云南省玉溪市新平彝族傣族自縣民族中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月期中考試數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度上學(xué)期高期中考試數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁(yè)，19題.全卷滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、考號(hào)等填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3，填空題和解答題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過點(diǎn)，，且直線的傾斜角為，則（）A.0 B.2 C.4 D.62.2024年1月至5月某市8大類商品和服務(wù)價(jià)格增長(zhǎng)速度依次為3.1%，2.5%，1.9%，1.0%，0.8%，0.5%，，，則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為（）A. B. C. D.3.已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（）A. B. C. D.4.半正多面體又稱“阿基米德多面體”，它是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.把正四面體的每條棱三等分，截去頂角所在的小正四面體，得到一個(gè)有八個(gè)面的半正多面體，如圖，點(diǎn)P，A，B，C，D為該半正多面體的頂點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.5.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線的方程為（）A. B.C.或 D.或6.已知直線與直線交于，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（）A. B.1 C. D.7.一光線過點(diǎn)，經(jīng)傾斜角為的且過的直線反射后過點(diǎn)，則反射后的光線不會(huì)經(jīng)過下列哪個(gè)點(diǎn)（）A. B. C. D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.直線與BD所成的角不可能是B.若，則二面角的平面角的正弦值為C.當(dāng)時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.設(shè)平面內(nèi)四點(diǎn)，，，.則（）A. B. C. D.10.已知直線和直線的交點(diǎn)為，則過點(diǎn)且與和距離相等的直線方程為（）A. B.C. D.11.已知單位向量，，兩兩的夾角均為，若空間向量滿足，則有序?qū)崝?shù)組稱為向量在"仿射"坐標(biāo)系（為坐標(biāo)原點(diǎn)）下的“仿射”坐標(biāo)，記作，則下列命題是真命題的為（）A.已知，，則B.已知，，其中x，y，，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，向量，的夾角取得最小值C.已知，，則D.已知，，，則三棱錐的表面積三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，且，則__________.13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知角的終邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓相交于點(diǎn)，角滿足，則__________.14.如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，E、F分別是棱BC、的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若平面AEF，則線段長(zhǎng)度的最小值是__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（本小題滿分13分）已知三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，.（1）試判斷的形狀；（2）求邊AC上的中線所在直線的方程.16.（本小題滿分15分）已知直線過點(diǎn)且與軸、軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求三角形OAB面積取最小值時(shí)直線的方程；（2）求取最小值時(shí)直線的方程.17.（本小題滿分15分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知直線和.（1）若，求的值及與之間的距離；（2）若，過點(diǎn)作直線與直線，分別交于點(diǎn)A、B，且滿足，求直線的方程.18.（本小題滿分17分）如圖，直三棱柱中，，，P，Q分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面CPQ所成角的正弦值；（3）設(shè)點(diǎn)到直線CQ的距離為，點(diǎn)到平面CPQ的距離為，求的值.19.（本小題滿分17分）在深度學(xué)習(xí)技術(shù)中，常用測(cè)量距離的方式有3種.設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）若，，求A，B之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，，求的最大值；（3）已知點(diǎn)P，Q是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由.

期中考卷參考答案一、選擇題1.C【解析】由題可得：，所以4.故選C.2.B【解析】將數(shù)據(jù)由小到大排列：，，0.5%，0.8%，1.0%，1.9%，2.5%，3.1%，因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為.故選B.3.B【解析】記為點(diǎn)，直線PA的斜率，直線PB的斜率，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，且與線段AB相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是.故選B.4.A【解析】，所以.故選A.5.C【解析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，滿足題意，又因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以直線的斜率為，所以直線方程為，即，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，所以直線方程為，故所求直線方程為或.故選C.6.A【解析】因?yàn)閮芍本€交于，則，即，且，則；由原點(diǎn)到直線的距離，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí).即兩直線重合時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大.故選A.7.D【解析】?jī)A斜角為的且過的直線的方程為，即.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有，即，解得，即.于是反射后的光線所在的直線方程為，即.對(duì)于A：時(shí)，故A正確；對(duì)于B：時(shí)，故B正確；對(duì)于C：時(shí)，故C正確；對(duì)于D：時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選D.8.B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，對(duì)于A，設(shè)，故，故，而，設(shè)直線與BD所成的角為，則，若直線與BD所成的角是，則，整理得到：，此方程無實(shí)數(shù)解，故直線與BD所成的角不可能是，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A分析得，此時(shí)，故，而，設(shè)此時(shí)平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，故，故二面角的平面角的正弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，又A的分析可得，故，故，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，結(jié)合A中分析可得，，故，而，設(shè)平面的法向量為，則即，取，則，，故，又，故到平面的距離為，故D正確.故選B.二、選擇題9.ABD【解析】由題意可得：，，，，，因?yàn)?，可知，故A正確；因?yàn)?，可知，故B正確；因?yàn)?，可知PS與QS不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，可知，故D正確.故選ABD.10.BD【解析】分兩種情況：所求直線與直線AB平行或所求直線過線段AB的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.直線AB的斜率為，線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為.①若所求直線與直線AB平行時(shí)，則所求直線的方程為，即；②若所求直線過AB的中點(diǎn)時(shí)，則所求直線的斜率為，故所求直線方程為，即.綜上所述，所求直線方程為或.故選BD.11.BCD【解析】對(duì)于A，，因?yàn)?，且，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖所示，設(shè)，，則點(diǎn)在平面Oxy上，點(diǎn)在軸上，由圖易知當(dāng)時(shí)，取得最小值，即向量與的夾角取得最小值，故B正確；對(duì)于C，根據(jù)“仿射”坐標(biāo)的定義可得，，故C正確；對(duì)于D，由已知可得三棱錐為正四面體，棱長(zhǎng)為1，其表面積，故D正確.故選BCD.三、填空題12.【解析】因?yàn)椋?，所以，解?故答案為.13.【解析】因?yàn)榻堑慕K邊與以原點(diǎn)為圓心的單位圓相交于點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，顯然，，，所以，所以.故答案為.14.【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點(diǎn)，其中x、，設(shè)平面AEF的法向量為，，，則，取，可得，，因?yàn)槠矫鍭EF，則，所以，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度取最小值.故答案為.四、解答題15.解：（1）因?yàn)?，，，所以直線AB的斜率，，直線AC的斜率，則，所以且，所以是以為直角的等腰直角三角形.（2）易求AC中點(diǎn)坐標(biāo)，所以直線BD的斜率，邊AC上的中線為，化為一般式為.16.解：（1）由題意設(shè)，，其中a，b為正數(shù)，可設(shè)直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，由基本不等式可得，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，ab取得最小值16，所以面積，所以當(dāng)，時(shí)，面積最小，此時(shí)直線的方程為，即.（2）因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)，時(shí)，的值最小，此時(shí)直線的方程為，即.17.解：（1）直線的斜率，因?yàn)?，所以直線的斜率存在，設(shè)為，且.即，所以，解得.將代入直線得，即，所以與之間的距離為.（2）若，則，由可知，點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，設(shè)，所以點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，把點(diǎn)代入方程，，解得，所以，，，即直線的方程為.18.解：（1）連接，BP，因?yàn)?，P為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槔庵比庵?，所以面，平面，所以平面平面，又平面平面，面，則平面，又平面，所以，在矩形中，，為的中點(diǎn)，所以，所以，故，又，面，面，所以平面，又平面，所以.（2）取BC的中點(diǎn)，連接PM，由（1）及題意易知，，兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Pxyz，如圖所示.由，，則，，，，.設(shè)平面CPQ的法向量為，又，，則即令，則.設(shè)直線與平面CPQ所成的角為，又，則，故直線與平面CPQ所成角的正弦值為.（3）由（2）知平面CPQ的一個(gè)法向量為，，，所以點(diǎn)到平面CPQ的距離為，又，直線CQ的一個(gè)單位方向向量為，則，，所以點(diǎn)到直線CQ的距離為，所