專(zhuān)題02與三角形有關(guān)的角-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)題型(人教版)(原卷版)

專(zhuān)題02與三角形有關(guān)的角【思維導(dǎo)圖】◎題型1：三角形內(nèi)角和定理的證明定理：三角形的內(nèi)角和為180°．備注：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理可以解決以下三類(lèi)問(wèn)題：①在三角形中已知任意兩個(gè)角的度數(shù)可以求出第三個(gè)角的度數(shù)；②已知三角形三個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，可以求出其內(nèi)角的度數(shù)；③求一個(gè)三角形中各角之間的關(guān)系．例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定理：三角形的內(nèi)角和等于180°．已知：的三個(gè)內(nèi)角為、、求證：．證法1：如圖∵，，（量角器測(cè)量）∵（計(jì)算所得）∴（等量代換）證法2：如圖，延長(zhǎng)到，過(guò)點(diǎn)作．∴（兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）（兩直線(xiàn)平行，同位角相等）∵（平角定義）．∴（等量代換）即．下列說(shuō)法正確的是（

）A．證法1采用了從特殊到一般的方法證明了該定理B．證法1還需要測(cè)量一百個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理C．證法2還需證明其它形狀的三角形，該定理的證明過(guò)程才完整D．證法2用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在證明“△ABC內(nèi)角和等于180°”時(shí)，延長(zhǎng)BC至D，過(guò)點(diǎn)C作CEAB，得到∠ABC＝∠ECD，∠BAC＝∠ACE，由于∠BCD＝180°，可得到∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，這個(gè)證明方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）A．?dāng)?shù)形結(jié)合 B．特殊到一般 C．一般到特殊 D．轉(zhuǎn)化變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如下四種輔助線(xiàn)，其中不能證明“三角形內(nèi)角和是180°”的是（

）A． B．C． D．變式3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列給出的5個(gè)圖中，能判定是等腰三角形的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)◎題型2：與平行線(xiàn)有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，則∠B的度數(shù)為（）A．120° B．128° C．110° D．100°變式1．（2022·廣東茂名·八年級(jí)期末）如圖，直線(xiàn)AB∥CD，，，則等于（

）A．70° B．80° C．90° D．100°變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠B=46°，∠ADE=40°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，則∠C的大小是（）A．46° B．54° C．66° D．80°變式3．（2021·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖所示，直線(xiàn)l1//l2，∠1＝40°，∠2＝75°，則∠3等于（

）A．55° B．30° C．65° D．70°◎題型3：與角平分線(xiàn)有關(guān)的三角形內(nèi)角和問(wèn)題例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ACB＝68°，若P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且∠1＝∠2，則∠BPC的度數(shù)為（

）．A．102° B．132° C．100° D．112°變式1．（2022·山西運(yùn)城·八年級(jí)期末）如圖，在中，，BD平分交AC于點(diǎn)D．若，則的大小為（

）A．66° B．70° C．72° D．75°變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數(shù)是（

）A．30° B．45° C．55° D．60°變式3．（2022·江蘇·淮安市浦東實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在□ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于E，，則∠A的大小為（

）A．150° B．130° C．120° D．100°◎題型4：三角形折疊中的角度問(wèn)題例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，將沿著平行于的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，則的度數(shù)是（

）A．108° B．104° C．96° D．92°變式1．（2022·云南昭通·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿線(xiàn)段DE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處；若，∠A=70°，AB=AC，則∠CEF的度數(shù)為（

）A．55° B．60° C．65° D．70°變式2．（2022·海南省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)D關(guān)于AE對(duì)稱(chēng)，，則∠AED的度數(shù)為（

）A．57° B．60° C．62° D．67°變式3．（2022·福建龍巖·八年級(jí)期末）如圖，把紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABDE的外部時(shí)，此時(shí)測(cè)得，，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．36° C．37° D．38°◎題型5：三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝50°，則∠D的度數(shù)為（）A．40° B．50° C．60° D．70°變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖擺放的是一副學(xué)生用的直角三角板，，，AB與DE相交于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，∠AGE的度數(shù)是（

）．A．60° B．65° C．75° D．85°變式2．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，把一個(gè)含有角的直角三角板放在兩條平行線(xiàn)m，n上，若，則∠β的度數(shù)是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·山東菏澤·八年級(jí)期末）下列條件中能構(gòu)成鈍角△ABC的是（

）A．∠A=∠B=∠C B．∠A∠B=∠C C．∠B=∠C=∠A D．∠A=∠B=∠C◎題型6：三角形的外角1）三角形外角定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)組成的角叫做三角形的外角．如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角.備注：(1)外角的特征：①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線(xiàn)．（2）三角形每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是對(duì)頂角．所以三角形共有六個(gè)外角，通常每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，因此，我們常說(shuō)三角形有三個(gè)外角．2）三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．備注：三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度及與角有關(guān)的推理論證明經(jīng)常使用的理論依據(jù)．另外，在證角的不等關(guān)系時(shí)也常想到外角的性質(zhì)．3）三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.備注：因?yàn)槿切蔚拿總€(gè)外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，由三角形的內(nèi)角和是180°，可推出三角形的三個(gè)外角和是360°例．（2022·山西運(yùn)城·八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，，則∠D的度數(shù)為（

）A．160° B．150° C．140° D．130°變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將兩塊三角板按如圖所示位置擺放，若，點(diǎn)在上，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式2．（2022·河南許昌·八年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，若∠A＝26°．則∠BDC的度數(shù)為（）A．26° B．52° C．56° D．64°變式3．（2021·四川省南充市白塔中學(xué)八年級(jí)期中）若等腰三角形的一腰上的高與另一腰的夾角等于26°，則其頂角等于（）A．64°或116° B．116°或52° C．64°或128° D．64°或116°或128°◎題型7：利用互余關(guān)系求角直角三角形：如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余.反過(guò)來(lái)，有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.備注：如果直角三角形中有一個(gè)銳角為45°，那么這個(gè)直角三角形的另一個(gè)銳角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形.例．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，直線(xiàn)l1∥l2，直線(xiàn)交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)，交于點(diǎn)C．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，BD是△ABC的角平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，若，，則∠CAE的度數(shù)為（

）A．12.5° B．17.5° C．22.5° D．27.5°變式2．（2021·江蘇·