2025屆四川省遂寧市數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆四川省遂寧市數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某人忘了電腦屏保密碼的后兩位，但記得最后一位是1，3，5，7，9中的一個(gè)數(shù)字，倒數(shù)第二位是G，O，D中的一個(gè)字母，若他嘗試輸入密碼，則一次輸入就解開屏保的概率是（）A. B.C. D.2．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，記{兩次的點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)}，{兩次的點(diǎn)數(shù)之和為8}，則（）A. B.C. D.4．過(guò)點(diǎn)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.0條5．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（）A.在內(nèi)是增函數(shù)B.在內(nèi)是增函數(shù)C.在時(shí)取得極大值D.在時(shí)取得極小值6．過(guò)拋物線C：的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)作拋物線的切線，切點(diǎn)為，若在軸上存在定點(diǎn)，使得恒成立，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.7．下列有關(guān)命題的表述中，正確的是（）A.命題“若是偶數(shù)，則，都是偶數(shù)”的否命題是假命題B.命題“若為正無(wú)理數(shù)，則也是無(wú)理數(shù)”的逆命題是真命題C.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”D.若命題“”，“”均為假命題，則，均為假命題8．已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.9．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B.C. D.10．已知奇函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.11．春秋時(shí)期孔子及其弟子所著的《論語(yǔ)·顏淵》中有句話：“非禮勿視，非禮勿聽，非禮勿言，非禮勿動(dòng).”意思是：不符合禮的不看，不符合禮的不聽，不符合禮的不說(shuō)，不符合禮的不做.“非禮勿聽”可以理解為：如果不合禮，那么就不聽.從數(shù)學(xué)角度來(lái)說(shuō)，“合禮”是“聽”的（）A.充分條件 B.必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．在三棱錐中，平面，，，，Q是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點(diǎn).若，則雙曲線的離心率為___________.14．在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______．（結(jié)果用數(shù)值表示）15．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，且是等差數(shù)列．則的值為__________16．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)1524石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為_______石三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓，是圓上一點(diǎn)，過(guò)A作直線l交圓C于另一點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)D，且A為的中點(diǎn).（1）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求直線l的方程.18．（12分）已知拋物線C：經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)M，N，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q.若，求直線l的方程.19．（12分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足，求的表達(dá)式；（3）令，對(duì)于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個(gè)數(shù)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.20．（12分）已知圓心C的坐標(biāo)為，且是圓C上一點(diǎn)（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程21．（12分）已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P是橢圓C上位于第二象限的任一點(diǎn)，直線l是的外角平分線，過(guò)左焦點(diǎn)作l的垂線，垂足為N，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)M，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），橢圓C的離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)右焦點(diǎn)的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)T在線段AB上，且，點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為R，求面積的取值范圍.22．（10分）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，離心率為，橢圓C上的點(diǎn)與其右焦點(diǎn)F的最短距離為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，直線PA與QB的斜率分別為，，且，那么直線l是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】應(yīng)用分步計(jì)數(shù)法求后兩位的可能組合數(shù)，即可求一次輸入就解開屏保的概率.【詳解】由題設(shè)，后兩位可能情況有，∴一次輸入就解開屏保的概率是.故選：C.2、C【解析】設(shè)直線的傾斜角為，則，解方程即可.【詳解】由已知，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以.故選：C3、B【解析】利用條件概率公式進(jìn)行求解.【詳解】，其中表示：兩次點(diǎn)數(shù)均為奇數(shù)，且兩次點(diǎn)數(shù)之和為8，共有兩種情況，即，故，而，所以，故選：B4、B【解析】過(guò)的直線的斜率存在和不存在兩種情況分別討論即可得出答案.【詳解】易知過(guò)點(diǎn)，且斜率不存在的直線為，滿足與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)解，即直線與擾物線只有一個(gè)公共點(diǎn).故滿足題意的直線有2條.故選：B5、B【解析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；在區(qū)間上,單調(diào)遞增.所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.故選：B6、D【解析】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準(zhǔn)線方程可得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意點(diǎn)恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設(shè)切點(diǎn)，點(diǎn)由題意，拋物線C的準(zhǔn)線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對(duì)任意點(diǎn)恒成立，也就是對(duì)任意點(diǎn)恒成立因?yàn)?，，則，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，所以，即，所以，故選：D【點(diǎn)睛】一般表示拋物線的切線方程時(shí)可將拋物線方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，可利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線斜率，再代入計(jì)算.7、C【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)偶數(shù)性質(zhì)即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)B：通過(guò)舉例即可判斷，對(duì)于選項(xiàng)C：利用逆否命題的概念即可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)且、或和非的關(guān)系即可判斷.【詳解】選項(xiàng)A：原命題的否命題為：若不是偶數(shù)，則，不都是偶數(shù)，若，都是偶數(shù)，則一定是偶數(shù)，從而原命題的否命題為真命題，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：原命題的逆命題：若是無(wú)理數(shù)，則也為正無(wú)理數(shù)，當(dāng)，即為無(wú)理數(shù)，但是有理數(shù)，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由逆否命題的概念可知，C正確；選項(xiàng)D：由為假命題可知，，至少有一個(gè)為假命題，由為假命題可知，和均為假命題，故為假命題，為真命題，故D錯(cuò)誤.故選：C.8、C【解析】先求出橢圓的右焦點(diǎn)，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】求導(dǎo)后，利用求得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解：，則，由得，故選：D.10、A【解析】先由求出的值，進(jìn)而可得的解析式，對(duì)求導(dǎo)，利用基本不等式可判斷恒成立，可判斷的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性脫掉，再解不等式即可.【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得：，所以，經(jīng)檢驗(yàn)是奇函數(shù)，符合題意，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以在上單調(diào)遞增，由可得，即，解得：或，所以的解集為，故選：A.11、B【解析】如果不合禮，那么就不聽.轉(zhuǎn)化為它的逆否命題.即可判斷出答案.【詳解】如果不合禮，那么就不聽的逆否命題為：如果聽，那么就合理.故“合禮”是“聽”的必要條件.故選：B.12、C【解析】由平面，直線與平面所成角的最大時(shí)，最小，也即最小，，由此可求得，從而得，得長(zhǎng)，然后取外心，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，求出的長(zhǎng)即為外接球半徑，從而可得面積【詳解】三棱錐中，平面，直線與平面所成角為，如圖所示；則，且的最大值是，，的最小值是，即A到的距離為，，，在中可得，又，，可得；取的外接圓圓心為，作，取H為的中點(diǎn)，使得，則易得，由，解得，，，，由勾股定理得，所以三棱錐的外接球的表面積是.【點(diǎn)睛】本題考查求球的表面積，解題關(guān)鍵是確定球的球心，三棱錐的外接球心在過(guò)各面外心且與此面垂直的直線上二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】按題意求得，兩點(diǎn)坐標(biāo)，以代數(shù)式表達(dá)出條件，即可得到關(guān)于的關(guān)系式，進(jìn)而解得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點(diǎn)為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：14、【解析】先求解出該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)，然后求解出滿足題意的項(xiàng)數(shù)值，帶入通項(xiàng)即可求解出展開式的系數(shù).【詳解】展開式通項(xiàng)為，由題意，令，解得，，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.15、52【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出數(shù)列的通項(xiàng)即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，因是等差數(shù)列，則其公差，于是得，，當(dāng)時(shí)，，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：5216、168石【解析】由題意，得這批米內(nèi)夾谷約為石考點(diǎn)：用樣本估計(jì)總體三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）以直線方程的點(diǎn)斜式去求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）以A為的中點(diǎn)為突破口，設(shè)點(diǎn)法去求直線l的方程簡(jiǎn)單快捷.【小問(wèn)1詳解】圓可化為，圓心因?yàn)橹本€的斜率為，所以圓C在A點(diǎn)處切線斜率為2，所以切線方程為即.【小問(wèn)2詳解】由題意設(shè)因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以將B代入圓C方程得解得或當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為當(dāng)時(shí)，，此時(shí)l方程為所以l方程為或18、（1）拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為（2）或.【解析】（1）將點(diǎn)代入拋物線求出即可得出拋物線方程和準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，表示出弦長(zhǎng)和即可求出.【小問(wèn)1詳解】將代入可得，解得，所以拋物線C的方程為，準(zhǔn)線方程為；【小問(wèn)2詳解】由題得，設(shè)直線方程為，，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，所以，因?yàn)橹本€與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q，則，則，因?yàn)?，所以，解得，所以直線l的方程為或.19、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，確定等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法可得出的表達(dá)式；（3）求得，分、、三種情況討論，利用奇數(shù)與偶數(shù)的性質(zhì)以及整數(shù)的性質(zhì)可求得、的值，綜合可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：由可得，，則，，以此類推可知，對(duì)任意的，，則，故數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，故，可得.【小問(wèn)2詳解】解：由（1）知，所以，所以，當(dāng)n＝1時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)闈M足，所以.【小問(wèn)3詳解】解：，、、這三項(xiàng)經(jīng)適當(dāng)排序后能構(gòu)成等差數(shù)列，①若，則，所以，，又，所以，，則；②若，則，則，左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，所以，②不成立；③若，同②可知③也不成立綜合①②③得，20、（1）（2）或【解析】（1）計(jì)算圓的半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；（2）先驗(yàn)證斜率不存在時(shí)，是否滿足題意，再分析斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)到直線距離求出斜率即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題意得：所以，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l的方程為，此時(shí)所截得的線段的長(zhǎng)為，符合題意當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，即，圓心到直線l的距離，由題意，得，解得，∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得到的值，結(jié)合橢圓的離心率，即可求得b,求得答案;（2）由可得，進(jìn)一步推得，于是設(shè)直線方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得弦長(zhǎng)，表示出三角形AOB的面積，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可知：為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中位線，，,又,故,即,，又，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由題意可知，，,①當(dāng)過(guò)的直線與軸垂直時(shí)，，,②當(dāng)過(guò)的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為,聯(lián)立,可得：.,,,由弦長(zhǎng)公式可知，到距離為,故，令，則原式變?yōu)?，令，原式變?yōu)楫?dāng)時(shí)，故，由①②可知.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓相交時(shí)的三角形的面積問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，解答的關(guān)鍵是計(jì)算三角形面積時(shí)要理清運(yùn)算的思路，準(zhǔn)確計(jì)算.22、（