2024屆貴州省麻江縣一中高三下學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題

2024屆貴州省麻江縣一中高三下學(xué)期第一次階段測試數(shù)學(xué)試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．2．是虛數(shù)單位，則（）A．1 B．2 C． D．3．若函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是（）A． B． C． D．4．已知向量與的夾角為，定義為與的“向量積”，且是一個向量，它的長度，若，，則（）A． B．C．6 D．5．如圖，在三棱柱中，底面為正三角形，側(cè)棱垂直底面，.若分別是棱上的點，且，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．6．如圖，平面ABCD，ABCD為正方形，且，E，F(xiàn)分別是線段PA，CD的中點，則異面直線EF與BD所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A．5 B． C． D．-58．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，9．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．如圖，某幾何體的三視圖是由三個邊長為2的正方形和其內(nèi)部的一些虛線構(gòu)成的，則該幾何體的體積為()A． B． C．6 D．與點O的位置有關(guān)11．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，aβ，bα，則“ab“是“αβ”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)，若在上的最大值為，則________.14．已知中，點是邊的中點，的面積為，則線段的取值范圍是__________.15．設(shè)直線過雙曲線的一個焦點，且與的一條對稱軸垂直，與交于兩點，為的實軸長的2倍，則雙曲線的離心率為.16．已知是第二象限角，且，，則____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，判斷在上的單調(diào)性并加以證明；（2）若，，求的取值范圍.18．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數(shù)f(x)的最大值m；（2）正數(shù)a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：19．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于、兩點，若，在線段上取點，使，求證：點在定直線上.20．（12分）某企業(yè)質(zhì)量檢驗員為了檢測生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機抽取了個零件進行測量，根據(jù)所測量的零件尺寸（單位：mm），得到如下的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這個零件尺寸的中位數(shù)（結(jié)果精確到）；（2）若從這個零件中尺寸位于之外的零件中隨機抽取個，設(shè)表示尺寸在上的零件個數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）已知尺寸在上的零件為一等品，否則為二等品，將這個零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件進行成箱包裝出售，每箱個.企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對每箱的所有零件進行檢驗，已知每個零件的檢驗費用為元.若檢驗，則將檢驗出的二等品更換為一等品；若不檢驗，如果有二等品進入買家手中，企業(yè)要向買家對每個二等品支付元的賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機抽檢了個，結(jié)果有個二等品，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.21．（12分）購買一輛某品牌新能源汽車，在行駛?cè)旰螅畬⒔o予適當(dāng)金額的購車補貼.某調(diào)研機構(gòu)對擬購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，其樣本頻率分布直方圖如圖所示.（1）估計擬購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）將頻率視為概率，從擬購買該品牌汽車的消費群體中隨機抽取人，記對購車補貼金額的心理預(yù)期值高于萬元的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）統(tǒng)計最近個月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份銷售量（萬輛）試預(yù)計該品牌汽車在年月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，直線l與曲線C交于不同的兩點A、B，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】

由復(fù)數(shù)除法的運算法則求出，再由模長公式，即可求解.【詳解】由.故選:C.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法和模，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

由函數(shù)性質(zhì),結(jié)合特殊值驗證,通過排除法求得結(jié)果.【詳解】對于選項B,為奇函數(shù)可判斷B錯誤;對于選項C,當(dāng)時,,可判斷C錯誤;對于選項D,,可知函數(shù)在第一象限的圖象無增區(qū)間,故D錯誤;故選:A.【點睛】本題考查已知函數(shù)的圖象判斷解析式問題,通過函數(shù)性質(zhì)及特殊值利用排除法是解決本題的關(guān)鍵,難度一般.4、D【解析】

先根據(jù)向量坐標(biāo)運算求出和，進而求出，代入題中給的定義即可求解.【詳解】由題意，則，，得，由定義知，故選:D.【點睛】此題考查向量的坐標(biāo)運算，引入新定義，屬于簡單題目.5、B【解析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法計算出異面直線與所成角的余弦值.【詳解】依題意三棱柱底面是正三角形且側(cè)棱垂直于底面.設(shè)的中點為，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示.所以，所以.所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：B【點睛】本小題主要考查異面直線所成的角的求法，屬于中檔題.6、C【解析】

分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,再利用向量法求異面直線EF與BD所成角的余弦值.【詳解】由題可知，分別以AB，AD，AP所在直線為x軸，y軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè).則.故異面直線EF與BD所成角的余弦值為.故選：C【點睛】本題主要考查空間向量和異面直線所成的角的向量求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.7、C【解析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案．【詳解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虛部為．故選C．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．8、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過的頻率為：．故選：B．【點睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．9、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．10、B【解析】

根據(jù)三視圖還原直觀圖如下圖所示，幾何體的體積為正方體的體積減去四棱錐的體積，即可求出結(jié)論.【詳解】如下圖是還原后的幾何體，是由棱長為2的正方體挖去一個四棱錐構(gòu)成的，正方體的體積為8，四棱錐的底面是邊長為2的正方形，頂點O在平面上，高為2，所以四棱錐的體積為，所以該幾何體的體積為.故選:B.【點睛】本題考查三視圖求幾何體的體積，還原幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

根據(jù)面面平行的判定及性質(zhì)求解即可．【詳解】解：a?α，b?β，a∥β，b∥α，由a∥b，不一定有α∥β，α與β可能相交；反之，由α∥β，可得a∥b或a與b異面，∴a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?α，b?β，a∥β，b∥α，則“a∥b“是“α∥β”的既不充分也不必要條件．故選：D.【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判斷，考查面面平行的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解析】

先化簡得再求得解.【詳解】所以.故選：D【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和模的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由在上，可得在上單調(diào)遞增，則函數(shù)最大值為，即可求出參數(shù)的值.【詳解】解：定義域為，在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運算求解的能力，屬于難題.15、【解析】

不妨設(shè)雙曲線，焦點，令，由的長為實軸的二倍能夠推導(dǎo)出的離心率.【詳解】不妨設(shè)雙曲線，焦點，對稱軸，由題設(shè)知，因為的長為實軸的二倍，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查利用雙曲線的簡單性質(zhì)求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質(zhì)有關(guān)的問題時要結(jié)合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當(dāng)涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關(guān)系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的等式，從而求出的值.16、【解析】

由是第二象限角，且，可得，由及兩角和的正切公式可得的值.【詳解】解：由是第二象限角，且，可得，，由，可得，代入，可得，故答案為：.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角和的正切公式，相對不難，注意運算的準(zhǔn)確性.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在為增函數(shù)；證明見解析（2）【解析】

（1）令，求出，可推得，故在為增函數(shù)；（2）令，則，由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時，.記，則，當(dāng)時，，.所以，所以在單調(diào)遞增，所以.因為，所以，所以在為增函數(shù).（2）由題意，得，記，則，令，則，當(dāng)時，，，所以，所以在為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)，，恒成立，所以為增函數(shù)，即在單調(diào)遞增，又，所以，所以在為增函數(shù)，所以所以滿足題意.②當(dāng)，，令，，因為，所以，故在單調(diào)遞增，故，即.故，又在單調(diào)遞增，由零點存在性定理知，存在唯一實數(shù)，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，所以，此時在為減函數(shù)，所以，不合題意，應(yīng)舍去.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點及不等式恒成立等問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想，考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力，屬于難題.18、（1）（2）見解析【解析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結(jié)合基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1）由絕對值不等式性質(zhì)得當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，所以.法2：由得，，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.【點睛】本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出、的值，進而可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點、、，設(shè)直線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，并列出韋達定理，由向量的坐標(biāo)運算可求得點的坐標(biāo)表達式，并代入韋達定理，消去，可得出點的橫坐標(biāo)，進而可得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得，解得，.所以橢圓的方程是；（2）設(shè)直線的方程為，、、，由，得.，則有，，由，得，由，可得，，，綜上，點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線上的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.20、（1）；（2）分布列見詳解，期望為；（3）余下所有零件不用檢驗，理由見詳解.【解析】

（1）計算的頻率，并且與進行比較，判斷中位數(shù)落在的區(qū)間，然后根據(jù)頻率的計算方法，可得結(jié)果.（2）計算位于之外的零件中隨機抽取個的總數(shù)，寫出所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，列出分布列，計算期望，可得結(jié)果.（3）計算整箱的費用，根據(jù)余下零件個數(shù)服從二項分布，可得余下零件個數(shù)的期望值，然后計算整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值，進行比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）尺寸在的頻率：尺寸在的頻率：且所以可知尺寸的中位數(shù)落在假設(shè)尺寸中位數(shù)為所以所以這個零件尺寸的中位數(shù)（2）尺寸在的個數(shù)為尺寸在的個數(shù)為的所有可能取值為1，2，3，4則，，所以的分布列為（3）二等品的概率為如果對余下的零件進行檢驗則整箱的檢驗費用為（元）余下二等品的個數(shù)期望值為如果不對余下的零件進行檢驗，整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望值為（元）所以，所以可以不對余下的零件進行檢驗.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，掌握中位數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)的計算方法，中位數(shù)的理解應(yīng)該從中位數(shù)開始左右兩邊的頻率各為0.5，考驗分析能力以及數(shù)據(jù)處理，屬