第二十七章相似（單元重點(diǎn)綜合測試）-2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊單元速記巧練（人教版）

第二十七章相似（單元重點(diǎn)綜合測試）一、選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2023上·福建寧德·九年級(jí)福鼎市第一中學(xué)?？计谥校┮阎?，則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．【詳解】解：∵，∴，，，∴四個(gè)選項(xiàng)中，只有C選項(xiàng)符合題意，故選C．2．（2023上·上海靜安·九年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┰谥校c(diǎn)分別在的延長線上，已知，下列各式不能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用平行線的判定即可求得答案．【詳解】解：A、根據(jù)有，結(jié)合則，故本選項(xiàng)不符合題意；B、根據(jù)和則有，故本選項(xiàng)不符合題意；C、由不能判定，故本選項(xiàng)符合題意；D、根據(jù)有，結(jié)合則，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定，熟練掌握判定條件是關(guān)鍵．3．（2023下·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）操場上有一根豎直的旗桿，它的一部分影子落在水平地面上，另一部分影子落在操場的墻壁上，經(jīng)測量，墻壁上的影高為，地面的影長為，同時(shí)測得一根高為的竹竿的影長是，請根據(jù)以上信息，則旗桿的高度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】首先需先求出旗桿全落在地面上的影子的長，即落在水平地面上的影長于落在操場的墻壁上的影長之和，同時(shí)測得一根高為的竹竿的影長是，根據(jù)同一時(shí)刻物高與影長的比值相等，即可列出方程求出答案．【詳解】解：由題意可知，墻壁上的影高為，同時(shí)測得一根高為的竹竿的影長是，設(shè)這段影子在地面上的長為，可得：，，旗桿落在地面上的影子的長是：，設(shè)旗桿的高度為,根據(jù)題意可得：，，旗桿的高度為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列方程是解題關(guān)鍵．4．（2020上·北京順義·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格上有5個(gè)三角形（三角形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，與①相似的三角形是（

）A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤【答案】A【分析】根據(jù)兩邊成比例夾角相等兩三角形相似即可判斷．【詳解】解：由題意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，又∵，∴，，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．（2010上·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是．以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作的位似圖形，并把的邊長放大到原來的2倍．設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出的長，得到點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸于D，過點(diǎn)作軸于，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是，的橫坐標(biāo)是，∴，由題意得，，相似比為1：2，∴，∴，∴，∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，位似圖形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·陜西西安·九年級(jí)高新一中校考階段練習(xí)）如圖，小明晚上由路燈下的點(diǎn)處走到點(diǎn)處時(shí)，測得自身影子的長為1米，他繼續(xù)往前走3米到達(dá)點(diǎn)處，測得自己影子的長為2米，已知小明的身高是1.5米，那么路燈的高度是（

）

A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米【答案】B【分析】設(shè)米，米，先根據(jù)題意可得出，，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)即可得．【詳解】設(shè)米，米，則米，米，由題意得：，，米，，，，，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是所列分式方程組的解，則米，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．（2023上·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)C，D，點(diǎn)P為反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作x軸、y軸的垂線交直線于點(diǎn)A，B，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A．與相似 B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，三角形相似的判定，平行坐標(biāo)軸上的兩點(diǎn)間的距離，如圖，過B作軸于點(diǎn)F，過A作軸于點(diǎn)E，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，反比例函數(shù)性質(zhì)等計(jì)算即可，熟練掌握性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵【詳解】如圖，過B作軸于點(diǎn)F，過A作軸于點(diǎn)E.在一次函數(shù)中，令，則；令，則，，，，和都是等腰直角三角形，.，.又，，同理可得，，故選項(xiàng)A正確；

和都是等腰直角三角形，，，，故選項(xiàng)B正確；，，即，故選項(xiàng)C正確；設(shè)，則，，，即，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.8．（2023上·四川遂寧·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，是面積為1的等邊三角形，取邊中點(diǎn)，作，，，．分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作；取中點(diǎn)，作，，，分別交，于點(diǎn)，，得到四邊形，它的面積記作……照此規(guī)律作下去，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，先根據(jù)，為的中點(diǎn)，利用三角形相似的性質(zhì)得到四邊形的面積是面積的一半，再利用同樣的辦法求出，找出，之間的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出的值．【詳解】解：，．點(diǎn)為邊的中點(diǎn)．．．．．同理，．．同理，．．故選C．9．（2023上·福建泉州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)移動(dòng)，若點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)取（

）時(shí)，與相似．A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意，用含的式子分別表示出，，，，分類討論，第一種情況，當(dāng)時(shí)；第二種情況，當(dāng)時(shí)；根據(jù)相似三角形的判定方法即可求解．【詳解】解：已知，，，點(diǎn)的速度為，點(diǎn)的速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∴，，第一種情況，當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，，∴；第二種情況，當(dāng)時(shí)，，∴，整理得，，∴；綜上所述，當(dāng)或時(shí)，與相似，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與三角形的關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，理解題目中動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，找出邊的數(shù)量關(guān)系，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023上·安徽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在正方形中，是等邊三角形，、的延長線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形中，角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；三角形相似的判定，勾股定理證明判斷即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴，故①正確；∵是等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，∵，∴，故④正確；在中，，∴，，∴，故③錯(cuò)誤；設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得：，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故⑤正確．綜上分析可知，正確的結(jié)論有4個(gè)，故B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定，勾股定理，熟練掌握上述知識(shí)是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)咸陽彩虹學(xué)校?？计谥校┤鐖D，四邊形四邊形，若，，則的度數(shù)為．

【答案】100【分析】利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等求得答案即可．【詳解】∵四邊形四邊形，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】考查了相似多邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)舞是了解相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，難度不大．12．（2019下·北京石景山·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，和中，，添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使．

【答案】（答案不唯一）【分析】由，可得，故添加即可使得．【詳解】解∶添加理由：∵，∴，即，又，∴．故答案為：（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．13．（2023上·陜西西安·九年級(jí)西安市東方中學(xué)校聯(lián)考期中）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物.鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為，則的長為cm.（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】【分析】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)（），線段的長為，∴，∴．故答案為：．14．（2023上·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個(gè)“小孔成像”的實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理，如圖所示的小孔成像實(shí)驗(yàn)中可簡化為數(shù)學(xué)問題：與相交于點(diǎn)，．若點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)O到的距離為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是．

【答案】【分析】先證明，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得到，即可得到答案．【詳解】解：∵∴∴又∵點(diǎn)O到的距離為，點(diǎn)O到的距離為，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟知“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”是解題的關(guān)鍵．15．（2023上·福建泉州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在中，是邊上的中線，是重心，如果，那么線段的長是．【答案】【分析】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)，“重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為”即可求解，掌握三角形重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，是邊上的中線，是重心，

∵是邊上的中線，是重心，又∵，∴，∴，故答案為：．16．（2023上·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，原點(diǎn)是和的位似中心，點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，的面積是3，則的面積是．

【答案】12【分析】根據(jù)坐標(biāo)可得，，即可得和的位似比是：，則有和的面積的比是，問題得解．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，原點(diǎn)是位似中心，∴，，∴和的位似比是：，∴和的面積的比是，又∵的面積是3，∴的面積是12．故答案為：12．【點(diǎn)睛】本題考查位似圖形和相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比和相似比的關(guān)系．三、解答題（本大題共7小題，共62分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2023上·陜西漢中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，且直線分別截直線于點(diǎn)，，，截直線于點(diǎn)，．

(1)若，求的長；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．（1）由平行線分線段成比例定理得到，代入已知線段長度即可得到的長；（2）由平行線分線段成比例定理得到，由得到，由得到，即可得到的長．【詳解】（1）解：如圖，

∵，∴，∵，，，∴，即的長為；（2）∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．18．（2023上·廣東深圳·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．(1)畫出關(guān)于x軸對(duì)稱的，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)以點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)，將放大為原來的2倍，得到，請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出，的坐標(biāo)為______．【答案】(1)畫圖見解析，(2)畫圖見解析，【分析】此題考查了作軸對(duì)稱圖形，畫關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，正確掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)及中心對(duì)稱作圖是解題的關(guān)鍵．（1）分別確定對(duì)稱點(diǎn)，，，順次連線即可；（2）分別連接，，并延長二倍，確定點(diǎn)，，，順次連線即可得到．【詳解】（1）即為所求，；

（2）即為所求；

由圖可知：．19．（2023下·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)E，的平分線交于點(diǎn)F．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，且，求的長．【答案】(1)見解析(2)．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)可以得到，設(shè)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)可得，列方程求出的值，從而可解答本題．【詳解】（1）證明：∵的平分線交于點(diǎn)，∴．∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．∴．∴．同理：．∴．∵∴四邊形是平行四邊形．∵，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）知，四邊形是菱形，又四邊形是平行四邊形，，設(shè)，∵四邊形是平行四邊形，且，∴，，即，整理得，解得，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及相似多邊形的性質(zhì)，求出與的數(shù)量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵20．（2022上·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，F(xiàn)為四邊形邊上一點(diǎn)，連接并延長交延長線于點(diǎn)E，已知．(1)求證：；(2)若四邊形為平行四邊形，，求的長度．【答案】(1)證明見解析(2)的長度為4【分析】（1）利用相似三角形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）先證明，利用平行線分線段成比例，列出比例式，即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，又∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊、對(duì)頂角等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．21．（2023上·安徽亳州·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在的邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．

(1)直接寫出的形狀______；(2)若垂足為D，證明：；(3)拓展應(yīng)用：在A時(shí)測得某樹（垂直于地面）的影長為4米，C時(shí)又測得該樹的影長為16米，若兩次日照的光線互相垂直，則樹的高度為______米．（直接寫出結(jié)果）【答案】(1)直角三角形(2)見解析(3)【分析】（1）利用勾股定理求得，的長，再利用勾股定理的逆定理即可求解；（2）證明，即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】（1）解：∵，，，，∴是直角三角形，故答案為：直角三角形；（2）證明：由（1）知是直角三角形，且，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：由題意得，，米，米，由（2）得，∴，∴米，∴樹的高度為米．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．22．（2023上·河南開封·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)了相似三角形以后，他們發(fā)現(xiàn)對(duì)于同一個(gè)物體在燈光下，它的影子的長度與電燈到物體的距離有一定的關(guān)系，利用物體影子的長度可以計(jì)算電燈到物體的距離，利用電燈到物體的距離也可以計(jì)算物體影子的長度．下面是他們的試驗(yàn)內(nèi)容，請解答：

(1)如圖①，放在水平地面上的正方形框架，在其正上方有一個(gè)小射燈，在小射燈的照射下，正方形框架在地面上的影子為、，若正方形框架的邊長為，，則________；小射燈離地面的距離為_______．(2)如圖②，不改變（1）中的條件，將另一個(gè)同樣大小的小正方形框架緊貼在原小正方形框架的左邊并排擺放，即正方形．求小射燈下的影長的長度．(3)如圖③，小射燈到地面的距離為，一共有個(gè)邊長為的小正方形框架（無重疊）并排如圖擺放，影長與的和為__________________（用、、表示）．【答案】(1)；80(2)(3)【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用等知識(shí)與方法，（1）設(shè)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)得，，，，則，所以，再證明，得，則，所以，求得，于是得到問題的答案；（2）由（1）得，，，則，，，可證明，得，于是得，求得，則小射燈下的影長的長度為；（3）設(shè)于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，，，由，得，則，所以，于是得到問題的答案．此題綜合性強(qiáng)，難度較大，正確理解和應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）如圖①，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

四邊形是邊長為的正方形，，，，，，，，，點(diǎn)在正方形的正上方，，，，，，，