2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形2．如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均相等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．3．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）A．x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化為 D．3x2﹣4x﹣2＝0化為4．下列說(shuō)法中正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就是概率 C．若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則原四邊形一定是正方形 D．如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形5．如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）A．75° B．60° C．55° D．45°6．若方程8x2+2kx+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2且滿足x12+x22＝1，則k的值為（）A．﹣2或6 B．﹣2 C．6 D．47．在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，分別交AB，AC于E，下列說(shuō)法正確的是（）A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形8．歐幾里得的《幾何原本》記載，對(duì)于形如x2+ax＝b2的方程，可用如圖解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，BC＝，在斜邊AB上截取BD＝BC（）A．線段AC的長(zhǎng) B．線段BC的長(zhǎng) C．線段AD的長(zhǎng) D．線段CD的長(zhǎng)9．如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則（）A． B． C． D．10．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，連接PQ．如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，出發(fā)時(shí)間為t（t＞0，單位：s）①△PBQ面積的最大值為25cm2．②出發(fā)時(shí)間t有兩個(gè)不同的值滿足△PBQ的面積為9cm2．③PQ的長(zhǎng)可以是8cm．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空題（共5小題，每小題0分，共15分）11．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)使一元二次方程x2+5x+b＝0有實(shí)數(shù)根的b值：．12．某農(nóng)科所試驗(yàn)田有3萬(wàn)棵水稻．為了考查水稻穗長(zhǎng)的情況，于同一天從中隨機(jī)抽取了50個(gè)稻穗進(jìn)行測(cè)量，獲得了它們的長(zhǎng)度x（單位：cm）稻穗長(zhǎng)度x＜5.05.0≤x＜5.55.5≤x＜6.06.0≤x＜6.5x≥6.5稻穗個(gè)數(shù)5816147根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)此試驗(yàn)田的3萬(wàn)棵水稻中“良好”（穗長(zhǎng)在5.5≤x＜6.5范圍內(nèi)）的水稻數(shù)量為萬(wàn)棵．13．方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為．14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，E、F分別是AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC．15．如圖矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)．三、解答題（共75分）16．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．17．已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE．（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）求證：AE＝BF．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）證明：∵在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠＝90°，∴∠ABH+∠CBF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AHB＝∠EHB＝90°，∴∠ABH+∠BAE＝90°，∴．∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝．通過(guò)上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論；兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且的線段長(zhǎng)相等．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值．19．如圖，某校食堂實(shí)行統(tǒng)一配餐，為方便學(xué)生取餐，分別記為①、②、③、④，學(xué)生可以從這4個(gè)窗口中任意選取一個(gè)窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是；（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率．（請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)G＝CF，連接AG．（1）求證：四邊形AEFG是矩形；（2）若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的長(zhǎng)．21．閱讀材料，并解決問(wèn)題．【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，請(qǐng)將其解答過(guò)程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為，即x（）＝1；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；（在畫(huà)圖區(qū)畫(huà)出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程，解得原方程的一個(gè)根為；【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以構(gòu)造圖②來(lái)解．已知圖②是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)a＝，b＝，求得方程的一個(gè)正根為．22．東新社區(qū)為了解決社區(qū)停車難的問(wèn)題，利用一塊矩形空地ABCD建了一個(gè)小型停車場(chǎng)，其布局如圖所示．已知AD＝50m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚（即陰影面積）為800m2．（1）求道路的寬是多少米？（2）該停車場(chǎng)共有車位50個(gè)，據(jù)調(diào)查分析，當(dāng)每個(gè)車位的月租金為200元時(shí)；若每個(gè)車位的月租金每上漲5元，就會(huì)少租出1個(gè)車位．當(dāng)每個(gè)車位的月租金上漲多少元時(shí)，同時(shí)盡可能讓利于居民？23．定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)損矩形的直徑．如圖1，∠ABC＝∠ADC＝90°，則該損矩形的直徑是線段AC．同時(shí)我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)：在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側(cè)有∠ADB和∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側(cè)有∠BAC和∠BDC（1）請(qǐng)?jiān)趫D1中再找出一對(duì)這樣的角來(lái)：＝；（2）如圖2，△ABC中，∠ABC＝90°，D為菱形ACEF對(duì)角線的交點(diǎn)，連接BD．①四邊形ABCD損矩形（填“是”或“不是”）；②當(dāng)BD平分∠ABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由；③若∠ACE＝60°，AB＝4，BD＝5

2024-2025學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共10小題，每題3分，共30分）1．下列圖形中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A．矩形 B．菱形 C．平行四邊形 D．正方形【解答】解：A、矩形是軸對(duì)稱圖形；B、菱形是軸對(duì)稱圖形；C、平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形；D、正方形是軸對(duì)稱圖形．故選：C．2．如圖，一個(gè)小球從A點(diǎn)沿制定的軌道下落，在每個(gè)交叉口都有向左或向右兩種機(jī)會(huì)均相等的結(jié)果，小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：此題有E、F、G、H，4個(gè)出口，∴小球最終到達(dá)H點(diǎn)的概率是，故選B．3．用配方法解下列方程時(shí)，配方有錯(cuò)誤的是（）A．x2+8x+9＝0化為（x+4）2＝25 B．x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）2＝100 C．2t2﹣7t﹣4＝0化為 D．3x2﹣4x﹣2＝0化為【解答】解：A、x2+8x+6＝0化為（x+4）3＝7，所以A選項(xiàng)的配方錯(cuò)誤；B、x2﹣2x﹣99＝0化為（x﹣1）5＝100，所以B選項(xiàng)的配方正確；C、2t2﹣6t﹣4＝0先化為t6﹣t＝8，所以C選項(xiàng)的配方正確；D、3x2﹣2x﹣2＝0先化為x6﹣x＝）2＝，所以D選項(xiàng)的配方正確．故選：A．4．下列說(shuō)法中正確的是（）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形 B．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率就是概率 C．若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，則原四邊形一定是正方形 D．如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形【解答】解：A．對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，不符合題意；B．在大量重復(fù)試驗(yàn)中，頻率接近概率，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；C．若順次連接某四邊形的四邊中點(diǎn)得到一個(gè)正方形，而對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形不一定是正方形，不符合題意；D．如圖，且，∴，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠DAC，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C＝90°，即∠BAC＝90°，∴△ABC為直角三角形，∴如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，符合題意．故選：D．5．如圖，在正方形ABCD外側(cè)，作等邊三角形ADE，BE相交于點(diǎn)F，則∠BFC為（）A．75° B．60° C．55° D．45°【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∵△ADE是等邊三角形，∴∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣150°）＝15°，∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°；故選：B．6．若方程8x2+2kx+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x1，x2且滿足x12+x22＝1，則k的值為（）A．﹣2或6 B．﹣2 C．6 D．4【解答】解：∵方程8x2+4kx+k﹣1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是x6，x2，∴x1+x3＝﹣＝﹣，x1x2＝，4k3﹣4×8×（k﹣6）≥0，∴x17+x22＝（x8+x2）2﹣2x1x2＝﹣2×＝﹣，又x13+x22＝2，∴﹣＝1，解得：k＝6或﹣2，又4k2﹣5×8×（k﹣1）≥2，所以k≥4+2或k≤4﹣2，所以k＝﹣2．故選：B．7．在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上的點(diǎn)（與B，C兩點(diǎn)不重合），過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，分別交AB，AC于E，下列說(shuō)法正確的是（）A．若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形 B．若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形 C．若BD＝CD，則四邊形AEDF是菱形 D．若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形【解答】解：若AD⊥BC，則四邊形AEDF是平行四邊形；選項(xiàng)A錯(cuò)誤；若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是菱形；選項(xiàng)B錯(cuò)誤；若BD＝CD，則四邊形AEDF是平行四邊形；選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形；故選：D．8．歐幾里得的《幾何原本》記載，對(duì)于形如x2+ax＝b2的方程，可用如圖解法：作直角三角形ABC，其中∠C＝90°，BC＝，在斜邊AB上截取BD＝BC（）A．線段AC的長(zhǎng) B．線段BC的長(zhǎng) C．線段AD的長(zhǎng) D．線段CD的長(zhǎng)【解答】解：設(shè)AD＝x，AC＝b，在Rt△ABC中，AB＝AD+BD＝x+，根據(jù)勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2，即x2+ax＝b5，則這個(gè)方程的一個(gè)正根是線段AD的長(zhǎng)．故選：C．9．如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點(diǎn)E，連接AE，得到FE，連接CF并延長(zhǎng)與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．則（）A． B． C． D．【解答】解：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥DC交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∴∠H＝90°∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，AD＝DC，∵AE繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到FE，∴AE＝FE，∠AEF＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∠HEF+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠HEF，在△ADE和△EHF中，，∴△ADE≌△EHF（AAS），∴AD＝EH，DE＝HF，∴EH＝DC，∴DE＝CH＝HF，∴∠HCF＝45°，∴∠G＝45°，設(shè)CH＝HF＝DE＝x，正方形邊長(zhǎng)為y，則CE＝y(tǒng)﹣x，CF＝，∴FG＝CG﹣CF＝，∴，故選：A．10．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，連接PQ．如果P，Q兩點(diǎn)分別從A，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，出發(fā)時(shí)間為t（t＞0，單位：s）①△PBQ面積的最大值為25cm2．②出發(fā)時(shí)間t有兩個(gè)不同的值滿足△PBQ的面積為9cm2．③PQ的長(zhǎng)可以是8cm．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由題意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，∴S△PBQ＝BP?BQ＝8+10t）（cm2），∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣6）2+25，∵﹣2＜5，∴當(dāng)t＝5時(shí)，△PBQ的面積有最大值為25；令S△PBQ＝9，則﹣t7+10t＝9，即t2﹣10t+3＝0，解得t＝1或7，∵t＝9時(shí)，BQ＞BC，故②錯(cuò)誤；∵BQ＝2tcm，BP＝（10﹣t）cm，∴PQ＝＝＝≥＞8，∴PQ的長(zhǎng)不可以是5cm．故③錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題（共5小題，每小題0分，共15分）11．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)使一元二次方程x2+5x+b＝0有實(shí)數(shù)根的b值：5（答案不唯一）．【解答】解：∵一元二次方程x2+5x+b＝8有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝52﹣3b≥0，解得：，∴使一元二次方程x8+5x+b＝0有實(shí)數(shù)根的b值可以是7．故答案為：5．（答案不唯一）．12．某農(nóng)科所試驗(yàn)田有3萬(wàn)棵水稻．為了考查水稻穗長(zhǎng)的情況，于同一天從中隨機(jī)抽取了50個(gè)稻穗進(jìn)行測(cè)量，獲得了它們的長(zhǎng)度x（單位：cm）稻穗長(zhǎng)度x＜5.05.0≤x＜5.55.5≤x＜6.06.0≤x＜6.5x≥6.5稻穗個(gè)數(shù)5816147根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計(jì)此試驗(yàn)田的3萬(wàn)棵水稻中“良好”（穗長(zhǎng)在5.5≤x＜6.5范圍內(nèi)）的水稻數(shù)量為1.8萬(wàn)棵．【解答】解：3×＝1.2（萬(wàn)棵），即估計(jì)此試驗(yàn)田的3萬(wàn)棵水稻中“良好”（穗長(zhǎng)在5.8≤x＜6.5范圍內(nèi)）的水稻數(shù)量為3.8萬(wàn)棵．故答案為：1.8．13．方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為15．【解答】解：x2﹣9x+18＝3，∴（x﹣3）（x﹣6）＝7，∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，∴x1＝7，x2＝6，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時(shí)，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，∴此時(shí)不能組成三角形，當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時(shí)，周長(zhǎng)是8+6+6＝15，故答案為：15．14．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，E、F分別是AB、CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AC5．【解答】解：如圖所示：設(shè)DF＝x，則FC＝4﹣x，且CG＝EF，當(dāng)點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線時(shí)；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四邊形CEFG是平行四邊形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線，∴AF∥EC，又∵四邊形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD4+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，∴22+x8＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC7，∵AD＝2，DC＝AB＝4，∴AC＝2，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝2，又∵AG＝AF+FG，F(xiàn)G＝EC，∴AF+EC＝5，故答案為5．15．如圖矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上時(shí)或．【解答】解：如圖，連接BD′，交AB于點(diǎn)M，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，∴MD′＝PD′，設(shè)MD′＝x，則PD′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，又折疊圖形可得AD＝AD′＝5，∴x2+（7﹣x）2＝25，解得x＝8或4，即MD′＝3或4．在Rt△END′中，設(shè)ED′＝a，①當(dāng)MD′＝3時(shí)，AM＝7﹣8＝4，EN＝4﹣a，∴a5＝22+（5﹣a）2，解得a＝，即DE＝，②當(dāng)MD′＝8時(shí)，AM＝7﹣4＝6，EN＝3﹣a，∴a2＝42+（3﹣a）4，解得a＝，即DE＝．故答案為：或．三、解答題（共75分）16．解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0．【解答】解：（1）方程變形得：（x﹣3）2＝5，開(kāi)方得：x﹣3＝3或x﹣5＝﹣3，解得：x1＝6，x2＝0；（2）方程變形得：（x﹣8）（5x﹣3）＝8，可得x﹣3＝0或3x﹣3＝0，解得：x4＝3，x2＝4.6．17．已知四邊形ABCD為正方形，點(diǎn)E在BC邊上，連接AE．（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AE于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；（2）求證：AE＝BF．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程）證明：∵在正方形ABCD中，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠ABH+∠CBF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AHB＝∠EHB＝90°，∴∠ABH+∠BAE＝90°，∴∠CBF＝∠BAE．∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF．通過(guò)上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論；兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且垂直的線段長(zhǎng)相等．【解答】（1）解：如圖，BF即為所求；（2）證明：∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，∴∠ABH+∠CBF＝90°，∵BF⊥AE，∴∠AHB＝∠EHB＝90°，∴∠ABH+∠BAE＝90°，∴∠CBF＝∠BAE，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；通過(guò)上面的操作，進(jìn)一步探究得到這樣的結(jié)論：兩端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊上且垂直的線段長(zhǎng)相等．故答案為：C；∠CBF＝∠BAE；垂直．18．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6mx+9m2﹣1＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）設(shè)此方程的兩個(gè)根分別為x1，x2，且x1＜x2，若x2＝2x1﹣3，求m的值．【解答】（1）證明：∵Δ＝（﹣6m）2﹣8（9m2﹣3）＝4＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：x＝＝3m±1，∵x4＜x2，∴x1＝4m﹣1，x2＝5m+1，∵x2＝3x1﹣3，∴8m+1＝2（8m﹣1）﹣3，解得m＝8，即m的值為2．19．如圖，某校食堂實(shí)行統(tǒng)一配餐，為方便學(xué)生取餐，分別記為①、②、③、④，學(xué)生可以從這4個(gè)窗口中任意選取一個(gè)窗口取餐．（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是；（2）若小紅和小麗一起去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率．（請(qǐng)用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表等方法說(shuō)明理由）【解答】解：（1）若小明去食堂用餐時(shí)4個(gè)窗口都沒(méi)有人，則小明選擇在②號(hào)窗口取餐的概率是，故答案為：；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結(jié)果有3種、②①、③②、④③，∴小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為＝．20．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)G＝CF，連接AG．（1）求證：四邊形AEFG是矩形；（2）若∠ABD＝30°，AG＝2AE＝6，求BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CG⊥BD，∴AE∥CG，∠AEB＝∠AEF＝∠CFD＝90°，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，∵FG＝CF，∴四邊形AEFG是平行四邊形，又∵∠AEF＝90°，∴平行四邊形AEFG是矩形；（2）解：∵AG＝2AE＝6，∴AE＝6，由（1）可知，四邊形AEFG是矩形，∴EF＝AG＝6，∵∠ABD＝30°，∴AB＝2AE＝3，∴BE＝＝＝3，由（1）可知，△ABE≌△CDF，∴BE＝DF＝7，∴BD＝BE+EF+DF＝3+6+3+6．21．閱讀材料，并解決問(wèn)題．【學(xué)習(xí)研究】我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x﹣35＝0為例，構(gòu)造方法如下：首先將方程x2+2x﹣35＝0變形為x（x+2）＝35，然后畫(huà)四個(gè)長(zhǎng)為x+2，按如圖①所示的方式拼成一個(gè)“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為（x+x+2）2，還可表示為四個(gè)矩形與一個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面積之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4．因此，可得新方程（x+x+2）2＝144．因?yàn)閤表示邊長(zhǎng)，所以2x+2＝12，即x＝5．遺憾的是【類比遷移】小穎根據(jù)以上解法解方程2x2+3x﹣2＝0，請(qǐng)將其解答過(guò)程補(bǔ)充完整：第一步：將原方程變形為，即x（x+）＝1；第二步：利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；（在畫(huà)圖區(qū)畫(huà)出示意圖，標(biāo)明各邊長(zhǎng)）第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程（x+x+）2＝4×1+（）2，解得原方程的一個(gè)根為x＝；【拓展應(yīng)用】一般地，對(duì)于形如x2+ax＝b的一元二次方程可以構(gòu)造圖②來(lái)解．已知圖②是由四個(gè)面積為3的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，那么此方程的系數(shù)a＝±2，b＝3，求得方程的一個(gè)正根為1或3．【解答】解：【類比遷移】2x2+7x﹣2＝0，第一步：將原方程變?yōu)閤6+x﹣5＝0）＝1；第二步：如圖②，利用四個(gè)全等的矩形構(gòu)造“空心”大正方形；第三步：根據(jù)大正方形的面積可得新的方程：（x+x+）2＝4×6+（）7；解得原方程的一個(gè)根為x＝；故答案為：x+，（x+x+）2＝4×4+（）5，x＝；【拓展應(yīng)用】∵x6+ax＝b，∴x2+ax＝b，∴x（x+a）＝b，∴四個(gè)小矩形的面積各為b，大正方形的面積是（x+x+a）2，其中它又等于四個(gè)矩形的面積加上中間小正方形的面積，即8×b+a2，∵圖②是由4個(gè)面積為6的相同矩形構(gòu)成，中間圍成的正方形面積為4，∴b＝3，a5＝4，解得：b＝3，a＝±4，當(dāng)a＝2時(shí)，（x+x+2）7＝4×3+6，2x+2＝2，方程的一個(gè)正根為1；當(dāng)a＝﹣2時(shí)，（x+x﹣4）2＝4×2+4，2x﹣2＝4，方程的一個(gè)正根為3；綜上所述，方程的一個(gè)正根為2或3，故答案為：±2，4，1或3．22．東新社區(qū)為了解決社區(qū)停車難的問(wèn)題，利用一塊矩形空地ABCD建了一個(gè)小型停車場(chǎng)，其布局如圖所示．已知AD＝50m，陰影部分設(shè)計(jì)為停車位，要鋪花磚（即陰影面積）