遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.（5分）已知集合，則（）A.B.C.D.2.（5分）已知，則函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.3.（5分）函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）A.B.C.D.4.（5分）已知，則的值是（）A.15B.12C.16D.255.（5分）若定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，則滿(mǎn)足的的取值范圍為（）A.B.C.D.6.（5分）同一坐標(biāo)系中，二次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖象只可能是（）A.B.C.D.7.（5分）已知定義在上的偶函數(shù)，若正實(shí)數(shù)?滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.B.C.D.8.（5分）已知函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)，恒成立，函數(shù)，若對(duì)，使，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.（5分）下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.和表示同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)滿(mǎn)足，則10.（5分）下列敘述中正確的是（）A.若，，，則“”的充要條件是“”B.“”是“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的必要不充分條件C.若，，，則“對(duì)恒成立”的充要條件是“”D.“”是“”的充分不必要條件11.（5分）已知，，且，則（）A.的最大值為B.的最小值為9C.的最小值為D.的最大值為212.（5分）已知函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，，，，則（）A.實(shí)數(shù)的取值范圍是B.函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.D.的取值范圍是三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.（5分）函數(shù)且的圖象必過(guò)定點(diǎn)___________.14.（5分）函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)任意都有，則的取值范圍是___________.15.（5分）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，___________.16.（5分）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)所有零點(diǎn)組成的集含是___________.四.解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知命題：實(shí)數(shù)滿(mǎn)足集合，：集合.（1）若，求；（2）若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.（12分）已知關(guān)于的不等式.（1）該不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若該不等式的解集為集合的子集，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（12分）2022年某企業(yè)整合資金投入研發(fā)高科技產(chǎn)品，并面向全球發(fā)布了首批17項(xiàng)科技創(chuàng)新重大技術(shù)需求榜單，吸引清華大學(xué)?北京大學(xué)等60余家高校院所參與，實(shí)現(xiàn)企業(yè)創(chuàng)新需求與國(guó)內(nèi)知名科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)的精準(zhǔn)對(duì)接，最終該公司產(chǎn)品研發(fā)部決定將某項(xiàng)高新技術(shù)應(yīng)用到某高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)中，計(jì)劃該技術(shù)全年需投入固定成本6200萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件該產(chǎn)品，需另投入成本萬(wàn)元，且，假設(shè)該產(chǎn)品對(duì)外銷(xiāo)售單價(jià)定為每件0.9萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.（1）求出全年的利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）試求該企業(yè)全年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，所獲利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn).20.（12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋⑶覞M(mǎn)足下列條件：①；②對(duì)任意，，都有；③當(dāng)時(shí)，.（1）證明：為奇函數(shù).（2）解不等式.（3）若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.（12分）已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值4和最小值1.（1）求?的值；（2）設(shè).①若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；②若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽(yáng)市五校協(xié)作體高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【分析】先求出集合，再結(jié)合補(bǔ)集的定義，即可求解.【解答】解：，.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查補(bǔ)集的定義，屬于基礎(chǔ)題.2.【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)求出的定義域，從而求出的定義域即可.【解答】解：由題意得：解得：，故的定義域是，由，解得：且，故函數(shù)的定義域是，故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求函數(shù)的定義域問(wèn)題，考查二次根式的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.3.【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷即可.【解答】解：，與在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了指數(shù)函數(shù)?一次函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了零點(diǎn)存在定理，屬于基礎(chǔ)題.4.【分析】推導(dǎo)出，再由，能求出結(jié)果.【解答】解：，，.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查根式的化簡(jiǎn)?求值，考查有理數(shù)指數(shù)冪?根式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.5.【分析】由已知或，利用偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性列不等式組求解集.【解答】解：因?yàn)槎x在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以或，即或，解得或，綜上，滿(mǎn)足原不等式的的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6.【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸首先排除B?D選項(xiàng)，再根據(jù)的值的正負(fù)，結(jié)合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)檢驗(yàn)即可得出答案.【解答】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的解析式為，可得，故二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸位于軸的左側(cè)，故排除B?D.對(duì)于選項(xiàng)C，由二次函數(shù)的圖象可得，且函數(shù)的零點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，故C不正確.綜上可得，應(yīng)選A.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同一坐標(biāo)系中指數(shù)函數(shù)圖象與二次函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象確定出的正負(fù)情況是求解的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.【分析】先根據(jù)偶函數(shù)，代入特殊值求出參數(shù)，再代入化簡(jiǎn)，合理構(gòu)造，再使用均值不等式可得.【解答】解：定義在上的偶函數(shù)，，，，，正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，取等號(hào)故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查奇偶性，均值不等式，屬于基礎(chǔ)題.8.【分析】依題意，可求得的解析式，經(jīng)過(guò)換元，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可求得在上的值域，繼而求得在上的值域，依題意，可得，解之即可.【解答】解：對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，，且，即①，且②，聯(lián)立①②得，（*）令，則在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得；則（*）式可化為在單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；又，；③又，當(dāng)時(shí)，，由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性知，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，；④對(duì)，使，由③④得，即，解得，故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題?存在性與任意性問(wèn)題，考查函數(shù)與方程思想?轉(zhuǎn)化與化歸思想的綜合運(yùn)用，考查推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得.5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.【分析】求出函數(shù)的定義域可判斷A；由同一函數(shù)的定義可判斷B；由奇偶性可判斷C；由方程組法求出可判斷D.【解答】解：對(duì)于A(yíng)：由解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A正確；對(duì)于B：的定義域?yàn)榈亩x為，定義域不相同，所以和不是同一個(gè)函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故正確；對(duì)于D：因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，所以，解得，故D錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)概念的考查，屬于基礎(chǔ)題.10【【分析】直接利用不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，四個(gè)條件中充分條件和必要條件的應(yīng)用判定A?B?C?D的結(jié)論.【解答】解：對(duì)于：若，則“”是“”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：“方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”則，整理得，則“”是“”的必要不充分條件，故B正確；對(duì)于：若，則對(duì)于一元二次不等式，當(dāng)時(shí)，“對(duì)恒成立”的充要條件是“”故錯(cuò)誤；對(duì)于：當(dāng)“”時(shí)“”成立，當(dāng)“”時(shí)，“或”，故“”是“”的充分不必要條件，故正確.故選：BD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)，一元二次不等式的解法，一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，四個(gè)條件中充分條件和必要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題.11.【分析】根據(jù)，且，結(jié)合基本不等式即可.【解答】解：均為正數(shù)，且，由基本不等式可得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，故選項(xiàng)正確；，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，，故C選項(xiàng)正確；，故D錯(cuò)誤.故選：BC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12.【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.【解答】解：由題可知，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)，故，解得，當(dāng)時(shí)，，而，易知，此時(shí)也有2個(gè)零點(diǎn)，故，故A正確；，故B錯(cuò)誤；的4個(gè)零點(diǎn)滿(mǎn)足，則是方程的兩個(gè)根，則且，所以，故C正確；由C選項(xiàng)知，，由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.三?填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.【分析】令，求得和的值，從而求得函數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).【解答】解：令，求得，且，故函數(shù)且恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.14.【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義先判斷出數(shù)在上為單調(diào)遞增，然后兩段函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)結(jié)合交界點(diǎn)處函數(shù)值的大小，列出不等關(guān)系式，求解即可.【解答】解：因?yàn)閷?duì)任意都有，所以函數(shù)在上為單調(diào)遞增，又函數(shù)，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性定義的理解與應(yīng)用，對(duì)于分段函數(shù)問(wèn)題，一般運(yùn)用分類(lèi)討論或是數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行研究，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.15.【分析】由奇函數(shù)性質(zhì)先求出，然后結(jié)合奇函數(shù)定義可求時(shí)的函數(shù)解析式.【解答】解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，即，此時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，，所以.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性在函數(shù)解析式求解中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16.【分析】由可知，函數(shù)的圖象每向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，由圖象可知，方程的根共有3個(gè)，1個(gè)是，另外2個(gè)在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)，可求得，令即可求出另外2個(gè)零點(diǎn).【解答】解：由可知，函數(shù)的圖象每向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的大致圖像，如圖所示當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，由圖象可知，方程的根共有3個(gè)，1個(gè)是，另外2個(gè)在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)時(shí)，則，，又，即，，即，令得，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)是.故答案為：.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象的變換，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.【分析】（1）直接由補(bǔ)集和交集的概念即可得出所求的答案；（2）由題意可得?，分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，分別求出集合并結(jié)合真子集的概念即可得出的取值范圍.【解答】解：（1）若，則，或.（2）若是的必要不充分條件，則?而，當(dāng)時(shí)，，符合?；當(dāng)時(shí)，，若?，則，解得，或，解得當(dāng)時(shí)，，若?，則，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為或或.【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分條件與必要條件?集合間的基本關(guān)系，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬中檔題.18.【分析】（1）利用韋達(dá)定理即可求解；（2）利用二次函數(shù)的圖象可知不等式的解集為，則圖象不在軸下方，所以開(kāi)口向上且判別式小于0即可求解；（3）利用二次方程根的分布即可求解.【解答】解：（1）因?yàn)榈慕饧癁?，所?和4是方程的兩根，由根與系數(shù)關(guān)系可得，所以；（2）因?yàn)榈慕饧癁?，所以，解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為；（3）令，由的解集為的子集，所以有：當(dāng)?shù)慕饧癁榭占瘯r(shí)，有，解得，當(dāng)?shù)慕饧皇强占瘯r(shí)，令，結(jié)合二次函數(shù)圖像有，即，解得，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)評(píng)】本題考查三個(gè)二次相關(guān)式，屬于中檔題.19.【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，即可求得全年的利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量千件的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，分別求出最大值，比較大小，即可得出答案.【解答】解：（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，；（2）由（1）得，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，，該企業(yè)全年產(chǎn)量為90千件時(shí)，所獲利潤(rùn)最大為15600萬(wàn)元.【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查分類(lèi)討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.20.【分析】（1）直接利用賦值法求出的值.利用函數(shù)的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步進(jìn)行關(guān)系式的轉(zhuǎn)換，從而得到函數(shù)的單調(diào)性.（3）利用函數(shù)的單調(diào)遞增和奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.【解答】解：（1）由于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，故：令，得到：，即：，解得：.（2）由，得到：函數(shù).由于為增函數(shù)，所以：為減函數(shù)，故：為增函數(shù)，所以：為增函數(shù).即：函數(shù)的單調(diào)性為增函數(shù).（3）對(duì)任意的，不等式恒成立，即：，由于為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立.故：，所以：，即：，，則：，故：的取值范圍是：.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問(wèn)題的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)