出m，n.7、D【解析】將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程后求解【詳解】，，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程，得故選：D8、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)定義和題給條件列方程組，得到關(guān)于橢圓的離心率和雙曲線(xiàn)的離心率的關(guān)系式，即可求得的值.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，令，不妨設(shè)則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C9、B【解析】求出不等式的等價(jià)形式，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】由得或，由得，因?yàn)榛蛲撇怀觯芡瞥龌虺闪?，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B10、C【解析】設(shè)內(nèi)層橢圓的方程為，可得外層橢圓的方程為，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)，得到，同理得到，結(jié)合題意求得，進(jìn)而求得離心率.【詳解】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，因?yàn)閮?nèi)外層的橢圓的離心率相同，可設(shè)外層橢圓的方程為，設(shè)切線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，由，整理得，設(shè)切線(xiàn)的方程為，同理可得，因?yàn)閮汕芯€(xiàn)斜率之積等于，可得，可得，所以離心率為.故選：C.11、A【解析】求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)從而求得，再結(jié)合題意求得，即可寫(xiě)出橢圓方程.【詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故可得；又短軸長(zhǎng)為2，故可得，即；故橢圓方程為：.故選：.12、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可解不等式【詳解】由則函數(shù)在上單調(diào)遞增又，所以，解得故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出首項(xiàng)和公差，得出前項(xiàng)和，再由裂項(xiàng)相消的方法，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得，因此，所以，所以?shù)列的前2022項(xiàng)的和為.故答案：.14、【解析】由兩條直線(xiàn)垂直知，得15、【解析】首先判定點(diǎn)在曲線(xiàn)上，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得答案.【詳解】由題意可知點(diǎn)在曲線(xiàn)上，而，故曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，所以切線(xiàn)方程：，即，故答案為：16、【解析】先由線(xiàn)面角的定義得到，再計(jì)算的值即可得到結(jié)論【詳解】在長(zhǎng)方體中，連接，在長(zhǎng)方體中，平面，所以對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為，對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為,對(duì)角線(xiàn)與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）24【解析】（1）求出，的值，根據(jù)公式求出的值，代入公式即可求出回歸直線(xiàn)方程（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求出利潤(rùn)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解【詳解】解：（1）由題意得，，，，得，，所以關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為：.（2）由題意得，每份菜獲得的利潤(rùn)，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，∴單價(jià)應(yīng)定為24元，可獲得最大利潤(rùn).【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線(xiàn)的求法與應(yīng)用，著重考查計(jì)算化簡(jiǎn)的能力，屬基礎(chǔ)題18、（1）（2）【解析】（1）求得直線(xiàn)的方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離列方程，由此求得，進(jìn)而求得焦距.（2）聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓方程，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合來(lái)求得，從而求得橢圓的方程.【小問(wèn)1詳解】依題意，直線(xiàn)的方程為，到的距離為，所以焦距.【小問(wèn)2詳解】由，消去并化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以橢圓的方程為.19、（1）（2）【解析】（1）由拋物線(xiàn)定義有求參數(shù)，即可寫(xiě)出拋物線(xiàn)方程.（2）由題意設(shè)，聯(lián)立拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)k，即可得直線(xiàn)l方程【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)方程為，∴拋物線(xiàn)定義知：可得，故【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，直線(xiàn)l的斜率存在且不為0，設(shè)聯(lián)立方程，得，整理得，則.又P是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，∴，即故l20、（1）或（2）【解析】（1）根據(jù)兩條平行直線(xiàn)的距離公式列方程，化簡(jiǎn)求得的值.（2）利用弦長(zhǎng)公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線(xiàn)：與：間的距離為3，所以解得或.【小問(wèn)2詳解】圓C：，圓心為，半徑為.圓心到直線(xiàn)的距離為，所以弦長(zhǎng)21、（1）3（2），【解析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)極值點(diǎn)可得導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，從而可求實(shí)數(shù)的值；（2）由（1）可得函數(shù)的單調(diào)性，從而可求最值.【小問(wèn)1詳解】，是的一個(gè)極值點(diǎn),.，，此時(shí)，令，解劇